3.2从有理数到实数（讲义，4个知识点7大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“从有理数到实数”核心内容，系统梳理无理数的概念、实数的定义与分类，以及实数与数轴的一一对应关系，构建从有理数扩展到实数的完整数系学习支架。 以面积为2的正方形边长等情境引入，培养数学眼光，通过分类辨析、大小估算等题型发展数学思维，结合数轴表示与综合练习提升数学语言表达。课中助力教师突破重难点，课后分层练习帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第三章 实数 3.2 从有理数到实数 课标要点 1.结合面积为2的正方形边长等真实情境，认识无限不循环小数，理解无理数的概念，能区分有理数与无理数。 2.掌握实数的定义，完成实数的分类，理清整数、分数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数之间的从属关系。 3.理解实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上表示简单无理数，深化数形结合思想。 4.掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，类比有理数相关性质完成简单计算。 5.能辨析常见易混数（如带根号开得尽方的数、含π的数），运用实数分类解决判断、填空类题型。 学习重难点 重点：1.无理数、实数的概念，准确区分有理数与无理数。 2.实数的两种分类方法，实数与数轴上点的一一对应关系。 难点：1.辨别各类易混淆实数，区分开方开得尽与开方开不尽的根式。 2.在数轴上构造、表示无理数，理解实数填满整条数轴的逻辑。 3.综合运用实数分类、绝对值、相反数进行判断与推理。 知识点 无理数的概念（重点） 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见三类无理数： ① 含π的数：2π、π-1等； ② 开方开不尽的数：、、等； ③ 有规律但不循环的无限小数：0.1010010001......（每两个1之间多1个0）。 易错提醒 1. 无限小数不一定是无理数，无限循环小数属于有理数； 2.带根号的数不一定是无理数，如是有理数。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点 实数的定义与分类（重点、难点） 1.定义：有理数和无理数统称为实数。 2.分类一（按定义划分） 分类二（按正负划分） 特别提醒 有理数都能写成分数形式，无理数不能转化为分数。 随学随练 1．（2026七年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 知识点 实数与数轴的对应关系（重点） 1.核心结论：实数和数轴上的点一一对应。 2.两层含义： ①任意一个实数，都能在数轴上找到唯一的点表示； ②数轴上任意一个点，都对应唯一的实数。 3.大小规律：数轴上右边的实数总比左边的实数大。 教材延伸 可以用几何作图的方式，在数轴上画出、等无理数对应的点，是数形结合经典题型。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 知识点 实数范围内相反数、绝对值、倒数 1.相反数：实数a的相反数是-a，互为相反数的两数和为0； 2.绝对值：正数绝对值是本身，负数绝对值是它的相反数，|0|=0； 3.倒数：非0实数a的倒数为，互为倒数的两数积为1。 易错提醒 无理数同样有相反数、绝对值、倒数；化简带根号无理数的绝对值时，要先判断根号数值与0的大小。 随学随练 1．（2026·浙江·二模）实数的相反数是（     ） A． B．2026 C． D． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的相反数是______，的绝对值是______． 题型 无理数 ▌例1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D．0 解题贴士 无限不循环小数叫做无理数，分为三类：含π的数；开方开不尽的数；有规律但不循环的无限小数。 ▌对点练1-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ▌对点练1-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）已知实数，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0.23，，其中无理数有______个． 题型 无理数的大小估算 ▌例2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 解题贴士 找到被开方数左右两边最近的两个完全平方整数，写出不等式： 若a2 < n < b2，则 a<<b。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：______． 题型 无理数整数部分有关计算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则_____． 解题贴士 无理数=整数部分+小数部分，因此小数部分=无理数-整数部分。 ▌对点练3-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）对于无理数，因为，所以的整数部分是1，小数部分是．请仿照上面的方法解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． ▌对点练3-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，为． (1)的整数部分是______，小数部分是_______． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 题型 实数的分类 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 解题贴士 有限小数、无限循环小数都属于分数。 ▌对点练4-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                      } 分数{                      } 有理数{                      } 无理数{                      } ▌对点练4-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 题型 实数的性质 ▌例5 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列四个实数中，为负实数的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 绝对值内部无论正负，去绝对值后必为正，只有前面再加负号才会变负。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江·单元复习）若，则x的值是（    ） A．100 B． C．±100 D． ▌对点练5-2（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）的相反数是______，绝对值是______． 题型 实数与数轴 ▌例6 （26-27七年级·浙江·暑假作业）实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 数轴大小规律：数轴上右边的数总大于左边的数。