期末综合限时小卷（7）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

**基本信息** 高一下学期数学期末限时小卷（湘教版必修第二册），40分钟67分，通过生活情境（随机事件判断）、空间几何（正方体异面直线）及概率应用（面试问题），考查数学眼光、思维与语言，适配期末复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|4/20|随机事件、向量数量积、概率计算、立体几何异面直线|基础概念与空间想象结合，如第4题正方体异面直线成角| |多选题|2/12|三角函数诱导公式、空间线面关系|多角度辨析，如第6题线面平行与垂直命题判断| |填空题|2/10|复数模、三角恒等变换|简洁考查运算能力，如第7题虚根模求参数| |解答题|2/25|长方体线面平行证明、三棱锥体积、独立事件概率|综合应用，如第10题以面试为情境考查概率计算，体现数学语言表达现实世界|

期末综合限时小卷（7）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册 (考试时间40分钟 分值67分) 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 2.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin 〈a，c〉＝ (　　) A． B． C． D． 3.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 (　　) A． B． C． D． 4.如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 5.已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的是 (　　) A．sin (B＋C)＝sin A B．sin ＝cos C．cos (A＋B)<cos C D．sin A<cos B 6.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（   ） A．若，，则； B．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； C．若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； D.若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 7. 若关于的方程的一个虚根的模为3，则的值为_____. 8. 已知sin (α－β)＝，＝4，则sin(α＋β)＝________． 四、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(12分) 已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 10.（13分）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 期末综合限时小卷（7）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册答案 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. CBDB 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 5.ABC 6.ABD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 7. 8. 四、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 【详解】（1）在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中， ，，且平面 ∵， ∴. 10. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为 . 学科网（北京）股份有限公司 $