第02讲 从有理数到实数（2个知识点+8大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第02讲 从有理数到实数（2个知识点+8大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握实数的概念与分类； 2.掌握实数的大小比较； 1.掌握无理数的概念； 2.掌握实数的概念与分类 3、掌握无理数的估算； 知识点01：实数 （1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 （2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。 （3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 1. 实数的分类 （4）实数与数轴上点的关系： 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。 2. 无理数的概念 无限不循环小数称为无理数。 人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… ，，，，，等都是无理数。 【即学即练1】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【即学即练2】 2．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 知识点02：实数的大小比较 1、实数的倒数、相反数和绝对值 （1）相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 （2）绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 （3）倒数 如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 2、数轴和实数大小比较 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数 （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 【即学即练3】 3．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴，即，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键． 【即学即练4】 4．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比1小的正无理数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数． 题型01 无理数 1．下列各数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的识别，熟练掌握无理数的定义和常见形式是解题关键．无理数是指无限不循环小数，常见形式为：开方开不尽的数；含的数或式子；像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此对各选项加以分析判断即可． 【详解】解：A. 是有理数，故本选项不符合题意； B. 是无理数，本选项符合题意； C. ，是有理数，故本选项不符合题意； D. ，是有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．在实数，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：在实数，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，中， 无理数有：，， （相邻两个2之间0的个数逐次加1），共3个． 故选：C． 3．实数，0，，中的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题关键是掌握无理数的概念以及常见形式．无理数是指无限不循环小数，常见形式为：开不尽方的数；含的数或式子；类似这样有规律的数．由此分析判断即可． 【详解】解：实数，0，，中的无理数是． 故答案为：． 4．在实数中，是无理数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数．根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； ，是有理数； 有限小数，有理数； 是分数，有理数； 无理数的为， 故答案为：． 5．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，____；当时，____． (2)当输入的值小于100，且输出y的值是时，输入的值可以是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查流程图，涉及算术平方根定义与运算、无理数概念等知识，看懂流程图，熟练掌握算术平方根运算是解决问题的关键． （1）按照无理数筛选器的工作流程图，代值运算即可得到答案； （2）按照无理数筛选器的工作流程图，逆运算即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是无理数；则； 当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是无理数；则； 故答案为：； （2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下： 当输出y的值是时，则；；； 输入的值可以是， 故答案为：． 题型02 实数的概念理解 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数； B、是整数，属于有理数； C、是无限不循环小数，属于无理数； D、，属于有理数； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 3．有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数，绝对值，实数的分类，近似数，实数和数轴的知识点，根据这些知识点注意判断即可． 【详解】解：无理数都是无限不循环小数，所以①正确； 数轴上的点与实数一一对应，所以②错误； 绝对值等于本身的数是0或正数，所以③错误； 是无理数，所以④错误； 近似数所表示的准确数a的范围是：，所以⑤正确． 故正确的有2个， 故答案为：2． 4．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 5．把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 负实数集合：{______}． 【答案】见解析． 【分析】根据有理数、无理数、负实数的定义解答． 【详解】解∶ 在，0，，，，，， 中，，，， 有理数集合∶； 无理数集合∶ ； 负实数集合∶ ． 【点睛】本题考查了实数的定义，掌握实数的范围以及分类方法是解题的关键． 题型03 实数的分类 1．下面7个数： ，，，，，，，其中是有理数的有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据有理数的定义判断即可． 本题考查了实数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：有理数有：，，，共3个， 故选：D． 2．下列四个实数：， ，  9，，其中比0小的数是（   ） A． B． C．9 D．3．14 【答案】B 【分析】本题考查了实数，解答此题的关键是要明确实数分为正实数，0，负实数，即：正实数负实数．根据实数的分类进行判断即可． 【详解】解：， ，  ，， ∴四个实数：， ，  9，，其中比0小的数是， 故选B． 3．有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦．（每两个3之间依次多一个1）． （1）属于整数的有 （填序号） （2）属于负分数的有 （填序号） （3）属于无理数的有 （填序号） 【答案】 ④⑥ ②⑤ ③⑦ 【分析】本题考查实数的分类，正理解整数、负分数、无理数是解题的关键．根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：，， （1）属于整数的有④⑥， 故答案为：④⑥； （2）属于负分数的有②⑤， 故答案为：②⑤； （3）属于无理数的有③⑦， 故答案为：③⑦． 4．在下列各数，中： 整数有{__________________} 有理数有{_________________} 无理数有{__________________} 负实数有{__________________}． 【答案】整数有；有理数有；无理数有；负实数有 【分析】此题考查了实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键，实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0． 根据实数的分类即实数分为有理数和无理数，有理数分为正有理数和负有理数和0，即可得出答案． 【详解】解：在中， 整数有， 有理数有 无理数有 负实数有． 故答案为：0；；；． 5．把下列各数的序号填在相应的横线里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数集合：｛ …｝      分数集合：｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝    非负有理数集合：｛ …｝ 【答案】①②④；⑥⑦；③⑤⑧；②⑥⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，根据整数，分数，无理数，非负有理数填写即可求解． 