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是______． ▌对点练6-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 题型 实数的大小比较 ▌例7 （26-27七年级·浙江·暑假作业）下列各数中最小的数是（） A．1 B． C． D．0 解题贴士 负数比较容易颠倒大小，牢记“绝对值大的负数更小”。 ▌对点练7-1 （2026·浙江温州·三模）在实数，中，最小的数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练7-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 基础通关 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在0，，，，（相邻两个6之间0的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）估计的值在哪两个整数之间（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）关于“”的三种说法：①表示25的平方根；②；③是无理数．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（26-27七年级·浙江·暑假作业）与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江杭州·二模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）的结果在哪两个整数之间（    ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：3_________；_________．（用“”、“”或“”填空） 9．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知的小数部分是a，则_______． 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若n为正整数，且满足，则n=_____． 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 12．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 素养提升 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如图，在数轴上近似地表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ，，，， ∴______<______<______<______<______． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨…（每两个1之间多一个）． 甲说“”，乙说“”，丙说“”，丁说“…（每两个1之间多一个）”． (1)甲、乙、丙、丁四个人中，说错的是______． (2)请将老师所给的数字对应的序号按要求填在相应的横线上． 整数______； 负分数______． 15．（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 16．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是_____． (2)若，其中是整数，且，求的平方根． 17．（25-26七年级上·浙江·期中）如图1，有一张由五个边长为1的小正方形组成的纸板，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)图1拼成的正方形的面积为________，边长为________． (2)将图1中剪下的如图2所示放置在数轴上，使点与表示的点重合，点与原点重合，以数轴上表示的点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是_______． (3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，求新正方形的边长（要求写出简单的推理过程）． 迁移创新 18．（2026·浙江·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 19．（26-27七年级·浙江·暑假作业）阅读材料：材料一：对于一个正无理数N，总能找到唯一的整数k，使得．我们称k为N整数部分，为N的小数部分．例如：，所以的整数部分是1，小数部分是． 材料二（线性插值法）：估算无理数的近似值，我们可以利用“夹逼法”和“线性插值”．例如，估算（结果精确到0.01）： 1.夹逼定位整数部分：先找到两个相邻整数13、14，使，所以，即的整数部分13． 2.线性插值确定小数部分：的小数部分可近似用180在区间内线性比例表示．即的小数部分，（精确到0.01） 因此． 利用材料一 (1)基础应用：直接写出的整数部分是______，小数部分是______； (2)综合求值：已知，其中a为整数，且，求的值； (3)利用材料二近似估算：估算的近似值，结果精确到0.01，并写出估算过程． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数 3.2 从有理数到实数 课标要点 1.结合面积为2的正方形边长等真实情境，认识无限不循环小数，理解无理数的概念，能区分有理数与无理数。 2.掌握实数的定义，完成实数的分类，理清整数、分数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数之间的从属关系。 3.理解实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上表示简单无理数，深化数形结合思想。 4.掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，类比有理数相关性质完成简单计算。 5.能辨析常见易混数（如带根号开得尽方的数、含π的数），运用实数分类解决判断、填空类题型。 学习重难点 重点：1.无理数、实数的概念，准确区分有理数与无理数。 2.实数的两种分类方法，实数与数轴上点的一一对应关系。 难点：1.辨别各类易混淆实数，区分开方开得尽与开方开不尽的根式。 2.在数轴上构造、表示无理数，理解实数填满整条数轴的逻辑。 3.综合运用实数分类、绝对值、相反数进行判断与推理。 知识点 无理数的概念（重点） 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见三类无理数： ① 含π的数：2π、π-1等； ② 开方开不尽的数：、、等； ③ 有规律但不循环的无限小数：0.1010010001......（每两个1之间多1个0）。 易错提醒 1. 无限小数不一定是无理数，无限循环小数属于有理数； 2.带根号的数不一定是无理数，如是有理数。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可得出结果． 【详解】解：由题意得，是整数，是分数，是有限小数，属于有理数，故A、B、D选项不符合题意； 开方开不尽，是无理数，故C选项符合题意． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先明确无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见无理数有含的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类．逐个判断所给数的类型，统计无理数个数即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，因此是无理数； 综上所述，无理数共有个． 