1.2 集合间的基本关系-2026-2027学年人教A版高一上学期必修一数学课件

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，系统讲解子集、真子集、空集及集合相等的概念，结合Venn图直观表达。通过草原枣红马与所有马的情境导入，类比实数的相等与大小关系，搭建从实数到集合关系的学习支架。 其亮点在于以情境创设和类比推理培养数学眼光与思维，如用草原情境引导学生观察现实，通过实数关系推理集合关系。借助Venn图和符号语言强化数学表达，规律探究（元素与子集个数关系）提升推理能力。学生能直观理解抽象概念，教师可利用结构化资源提高教学效率。

1.2 集合间的基本关系 1 草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑. 如果草原上的枣红马组成集合A,草原上的所有马组成集合B,那么集合Ａ与集合Ｂ的关系是怎样的？怎样来表示这种关系？ 1.了解集合之间包含与相等的含义. 2.理解子集、真子集、空集的概念，能识别给定集合的子集.(重点) 3.能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 4.会判断简单集合的包含关系.(难点) 数学运算：通过集合间的关系判断或求参数，培养数学运算的核心素养 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养， 让我们一起 吧！ 进 走 课 堂 实数有大小关系 如：5<7,5>3 实数有相等关系 如：5=5 确定集合的研究问题：集合间的关系，集合的运算 上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么？用什么方法研究？ 集合与集合之间呢？ 类比 “实数” 回顾实数研究了哪些内容：实数间的关系、实数的运算等 可以发现，在(1)中，集合A的任何一个元素都是集合B的元素. 这时我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A. (2) (3)中的两个集合之间也有这种关系. 自主探究 问题1：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ (1)A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班的全体学生组成的集合； (3)E={x|x是两条边长相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}. 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 读作：“A包含于B”(或“B包含A”) 1. 子集 在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 如图所示 特别地，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. A⊆B(或B⊇A) A B 提示：表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、也可以是其他封闭曲线. 【即时训练】 A⊆B⊆C 【即时训练】 C 问题2：观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系，类比“若a≥b,且b≥a,则a=b ”，你能得出什么结论？ E={x|x是两条边相等的三角形}, F={x|x是等腰三角形} 集合 E 中的元素和集合 F 中的元素相同. 一般地，如果集合A的____________都是集合B的元素，同时集合B的____________都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等. 记作：_____. 用式子表示：如果_____，同时_____， 那么____. 任何一个元素 任何一个元素 A=B AB BA A=B 也就是说，若，且 ，则A = B. A(B) 自主探究 问题3：考察下列两组集合： 集合A={1，2，3，4}与集合B={0，1，2，3，4} 问1: 上述集合中，集合A与集合B之间的关系如何？ 问2: 上述集合中，集合A是集合B的子集，这两个子集关系有什么不同？ 为了区分这两种不同的子集关系，我们把集合A叫做集合B的真子集，那么如何定义集合A是集合B的真子集？ 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A) 读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”) B A 问题4：方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？ 我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根组成的集合中没有元素. 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为， 并规定：空集是任何集合A的子集. 即. 是任何非空集合B的真子集,即 ⫋B 自主探究 问题5：包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什么区别？ 问题6：集合A⫋B与集合A⊆B有什么区别 ？ 问题7：0，{0}与三者之间有什么关系? 前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系. 前者集合B含有集合A没有的元素，后者集合A可能与集合B相等 {0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，是{0}的一个子集. 包含关系是集合与集合之间的关系，用“⊆”表示； 属于关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示. 【即时训练】用适当的符号填空： (1) a___{a,b,c}； (2) 0___{x|x2=0}； (3) ∅___{x∈R|x2+1=0}； (4) {0,1}___N； (5) {0}___{x|x2=x}； (6) {2,1}___{x|x2-3x+2=0}. ∈ ∈ = = ⫋ ⫋ 由集合之间的基本关系，可得以下结论： 2.对于集合A、B、C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 1.任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A C B A 总结提升 【典例探究】 【即时训练】 C 观察与推理——元素个数与子集个数的关系 (1)写出的所有子集； (2)写出集合{a}的所有子集； (3)写出集合{a,b}的所有子集; (4)写出集合{a,b,c}的所有子集. 集合 元素个数 子集个数 真子集 个数 非空子集 个数 0 1 0 {a} 1 2 1 {a,b} 2 4 3 {a,b,c} 3 8 7 {a,b,c,…} n 1. 写集合子集的一般方法： 先写空集，然后按照集合 元素从少到多的顺序写出来， 一直到集合本身. 2. 写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集. 规律总结： 集合A有n(n≥0)个元素,则A的子集有2n个, A的真子集或非空子集有2n-1个, A的非空真子集有2n-2个(n≥1). (5)由(1)-(4)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？ 可得：当n＝0时，集合M有1＝20个子集； 当n＝1时，集合M有2＝21个子集； 当n＝2时，集合M有4＝22个子集； 当n＝3时，集合M有8＝23个子集； 因此含有n个元素的集合M有2n个子集. 观察与推理——元素个数与子集个数的关系 求集合子集、真子集个数的3个步骤 判断 分类 列举 根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况 根据集合中元素的多少进行分类 采用列举法逐一写出每种情况的子集 【典例探究】 【即时训练】 集合间的 基本关系 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 空集：无任何元素   相等：两集合的元素完全相同 求子集时，注意不要漏掉空集和集合本身 解含参集合问题时，注意用到分类讨论思想 数学运算：通过集合间的关系判断或求参数，培养数学运算的核心素养 求子集的方法： (1)分类讨论：按照元素个数从0到n依次列举出子集； (2)用树状图：协助写出子集 判断集合关系方法： (1)观察法：一一列举观察； (2)元素特征法：先确定元素，再根据元素特征判断； (3)数形结合法：利用数轴或Venn图 B B C A BD 4 关键： 1.连续数集借助数轴分析 2.考虑真子集是否为空集 3.不等式左右端点值比较 4.判断临界情况是否符合 我们不需要死读硬记，我们需要用基本的知识来发展和增进每个学习者的思考力. ——列宁 $