【详解】解：整数集合：｛①②④…｝ 分数集合：｛⑥⑦…｝ 无理数集合：｛③⑤⑧…｝    非负有理数集合：｛②⑥⑦…｝ 题型04 实数的性质 1．如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．分析平方等于它本身的实数，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴平方等于它本身，那么这样的实数有0和1，共计2个． 故选：B． 2．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数和相反数，解题的关键是掌握相反数的定义，根据相反数的定义，求一个数的相反数应在这个数的前面加一个负号，再化简，即可． 【详解】∵实数的相反数：， 故选：D． 3．实数a，b的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴推出，再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知满足，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了实数的性质，代数式求值，根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【详解】解；∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2025． 5．计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 【答案】（1），0，6，；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：，0，6，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；用字母表示为：； （3）解：①当时，， ； 故答案为：； ②； 故答案为：． 题型05 实数与数轴 1．数轴上点到原点的距离为，则点所表示的数是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握实数和数轴的知识是解题关键．根据点在原点的距离为该点表示的数的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵表示的点到原点的距离为， ∴点表示的数是或． 故选：C． 2．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 3．数轴上有、、三个点，点表示的数是，点表示的数是，且，则点示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点之间的距离公式是解答此题的关键．由点表示的数是，点表示的数是，且，得，根据数轴上两点间距离即可得解． 【详解】解：∵点表示的数是，点表示的数是，且， ∴， ∴点表示的数是：， 故答案为：． 4．如图，半径为 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一圈，圆上一点由原点 到达点 ，这个点 表示的数为 ，它是 数． 【答案】 无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的识别，根据题意，可得圆滚动一周即为圆的周长即为，结合含的最简式子即为无理数，由此即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， ∴圆的周长为， 当圆上一点由原点滚动一周到达点时，即滚动的距离是圆的周长， ∴点表示的数是，且是无理数， 故答案为：①；②无理数 ． 5．如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f． (1)点A表示的数是______，表示的点可能是______； (2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大； (3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______； (4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______． 【答案】(1)，E； (2)B，F； (3)； (4)或4． 【分析】（）根据数轴可以直接写出点表示的数，由，可得表示的点可能是点E； （2）利用数轴上两点间的距离即可求解； （3）点D是的中点，，得到，又由点A表示的数是，可确定点E表示的数； （4）利用数轴上两点间的距离即可求解； 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【详解】（1）解：由数轴可得， 点A表示的数是， ∵， ∴表示的点可能是点E， 故答案为：，E； （2）解：由数轴可得，在原点左侧，点B到原点的距离最大， ∴点B表示的数最小， 在数轴上，点F到原点的距离最大， ∴点F表示的数的绝对值最大， 故答案为：B，F； （3）解：∵点D是的中点，， ∴， ∴点A表示的数是， ∴点E表示的数是， 故答案为：； （4）解：由数轴可知，点C表示的数是1， ∵点G到点C的距离为3， ∴点G对应的数是或， 故答案为：或． 题型06 实数的大小比较 1．在、、、四个数中，最大的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算和实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 先估算出各个数的范围，再根据负数绝对值越大反而越小进行比较即可得到解答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最大， 故选：B 2．已知，则，和大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 3．比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键． 根据两个负数比较大小， 可通过比较其平方的大小， 即可解答出． 【详解】解：， ， 故答案为：>． 4．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数比较大小， 正确比较与的大小关系，是解题关键 ．首先比较，进而得出答案 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握利用无理数的估算比较大小的方法是解题的关键． （1）两数平方，然后比较大小即可； （2）对和求立方，然后比较大小即可； （3）两数平方，然后估算无理数即可得解； （4）比较分子的大小即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ， ； （2）解：∵， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：∵， ， ， ． 题型07 无理数的大小估算 1．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，熟练掌握无理数估算大小的方法是解题关键．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在3和4之间． 故选：A． 2．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．已知x是的小数部分，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，关键是掌握用夹逼法估算无理数大小． 根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知，为两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，求出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 5．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分； （2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可； （3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是； 故答案为：，； （2）， ， 的小数部分为，即， ， ， 的整数部分为，即， ； （3）， ， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根为． 题型08 无理数整数部分的有关计算 1．设的整数部分为，小数部分为，的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：D． 2．已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（    ） A．5 B．7 C．9 D．20 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键．估算出即可求得，的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故选：B 3．若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据可得的小数部分，进而得出的小数部分与的小数部分相同，然后确定与的小数部分相同，可得a，b，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分是． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴， ∴ ． 故答案为：5． 4．已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出、的值，再计算的值，最后求出平方根即可．本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是12，小数部分是， 即， ， ， ， ， 的整数部分是5，小数部分是， 即， ， 的平方根是， 的平方根是， 故答案为：． 5．材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 1．将2，，这三个数用“”连接正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．因为，，结合，即可获得答案． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 2．估算的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，正确得出是解此题的关键,根据无理数的估算方法估算即可得解． 【详解】解：， ，即， ∴即， 的值在5到6之间， 故选：D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式及绝对值的性质化简，先根据a，b两点在数轴上的位置判断出a，b的符号，再把各二次根式及绝对值进行化简即可． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴ ∴． 故选：A． 4．下列各数：，，，，，0，0.3737737773…（每两个3之间7的个数逐次加1），无理数的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：，， 则，，0都是有理数， ，，，0.3737737773…（每两个3之间7的个数逐次加1），都是无理数，共4个， 故选：B． 5．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出，即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 6．通过估算，比较大小： ． 【答案】 【分析】考查实数的大小比较，不等式的性质，用夹逼法估算出无理数的大小是解题的关键． 先估算出，再利用不等式的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．下列各数，，，，，中，无理数的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查无理数的定义、算术平方根等知识点，熟练掌握初中阶段的三种无理数（①开不尽的方根，②无限不循环小数，③含有的绝大部分数）是解题的关键． 根据无理数的三种形式逐个判断即可． 【详解】解：在，，，，，中，无理数有∶、、，共3个． 故答案为3． 8．若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 由题意可知，a，b是两个连续的整数且， ∴ ∴ 故答案为：9 9．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如 现对 72进行如下操作：，这样对72 只需进行3 次操作后变为1，类似地，(1)对85只需进行 次操作后变为1；(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】 3 255 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据新运算依次求出即可，能求出每次的值是解此题的关键． 【详解】解：，，， 故对85只需进行3次操作后变为1， ， ， 故只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是， 故答案为：3；255． 10．已知均为正整数． (1)若则 ； (2)若,则满足条件的的个数总比的个数少 个． 【答案】 3 2 【详解】(1)3；为正整数,． (2)2．的个数为的个数为满足条件的的个数总比的个数少2个 11．已知实数，，满足． (1)求，，的值； (2)求的整数部分． 【答案】(1)，， (2)的整数部分为． 【分析】此题考查了非负数的性质，无理数的估算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值，平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）利用无理数的估算求解即可． 【详解】（1）解：， ，，， 解得：，，； （2）由（1）知，，，， ， ， ， ， ， 的整数部分为． 12．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如，2.13的小数部分为 (1)= ，= (2)设的小数部分为a，求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】题主要考查了新定义的概念的理解、无理数的估算，准确理解新定义的意义是解答本题的关键． （1）根据新定义的意义，结合无理数的估算，逐个进行计算即可； （2）利用新定义表示出a，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴小数部分为， ∴． 13．观察图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． (1)图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ． (2)估计边长的值在整数 和 之间． (3)在数轴上作出阴影部分正方形边长的对应点（要求保留作图痕迹）． 【答案】(1)10； (2)3；4 (3)作图见解析 【分析】本题考查算术平方根、估算无理数的大小、正方形的面积与边长的关系，用数轴上的点表示无理数，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数大小以及利用数形结合的思想进行解答． （1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长； （2）根据，即可估算； （3）根据，然后在数轴上画出直角边长为1和3的直角三角形，即可求出． 【详解】（1）解：阴影部分面积， 设阴影部分正方形的边长为x， 则， 解得 故答案为：10；． （2）解：∵， ∴， 故答案为：3；4． （3）解：如图所示： 14．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是__________，的整数部分是__________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】(1)；1 (2)4 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，求一个数的平方根，关键是确定出无理数的整数部分与小数部分； （1）估算出的整数部分，即可求得其小数部分；估算出的整数部分，即可确定的整数部分； （2）求出的整数数部分，即可求得a；估算出的整数部分，即可求得b，代入即可求解； （3）估算出的整数部分与小数部分，从而确定出x与y的值，进而求得的值，从而求得其平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴小数部分为； ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为1； 故答案为：；1； （2）解：∵， ∴的整数部分为2， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴的整数部分为4， ∴的整数部分与小数部分分别为14与， ∴， 则， ∵， ∴的平方根为． 15．阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)， (3)1，作图见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义解答； （2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数； （3）根据题意可得图中阴影部分正方形的边长，先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点． 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即， 故答案为：； （2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为， ∵图中小正方形对角线长为， ∴， ∴，， ∴，两点表示的数分别为和， 故答案为：，； （3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为； 图3拼成的大正方形面积为5， 则大正方形边长为， 即图3裁出的长方形的对角线长为， 则可利用如下图所示作图： 其中，，， ∴， ∴点表示的数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 从有理数到实数（2个知识点+8大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握实数的概念与分类； 2.掌握实数的大小比较； 1.掌握无理数的概念； 2.掌握实数的概念与分类 3、掌握无理数的估算； 知识点01：实数 （1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 （2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。 （3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 1. 实数的分类 （4）实数与数轴上点的关系： 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。 2. 无理数的概念 无限不循环小数称为无理数。 人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… ，，，，，等都是无理数。 【即学即练1】 1．下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【即学即练2】 2．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 知识点02：实数的大小比较 1、实数的倒数、相反数和绝对值 （1）相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 （2）绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 （3）倒数 如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 2、数轴和实数大小比较 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数 （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 【即学即练3】 3．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 题型01 无理数 1．下列各数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．在实数，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．实数，0，，中的无理数是 ． 4．在实数中，是无理数的是 ． 5．如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，____；当时，____． (2)当输入的值小于100，且输出y的值是时，输入的值可以是______． 题型02 实数的概念理解1．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 2．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 4．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 5．把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 负实数集合：{______}． 题型03 实数的分类 1．下面7个数： ，，，，，，，其中是有理数的有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列四个实数：， ，  9，，其中比0小的数是（   ） A． B． C．9 D．3．14 3．有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦．（每两个3之间依次多一个1）． （1）属于整数的有 （填序号） （2）属于负分数的有 （填序号） （3）属于无理数的有 （填序号） 4．在下列各数，中： 整数有{__________________} 有理数有{_________________} 无理数有{__________________} 负实数有{__________________}． 5．把下列各数的序号填在相应的横线里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数集合：｛ …｝      分数集合：｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝    非负有理数集合：｛ …｝ 题型04 实数的性质 1．如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．实数a，b的位置如图，化简： ． 4．已知满足，则的值为 ． 5．计算： （1），________，________，________，________． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来． （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则________； ②________． 题型05 实数与数轴 1．数轴上点到原点的距离为，则点所表示的数是（　　） A． B． C．或 D． 2．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．数轴上有、、三个点，点表示的数是，点表示的数是，且，则点示的数是 ． 4．如图，半径为 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一圈，圆上一点由原点 到达点 ，这个点 表示的数为 ，它是 数． 5．如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f． (1)点A表示的数是______，表示的点可能是______； (2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大； (3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______； (4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______． 题型06 实数的大小比较 1．在、、、四个数中，最大的数是（  ） A． B． C． D． 2．已知，则，和大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．比较大小： 3．（填“>”“<”或“=”） 4．比较大小： ．（填“”“”或“”） 5．通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 题型07 无理数的大小估算 1．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．已知x是的小数部分，则x的值为 ． 4．已知，为两个连续整数，且，则 ． 5．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 题型08 无理数整数部分的有关计算 1．设的整数部分为，小数部分为，的值是（　　） A． B． C． D． 2．已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（    ） A．5 B．7 C．9 D．20 3．若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 4．已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 5．材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 1．将2，，这三个数用“”连接正确的是（   ） A． B． C． D． 2．估算的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A．a B． C． D． 4．下列各数：，，，，，0，0.3737737773…（每两个3之间7的个数逐次加1），无理数的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．通过估算，比较大小： ． 7．下列各数，，，，，中，无理数的个数有 个． 8．若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 9．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如 现对 72进行如下操作：，这样对72 只需进行3 次操作后变为1，类似地，(1)对85只需进行 次操作后变为1；(2)只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 10．已知均为正整数． (1)若则 ； (2)若,则满足条件的的个数总比的个数少 个． 11．已知实数，，满足． (1)求，，的值； (2)求的整数部分． 12．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如，2.13的小数部分为 (1)= ，= (2)设的小数部分为a，求的值； 13．观察图，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1． (1)图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ． (2)估计边长的值在整数 和 之间． (3)在数轴上作出阴影部分正方形边长的对应点（要求保留作图痕迹）． 14．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是__________，的整数部分是__________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根． 15．阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______； (2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$