知识点 实数的定义与分类（重点、难点） 1.定义：有理数和无理数统称为实数。 2.分类一（按定义划分） 3.分类二（按正负划分） 特别提醒 有理数都能写成分数形式，无理数不能转化为分数。 随学随练 1．（2026七年级上·浙江·专题练习）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 知识点 实数与数轴的对应关系（重点） 1.核心结论：实数和数轴上的点一一对应。 2.两层含义： ①任意一个实数，都能在数轴上找到唯一的点表示； ②数轴上任意一个点，都对应唯一的实数。 3.大小规律：数轴上右边的实数总比左边的实数大。 教材延伸 可以用几何作图的方式，在数轴上画出、等无理数对应的点，是数形结合经典题型。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设M点表示的数为x，则，再根据每个选项中的范围进行判断． 【详解】解：如图，设M点表示的数为x，则， ∵，，， ∴符合x取值范围的数为，， 又∵M点更靠近， ∴点M表示的数可能是． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 【答案】C 【详解】解：点A、B到原点距离相等，则两数互为相反数， 而 的相反数是， ∴点B表示的数是. 知识点 实数范围内相反数、绝对值、倒数 1.相反数：实数a的相反数是-a，互为相反数的两数和为0； 2.绝对值：正数绝对值是本身，负数绝对值是它的相反数，|0|=0； 3.倒数：非0实数a的倒数为，互为倒数的两数积为1。 易错提醒 无理数同样有相反数、绝对值、倒数；化简带根号无理数的绝对值时，要先判断根号数值与0的大小。 随学随练 1．（2026·浙江·二模）实数的相反数是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义直接推导即可得到结果． 【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 题型 无理数 ▌例1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】解：选项A、是整数，不符合题意； 选项B、是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 选项C、是分数，不符合题意； 选项D、是整数，不符合题意．解题贴士 无限不循环小数叫做无理数，分为三类：含π的数；开方开不尽的数；有规律但不循环的无限小数。 ▌对点练1-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类． 【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数； 又∵中π是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开平方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开立方开不尽， ∴是无理数， ∵0.202002000…是无限不循环小数， ∴是无理数， 是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数， ∴无理数共有4个． ▌对点练1-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）已知实数，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0.23，，其中无理数有______个． 【答案】2 【详解】解：， 是整数，属于有理数； ，是有限小数，属于有理数； 其中无理数为（相邻两个之间 的个数逐次加），，共 个． 题型 无理数的大小估算 ▌例2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）估计的值应在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可确定结果． 【详解】解：， ，即， ，即， 的值在到之间． 解题贴士 找到被开方数左右两边最近的两个完全平方整数，写出不等式： 若a2 < n < b2，则 a<<b。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； 则， ∴， 即． ▌对点练2-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：______． 【答案】 【详解】解：，， ∴， ∴． 题型 无理数整数部分有关计算 ▌例3 （25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，以及代数式求值．先估算的范围，确定整数部分和小数部分，然后代入 计算． 【详解】解：∵， ∴，则 ． ∵ 、 分别是 的整数部分和小数部分， ∴ ，， 则 ． 故答案为：． 解题贴士 无理数=整数部分+小数部分，因此小数部分=无理数-整数部分。 ▌对点练3-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）对于无理数，因为，所以的整数部分是1，小数部分是．请仿照上面的方法解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)2； (2) 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 则的整数部分是：，小数部分是； （2）解：， 即， ， 的整数部分为11，小数部分为， 即． ． ▌对点练3-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，为． (1)的整数部分是______，小数部分是_______． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4； (2)1 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）先估算的大小，即可得出答案； （2）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴的小数部分为， 即， ∵， ∴的整数部分为3， 即， ∴． 题型 实数的分类 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 解题贴士 有限小数、无限循环小数都属于分数。 ▌对点练4-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 【答案】整数：{①}，分数：{③⑤⑥⑧}，有理数：{①③⑤⑥⑧}，无理数：{②④⑦⑨} 【详解】解：，， 整数：{①}， 分数：{③⑤⑥⑧}， 有理数：{①③⑤⑥⑧}， 无理数：{②④⑦⑨}． ▌对点练4-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】；； 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数； ，是整数，也是有理数； 是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，也是有理数； 是整数，也是有理数； （每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数； 是分数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：； 属于有理数的有：； 属于无理数的有：． 故答案为：；；． 题型 实数的性质 ▌例5 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列四个实数中，为负实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各数分别化简即可判断． 【详解】解：， ∴为负实数的是， 故选：B． 【点睛】此题考查了实数的化简：计算相反数，求绝对值，求一个数的算术平方根，正确掌握各计算化简法则是解题的关键． 解题贴士 绝对值内部无论正负，去绝对值后必为正，只有前面再加负号才会变负。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江·单元复习）若，则x的值是（    ） A．100 B． C．±100 D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，熟知绝对值的定义是解题的关键，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． ▌对点练5-2（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）的相反数是______，绝对值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解；的相反数是，的绝对值是， 故答案为：；． 题型 实数与数轴 ▌例6 （26-27七年级·浙江·暑假作业）实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据实数，，，在数轴上的对应点，只有距离原点的距离最远，故这四个数中，绝对值最大的是． 解题贴士 数轴大小规律：数轴上右边的数总大于左边的数。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了求算术平方根，数轴上两点间的距离． 先根据正方形面积求出边长的长度，再利用数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积是10， ∴边长， ∵点对应的数是， ∴点对应的数是或 故答案为：或． ▌对点练6-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：． 题型 实数的大小比较 ▌例7 （26-27七年级·浙江·暑假作业）下列各数中最小的数是（） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据实数的大小比较法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即最小的数是． 解题贴士 负数比较容易颠倒大小，牢记“绝对值大的负数更小”。 ▌对点练7-1 （2026·浙江温州·三模）在实数，中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于负数， ∴最小的数在和中， ∵， ， ∴ ， 又∵两个负数比较，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是． ▌对点练7-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】比较两个正实数的大小，可采用平方法，将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可求解. 【详解】解：，，且，， 又， . 基础通关 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的数是． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在0，，，，（相邻两个6之间0的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】0是整数，是分数，它们不是无理数， ，，（相邻两个6之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）估计的值在哪两个整数之间（    ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，关键在于找到被开方数相邻的两个完全平方数，再确定的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴的值在4和5之间． 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）关于“”的三种说法：①表示25的平方根；②；③是无理数．其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根的定义以及无理数的定义，逐一判断三种说法的正误，统计正确的个数即可．本题主要考查算术平方根与平方根的区别，无理数的定义，明确算术平方根是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵表示25的算术平方根，25的平方根是， ∴①说法错误． ∵， ∴②说法正确． ∵，5是有理数， ∴③说法错误． 综上，正确的个数是1个； 故选：C． 5．（26-27七年级·浙江·暑假作业）与最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 又， 即， ，，且 ， 更接近，选项符合题意． 6．（2026·浙江杭州·二模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较每个数的绝对值，结合绝对值的意义进行判断即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ∵ ， ∴ 对应的点与原点距离最近． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）的结果在哪两个整数之间（    ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，通过估算的值，并减去3后确定其整数范围即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ，即， ∴的结果在4与5之间， 故选：D. 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：3_________；_________．（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握分数与整数的互化、算术平方根的性质及负数比较大小的规则是解题的关键． 先将3转化为分母为3的分数，与比较；再通过比较和3的大小，利用负数比较大小的规则判断和的大小． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ 故答案为：；． 9．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知的小数部分是a，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，通过估算的取值范围，确定的整数部分，进而得到小数部分． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此整数部分为10，小数部分． 故答案为． 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若n为正整数，且满足，则n=_____． 【答案】 4 【详解】解：∵， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴． 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 【答案】 【分析】先将化简，再根据无理数的定义逐个判断各数即可求解． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每两个之间的个数依次增加）是无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 无理数有个． 12．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 【答案】4.33 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键．仿照小潘同学估算的方法，先确定的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到，即可得解． 【详解】解：因为，所以的整数部分是4． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以， 故答案为：4.33． 素养提升 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如图，在数轴上近似地表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ，，，， ∴______<______<______<______<______． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查算术平方根和数轴，在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大． 【详解】，， ∴ 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨…（每两个1之间多一个）． 甲说“”，乙说“”，丙说“”，丁说“…（每两个1之间多一个）”． (1)甲、乙、丙、丁四个人中，说错的是______． (2)请将老师所给的数字对应的序号按要求填在相应的横线上． 整数______； 负分数______． 【答案】(1)甲 (2)②⑤⑦，③⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数． 根据无理数的概念即可判断； 根据实数相关概念填空即可． 【详解】（1）解：⑤，⑦， 无理数是：①④⑨， 所以甲、乙、丙、丁四个人中，说错的是甲； 故答案为：甲； （2）解：⑤，⑦， 整数：②⑤⑦； 负分数：③⑧； 故答案为：②⑤⑦，③⑧． 15．（26-27七年级·浙江·暑假作业）已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【答案】(1)0；；5.3；； (2)见解析 (3)4，0，；，5.3；，． 【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的分类等知识，熟练掌握实数的分类是关键． （1）根据A、B、C、D在数轴上的位置进行解答即可； （2）根据实数与数轴的关系进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数， 故答案为：0，，，； （2）解：如图所示： ； （3）解：整数：{4，0，…}； 分数：{，…}； 无理数：{，…}． 16．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，则的整数部分为1；而减去其整数部分的差就是的小数部分，则的小数部分为．根据以上的内容，解答下面的问题： (1)填空：的整数部分是______，的小数部分是_____． (2)若，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据无理数的估算求出、的取值范围，即可求得的整数部分，的小数部分； （2）先根据估算的取值范围，再得出的范围，再根据整数性质求出、的值，再代入计算，最后求平方根即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的整数部分是，的小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 17．（25-26七年级上·浙江·期中）如图1，有一张由五个边长为1的小正方形组成的纸板，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)图1拼成的正方形的面积为________，边长为________． (2)将图1中剪下的如图2所示放置在数轴上，使点与表示的点重合，点与原点重合，以数轴上表示的点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是_______． (3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，求新正方形的边长（要求写出简单的推理过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的面积与边长、数轴与实数的对应关系以及图形面积的计算，解题的关键是掌握正方形面积公式、实数与数轴的对应关系． （1）根据组成正方形的小正方形个数求面积，再求边长； （2）先求的长度，再结合数轴上点的位置求点表示的数； （3）先计算阴影部分面积，再求新正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形由五个边长为1的小正方形组成， 面积为， 根据正方形面积公式（为边长），可得边长． 故答案为：； （2）解：由（1）知，点与表示的点重合，以该点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是，即． 故答案为：； （3）解：阴影部分的面积. ∴新正方形的边长是． 迁移创新 18．（2026·浙江·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 19．（26-27七年级·浙江·暑假作业）阅读材料：材料一：对于一个正无理数N，总能找到唯一的整数k，使得．我们称k为N整数部分，为N的小数部分．例如：，所以的整数部分是1，小数部分是． 材料二（线性插值法）：估算无理数的近似值，我们可以利用“夹逼法”和“线性插值”．例如，估算（结果精确到0.01）： 1.夹逼定位整数部分：先找到两个相邻整数13、14，使，所以，即的整数部分13． 2.线性插值确定小数部分：的小数部分可近似用180在区间内线性比例表示．即的小数部分，（精确到0.01） 因此． 利用材料一 (1)基础应用：直接写出的整数部分是______，小数部分是______； (2)综合求值：已知，其中a为整数，且，求的值； (3)利用材料二近似估算：估算的近似值，结果精确到0.01，并写出估算过程． 【答案】(1)(1)，； (2)； (3)，过程见解析 【分析】(1)利用夹逼法确定在哪两个相邻整数之间，即可得整数部分与小数部分， (2)先确定的范围，再求出的整数部分与小数部分，进而求， (3)利用材料二的线性插值法，先夹逼定位整数部分，再用区间上线性比例估算小数部分，最后求和并精确到0.01． 【详解】（1）解:∵，， 又∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为． （2）解:∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， 又∵， ∴， ∴． （3）解:∵，， 又∵， ∴， ∴的整数部分为， 又∵的小数部分， ∴的小数部分， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $