第07讲 抛物线及其性质（13核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦抛物线核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质及直线与抛物线位置关系等，按考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训递进，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建体系，突破焦点弦、定点定值等难点。 资料以分层集训和方法技巧为特色，如用定义法转化距离问题培养数学思维，通过焦半径公式推导提升运算能力，设置基础到真题的分层练习保障复习效果，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第07讲 抛物线及其性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 抛物线的定义 知识点2 抛物线的标准方程及几何性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 抛物线的定义及应用 考点02 求抛物线的标准方程 考点08 直线与抛物线的位置关系 考点03 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 考点09 焦点弦问题 方法技巧 与抛物线有关的最值问题的求解策略 考点10 定点、定值问题 考点04 抛物线的焦点坐标及准线方程 考点11 抛物线中的最值与范围问题 考点05 求抛物线的轨迹方程 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 方法技巧 求抛物线轨迹方程的方法 考点12 抛物线中的实际问题 考点06 抛物线的焦半径公式 考点13 抛物线中的新定义问题 考点07 抛物线中的三角形（四边形）面积问题 方法技巧 与新定义有关的问题的求解策略 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2. 掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3. 了解抛物线的简单应用． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 抛物线的方程与性质 全国Ⅰ卷T5 全国Ⅱ卷T6、北京卷T11 北京卷T11，天津卷T12，上海卷T7 直线与抛物线的位置关系 全国Ⅱ卷T11、天津卷T15 全国Ⅰ卷T10 全国Ⅱ卷T10 考情解读 近三年抛物线命题聚焦于抛物线的定义、焦点与准线的求解、焦半径公式、直线与抛物线相交的弦长及轨迹方程等考点，题型涵盖选择题、填空题、解答题，分值从4分到12分不等。考查形式上，既存在对抛物线定义、焦点准线等单一知识点的直接考查，也常与双曲线离心率、圆的方程、导数、基本不等式等知识综合，且“根据抛物线方程求焦点或准线”为高频考查点，体现出对抛物线核心概念、运算能力及知识综合应用能力的重视。 备考策略 备考时需扎实掌握抛物线的定义、标准方程、几何性质（焦点、准线、焦半径等）。针对 “焦点准线求解”“直线与抛物线弦长” 等高频考点开展专项训练，同时注重综合题的练习，总结 “定义法”“代数法（韦达定理）” 在抛物线问题中的应用技巧，提升运算准确性和知识迁移能力，尤其要关注抛物线与其他圆锥曲线、函数、不等式的综合题型． 知识・归纳梳理 知识1 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 注意：　定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. 知识2 抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图象 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 必记结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 　设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α为弦AB的倾斜角，则： （1）x1x2＝，y1y2＝－p2； （2）｜AF｜＝，｜BF｜＝； （3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝； （4）＋＝； （5）以弦AB为直径的圆与准线相切； （6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切； （7）过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p（通径）. 重难・核心突破 考点01 抛物线的定义及应用 典例1．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 典例2．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【考法预测2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【考法预测3】（2026·湖南邵阳·三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【考法预测4】已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 考点02 求抛物线的标准方程 典例1从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【考法预测1】方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 考点03 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 典例1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【考法预测1】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【考法预测2】（2026·云南·模拟预测）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【考法预测3】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 方法技巧 与抛物线有关的最值问题的求解策略 （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决. 考点04 抛物线的焦点坐标及准线方程 典例1．（2026·河南·二模）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 典例2．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·山东聊城·三模）已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3（2026·北京·三模）已知抛物线上的点到其准线的距离的最小值为2，则（   ） A．2 B．4 C． D． 考点05 求抛物线的轨迹方程 典例1．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 典例2．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高二上·陕西安康·期末）设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【考法预测3】（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 方法技巧 求抛物线轨迹方程的方法 求轨迹问题的两种方法 （1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程； （2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 考点06 抛物线的焦半径公式 典例1．（25-26高三下·甘肃白银·期中）设为抛物线的焦点，点在上，则__________. 【考法预测1】（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【考法预测2】（2026·湖北·模拟预测）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______． 【考法预测3】（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 考点07 抛物线中的三角形（四边形）面积问题 典例1．（2026·广西河池·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 典例2（25-26高二下·北京海淀·期中）已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【考法预测1】（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·河北保定·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，其准线与x轴交于点E，过点 E且斜率为负的直线交C于A，B两点(点A在点B的左侧)，若 点D(8，8)，△DBF 的面积为 ，△ABF 的面积为，则 （    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【考法预测3】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.若，则与的面积的比值是（   ） A． B．3 C． D．9 考点08 直线与抛物线的位置关系 典例1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为.若直线与抛物线只有一个公共点，则点到该直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 典例2．（2026·河北保定·二模）已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 【考法预测1】过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 【考法预测2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于点，，与轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是抛物线：（）的焦点，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值． 考点09 焦点弦问题 典例1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 典例2．（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【考法预测1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 【考法预测3】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 考点10 定点、定值问题 典例1．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 典例2．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【考法预测1】（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线的方程为过定点； （ii）求面积的最小值． 【考法预测2】（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，曲线：（，），点，直线与轴交于点，同时与曲线交于点，点，分别是曲线与线段上的动点． (1)若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (2)若为曲线上一点，是否存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【考法预测3】（25-26高二下·重庆·期中）已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 考点11 抛物线中的最值与范围问题 典例1．（25-26高三上·辽宁·期末）平面直角坐标系中，动点P，Q为抛物线上不同象限内的两点，且直线的斜率为1，已知当直线过的焦点时，. (1)求的方程； (2)求的取值范围. 【考法预测1】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【考法预测2】（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，设，若抛物线上存在点P，使得，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直. (1)求抛物线的方程及双曲线的离心率； (2)设点在双曲线上，且，求点到轴的距离； (3)若抛物线上的点到直线的距离最小，求点坐标. 考点12 抛物线中的实际问题 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 高考数学中抛物线的最值与范围问题，核心在于将几何问题代数化，主要求解策略如下： 1. 几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先考虑利用抛物线的定义与性质。例如，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等平面几何定理，可直观、巧妙地求出最值。 2. 代数法（构建函数与不等式）： 目标函数法：引入核心参数（如斜率 k 、截距或动点坐标），将所求几何量（如弦长、面积）表示为关于该参数的函数，再利用导数、配方法或函数单调性求最值。 构造不等式法：利用直线与抛物线联立后的判别式 Δ>0 、已知参数的范围、隐含的几何限制，或运用基本不等式，构造关于目标变量的不等式组，从而求出参数的取值范围。 注意事项：解题时务必注意直线斜率是否存在，并严格保证联立方程的 Δ>0 以确保交点存在。 典例1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【考法预测1】（25-26高三上·北京东城·期末）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【考法预测2】如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m． 【考法预测3】世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【考法预测4】（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 考点13 抛物线中的新定义问题 典例1．（多选）如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（    ）    A． B．的面积为16 C．的值比32小 D．直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为 【考法预测1】在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆. (1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由. (2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：. 【考法预测2】曲线的方程中，用替换，替换得到曲线的方程，把这种的变换称为“伸缩变换”，，分别称为轴和轴的伸缩比. (1)若曲线的方程为，伸缩比，求经过“伸缩变换”后所得到曲线的标准方程； (2)若曲线的方程为，经过“伸缩变换”后所得到曲线是离心率为的椭圆，求的值； (3)对抛物线作变换，得抛物线；对抛物线作变换，得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，若，记数列的前项和为，求证：. 方法技巧 与新定义有关的问题的求解策略 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 拔高・分层集训 基础演练 1．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东烟台·一模）已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（   ） A． B． C．2 D．4 3．若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．2+ C．2+2 D．4 4．（2026·湖南永州·二模）已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（   ） A．2 B．2 C．2 D．4 5．已知抛物线的焦点为F，两条直线和分别与抛物线C相交于不同于原点的两点．若直线经过点F，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 6．（多选）（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 7．（多选）若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（     ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．一条直线上 8．（多选）（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 9．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 10．（2026·河北保定·二模）已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 能力进阶 1．（2026·湖南永州·三模）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（2026·河北衡水·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 4．（24-25高三上·陕西西安·阶段检测）已知为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的弦，其中点在第一象限，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（   ） A．当直线AB垂直于x轴，且时，则抛物线方程为 B． C．存在直线AB，使得以线段AB为直径的圆过原点 D．若，点，则为钝角 6．（多选）（2026·江西赣州·二模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（   ） A． B．直线经过点 C． D．与面积之和的最小值是3 7．（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 8．（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 9．（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 真题实战 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 4．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 6．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 7．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 8．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 10．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 8 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 抛物线及其性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 抛物线的定义 知识点2 抛物线的标准方程及几何性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 抛物线的定义及应用 考点02 求抛物线的标准方程 考点08 直线与抛物线的位置关系 考点03 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 考点09 焦点弦问题 方法技巧 与抛物线有关的最值问题的求解策略 考点10 定点、定值问题 考点04 抛物线的焦点坐标及准线方程 考点11 抛物线中的最值与范围问题 考点05 求抛物线的轨迹方程 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 方法技巧 求抛物线轨迹方程的方法 考点12 抛物线中的实际问题 考点06 抛物线的焦半径公式 考点13 抛物线中的新定义问题 考点07 抛物线中的三角形（四边形）面积问题 方法技巧 与新定义有关的问题的求解策略 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2. 掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3. 了解抛物线的简单应用． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 抛物线的方程与性质 全国Ⅰ卷T5 全国Ⅱ卷T6、北京卷T11 北京卷T11，天津卷T12，上海卷T7 直线与抛物线的位置关系 全国Ⅱ卷T11、天津卷T15 全国Ⅰ卷T10 全国Ⅱ卷T10 考情解读 近三年抛物线命题聚焦于抛物线的定义、焦点与准线的求解、焦半径公式、直线与抛物线相交的弦长及轨迹方程等考点，题型涵盖选择题、填空题、解答题，分值从4分到12分不等。考查形式上，既存在对抛物线定义、焦点准线等单一知识点的直接考查，也常与双曲线离心率、圆的方程、导数、基本不等式等知识综合，且“根据抛物线方程求焦点或准线”为高频考查点，体现出对抛物线核心概念、运算能力及知识综合应用能力的重视。 备考策略 备考时需扎实掌握抛物线的定义、标准方程、几何性质（焦点、准线、焦半径等）。针对 “焦点准线求解”“直线与抛物线弦长” 等高频考点开展专项训练，同时注重综合题的练习，总结 “定义法”“代数法（韦达定理）” 在抛物线问题中的应用技巧，提升运算准确性和知识迁移能力，尤其要关注抛物线与其他圆锥曲线、函数、不等式的综合题型． 知识・归纳梳理 知识1 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 注意：　定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. 知识2 抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图象 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 必记结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 　设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），α为弦AB的倾斜角，则： （1）x1x2＝，y1y2＝－p2； （2）｜AF｜＝，｜BF｜＝； （3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝； （4）＋＝； （5）以弦AB为直径的圆与准线相切； （6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切； （7）过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p（通径）. 重难・核心突破 考点01 抛物线的定义及应用 典例1．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 典例2．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 【考法预测1】（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 【考法预测2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意得，即，焦点坐标为 ，因此. 因为，所以. 设 ， 因为点A在E上，则. 代入抛物线方程得 ，因此. 【考法预测3】（2026·湖南邵阳·三模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】点到抛物线焦点的距离为4，，. 【考法预测4】已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【分析】由题意得出，分、两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论. 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 考点02 求抛物线的标准方程 典例1从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 典例2．（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 【考法预测1】方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 【考法预测2】已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点为抛物线上一点，代入抛物线方程，再由，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：依题意得 ， 因为，所以. 又，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：D 【考法预测3】（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出抛物线方程，即可求解抛物线C的准线方程． 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线方程， 所以抛物线C的准线方程为． 考点03 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 典例1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 典例2．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义将“点到准线的距离”转化为“点到焦点的距离”，再利用三点共线求最值的方法即可求解. 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 5． 【考法预测1】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，是上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】已知抛物线，焦点，，准线为， 根据抛物线的定义可得， 如下图所示，作到准线的垂线分别交抛物线，准线于，当三点共线时，取得最小值， ． 【考法预测2】（2026·云南·模拟预测）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点，准线， 到的距离，等于到的距离. 所以P到直线和的距离之和的最小值等于到直线的距离， 所以最小值为. 【考法预测3】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， .    方法技巧 与抛物线有关的最值问题的求解策略 （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决. 考点04 抛物线的焦点坐标及准线方程 典例1．（2026·河南·二模）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把抛物线化为标准方程， 因为抛物线开口向下，且焦点坐标是， 则，即，可得，所以焦点坐标是. 典例2．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得准线方程. 【详解】由题意可知：抛物线的标准方程为， 可知抛物线的焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 【考法预测1】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线性质得是一个抛物线开口向左的抛物线， 且，所以，所以焦点坐标为. 【考法预测2】（2026·山东聊城·三模）已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将点的坐标代入标准方程，求出，再求出准线即可. 【详解】由点在抛物线上，则， 即，解得或（舍）， 因为抛物线准线方程为，即， 因此，抛物线C的准线方程为. 【考法预测3（2026·北京·三模）已知抛物线上的点到其准线的距离的最小值为2，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】抛物线上的点到准线的最小距离就是顶点到准线的距离. 【详解】因为抛物线的准线方程为， 所以原点到准线的距离为：​， 则根据题意最小距离为，可得：. 考点05 求抛物线的轨迹方程 典例1．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 典例2．已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 【考法预测1】（25-26高二上·陕西安康·期末）设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意列出点的坐标满足的方程，化简可得其轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 化简得，即点的轨迹方程为. 故选：C 【考法预测2】（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【详解】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 【考法预测3】（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 【答案】C 【分析】依次代入参数和并化简方程：A选项中直接得到两条垂直于轴的直线；B选项中平方后得到圆的标准方程；C选项中移项平方并分区间讨论得到两段不连续的抛物线弧，并非完整抛物线；D选项中移项后由非负性推出矛盾，无实数解. 【详解】平面上，点到直线的距离为， 到点的距离为， 轨迹方程：. A.当，方程为，即，解得或， 轨迹是两条直线和，A选项正确； B.当，方程为，即， 平方得，轨迹是圆心，半径的圆，B选项正确， C.当，方程为， 令，，则， 且， 由，得： 展开化简得： 分两种情况： 当时，，， 即，且由， 又由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧； 当时，，， 即，且由， 由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧； 轨迹由两段不同的抛物线弧组成，不是完整的抛物线，C选项错误； D.当 方程为， 即， 要求，即或， 若，则，方程为， 平方得，化简得， 当时，，无实数解， 若，则，方程为， 平方得，化简得， 当时，，无实数解， 因此轨迹不存在，D选项正确. 故选：C 方法技巧 求抛物线轨迹方程的方法 求轨迹问题的两种方法 （1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程； （2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 考点06 抛物线的焦半径公式 典例1．（25-26高三下·甘肃白银·期中）设为抛物线的焦点，点在上，则__________. 【答案】16 【分析】根据抛物线的定义，利用焦半径公式求解． 【详解】解：由题可知， 所以． 【考法预测1】（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________． 【答案】 【分析】设，根据焦半径公式得，进而求得，再计算斜率即可. 【详解】由已知得，设， 所以，根据焦半径公式得，解得， 代入得，解得， 所以直线的斜率为． 【考法预测2】（2026·湖北·模拟预测）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______． 【答案】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，进而得到直线的方程，联立抛物线的方程，可求得A，B两点（A在x轴上方）的横坐标，根据抛物线定义求得，即可得. 【详解】易知抛物线的焦点F，准线. 所以直线的方程为，即， 代入得，即， 所以或. 所以. 所以. 【考法预测3】（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【答案】/ 【分析】通过设点、设直线联立方程求解坐标，再利用向量夹角公式求三角函数值． 【详解】 ，设，， 由抛物线的焦半径公式得，， 因为，所以，即， 由题意知，直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，得， ，根据韦达定理有， 又因为，所以， 由，得， 因为抛物线关于轴对称，所以不妨设点在第一象限， 则，所以，， 所以， 所以． 考点07 抛物线中的三角形（四边形）面积问题 典例1．（2026·广西河池·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，进而得到圆的方程,然后联立圆的方程与抛物线方程求出交点的坐标,最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为,准线与轴交于点, 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 圆与抛物线在第一象限的交点为，设，如图，作出符合题意的图形， 由，得，因为点在第一象限， 所以，即，显然，所以为直角三角形， 所以的面积为. 典例2（25-26高二下·北京海淀·期中）已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过点作的垂线，垂足为.为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程写出焦点、准线，设点及其垂足的坐标，再由等腰梯形两腰相等，列距离公式求出的横坐标，接着代入抛物线方程得的纵坐标与的关系；最后用梯形面积公式列方程，结合已知面积求解的值即可. 【详解】因为抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 设 ，则垂足 ， 由四边形 为等腰梯形，得 ，且 ， 所以，解得 ， 将 代入抛物线方程 ，得： 等腰梯形面积： 因为 ，，，代入得： ， ， ， 又因为 ，所以 . 【考法预测1】（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 【考法预测2】（2026·河北保定·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，其准线与x轴交于点E，过点 E且斜率为负的直线交C于A，B两点(点A在点B的左侧)，若 点D(8，8)，△DBF 的面积为 ，△ABF 的面积为，则 （    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】设，由共线可得， 整理得， 所以，根据的斜率分别为， ，即， 可得 ，解得或， 因为的斜率相反且在左侧，所以， 而的斜率，故有三点共线， 将的方程与抛物线方程联立得， 整理得，一个解即为点横坐标，则另一个解为， 即点横坐标为，所以. 【考法预测3】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.若，则与的面积的比值是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】设抛物线方程为，直线：，根据题意可求出点，，由坐标可知与轴平行，与轴平行，从而由抛物线定义可知，，故可得，最后结合即可求解. 【详解】不妨设抛物线方程为，焦点，顶点，准线， 设直线：，代入抛物线方程，可得， 设，，由韦达定理得. 直线：，即，令，得，所以， 所以与轴平行，由抛物线定义得， 同理可得，与轴平行，且. 由，，与轴平行，与轴平行，可得， 设准线与轴交于点，则， 因为，所以，所以，， 所以，， 所以，. 考点08 直线与抛物线的位置关系 典例1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为.若直线与抛物线只有一个公共点，则点到该直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】先求出抛物线：的焦点，将与联立并消去，由题意可知判别式为0，可求出的值得到直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可求得结果 【详解】抛物线的焦点为. 直线与抛物线只有一个公共点，说明该直线为抛物线的切线. 将代入，得. 整理得. 只有一个公共点，故判别式为0，即. 化简得， 所以. 此时直线为，即. 点到该直线的距离为. 典例2．（2026·河北保定·二模）已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质，结合已知条件构造方程求出，进而求出Γ的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理化简，结合已知条件构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】（1）已知点在抛物线上，则，解得， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义得，解得， 抛物线的方程为． （2）    联立直线与抛物线得， 直线与抛物线交于A，B两点，则，解得， 设，由韦达定理得， ， ， ， ， ，即，解得， 综上可得，t的取值范围为． 【考法预测1】过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 【答案】 【分析】由于在抛物线外部，当直线与抛物线相切时，有两条直线与抛物线只有一个公共点，又点在轴上，轴与抛物线只有一个公共点，因此，一共有三条直线. 【详解】过点且斜率不存在的直线，与抛物线无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立， 得：， 当直线与抛物线只有一个公共点， 当时，，得：， 则直线方程为或与抛物线相切， 即此时与抛物线有且只有一个公共点； 当时，直线方程为， 轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线有且只有一个公共点. 【考法预测2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于点，，与轴相交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将抛物线焦点代入直线，确定直线恒不过焦点,再根据三角形两边之和大于第三边，判断AB选项；抛物线的定义，结合直线与抛物线相交的性质，通过设点坐标建立相关等式，判断CD选项. 【详解】抛物线的焦点，将代入直线的方程，左边为，右边为，等式不成立，故直线恒不过焦点, 根据三角形两边之和大于第三边，在中，，因此A错误，B正确; 由抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，故对、，有：, 即, 直线与轴交于C，令得,由于A、B、C三点共线，且A、B在抛物线上，线段长度比等于横坐标差的绝对值之比：, 代入，得：, 因此C错误，D正确. 【考法预测3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是抛物线：（）的焦点，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值． 【答案】(1) (2)2或． 【分析】（1）代入点的坐标，结合抛物线定义，联立方程求出即可求出抛物线的方程； （2）设直线方程，联立抛物线方程，表示出韦达定理，利用弦长公式求出和，化简求解对应方程的根即可求出的值. 【详解】（1）解：因为点在上，所以①， 根据抛物线的定义可知，②，由①②解得， 所以抛物线的方程为； （2）设直线的方程，，， 联立方程组，化简整理得， 则，，， 由弦长公式可得， 代入，解得， 因为，又因为， 所以， 令，则，解得或，即或， 所以或， 因此的值为2或． 考点09 焦点弦问题 典例1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出焦点 坐标，设，利用中点坐标公式得，利用抛物线的定义即可求出弦长. 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 典例2．（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【答案】AD 【分析】本题考查抛物线的定义、几何性质、过焦点弦的性质及最值问题，结合抛物线定义与坐标运算逐一分析选项即可． 【详解】抛物线的焦点，， 选项A：过焦点的弦中，通径（垂直于对称轴的弦）长度最短，通径长为，因此最小值为4，A正确； 选项B：设中点为，由抛物线定义得，圆半径， 圆心到准线的距离为，故圆与准线不相切，B错误； 选项C：设过的直线方程为， 代入抛物线方程得，韦达定理得，， 因此，C错误； 选项D：由抛物线定义，等于到准线的距离， 因此，最小值为点到准线的距离，即， 所以的最小值为，D正确． 【考法预测1】已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 【考法预测2】（多选）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 【答案】ACD 【分析】先联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到交点坐标关系，再根据各选项要求，结合中点公式，焦半径公式、弦长公式等进行推理判断. 【详解】 已知抛物线为，其焦点为，直线的方程为， 联立抛物线与直线方程可得：，化简可得：， 由题意可得直线与抛物线交于两点，所以， 设，则由韦达定理可得：， 代入直线的方程可得：，所以利用中点公式可得：， 在A选项中，若直线的方程为：，则，所以，A选项正确， 在B选项中，，B选项错误， 在C选项中，，所以，C选项正确， 在D选项中，， D选项正确.    【考法预测3】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点．过的直线交于，两点，若点在以为直径的圆上，则__________． 【答案】4 【详解】抛物线 是标准抛物线，，得 ，因此焦点 ，准线 ，准线与轴交点 ， 设过的直线为 ，， 联立直线与抛物线方程： ，， 由韦达定理得：，， 因为在以为直径的圆上，故 ，即 ，， 代入得： ，将 代入化简， 结合韦达定理得，即 ，即 ， 当 时，直线为，代入抛物线得， 故 ，（也可由抛物线焦点弦公式 ）. 考点10 定点、定值问题 典例1．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 典例2．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，结合已知条件得出，结合构造方程，结合点与，不重合，求出曲线的方程为； （2）设点，求出直线的方程，求出，求出直线，联立直线与曲线的方程求出，再根据得出椭圆方程，进而求出焦点即为定点，，使得为定值． 【详解】（1）设，则，， ，整理得， 又点与，不重合， 曲线的方程为． （2） 设，则直线：， 令，可得， 则直线：， 联立直线与曲线的方程得， 消去，整理得， ，解得， 由题意可知，， ， 整理得，即点在椭圆上， 椭圆的焦点为， 椭圆的焦点为， 在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【考法预测1】（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线的方程为过定点； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解； （2）（i）利用求导法来求切线方程，再通过同构可得到切点弦方程，然后即可得到定点； （ii）利用联立方程组来求弦长和距离，通过面积公式即可求得函数最小值. 【详解】（1）已知焦点（）到直线的距离为2， 根据抛物线的性质可知，若标准形式为，则， 解得，故抛物线的方程为： ； （2） （i）设切点，抛物线，求导得切线斜率， 切线方程为：， 同理切线方程为：，因为, 所以，， 因为都满足方程， 所以直线的方程为：， 当时，，故对任意的，直线恒过定点； （ii）将与联立，消去得：， 判别式， 则弦长， 点到直线的距离： 因此的面积： ， 由，当时，取得最小值. 故面积的最小值为. 【考法预测2】（2026·广东茂名·二模）在平面直角坐标系中，曲线：（，），点，直线与轴交于点，同时与曲线交于点，点，分别是曲线与线段上的动点． (1)若直线与轴垂直，且，求点的坐标； (2)若为曲线上一点，是否存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设，进而得，由向量的数量积得，再代入曲线可得所求点的坐标； （2）设，由矩形得，进而可得，再由得，再由在曲线上可得，最后再检验在曲线上及在线段上可得. 【详解】（1）因为直线与曲线：（，），交于点，所以，.    设，由直线与轴垂直，所以，， 又因为，所以，即，解得， 再将代入得（因为，故舍去）. 因此点的坐标. （2）设，    因为四边形是以，为邻边的矩形，所以， 因此，得， 又因为，所以，因此，得， 因为在曲线上，所以，再将代入， 得，，， ，令，则， 解得（负根舍去），即. 所以，显然，满足在曲线上. 由， 所以, 所以，所以，即，因此点在线段上. 因此，存在点使得四边形是以，为邻边的矩形，此时点的横坐标为. 【考法预测3】（25-26高二下·重庆·期中）已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）由抛物线的定义，直接得到轨迹的方程； （2）结合设直线的方程和，两点坐标，联立曲线的方程，写出直线的方程，结合韦达定理化简即可到直线恒过定点． 【详解】（1）∵平面内动点到点的距离与到直线的距离相等， ∴由抛物线的定义知，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， ∴其轨迹方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，则. 由，得. 恒成立，， ∵不重合，∴，即， ∴直线的方程为， 即. ∴直线过定点. 考点11 抛物线中的最值与范围问题 典例1．（25-26高三上·辽宁·期末）平面直角坐标系中，动点P，Q为抛物线上不同象限内的两点，且直线的斜率为1，已知当直线过的焦点时，. (1)求的方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，由弦长公式代入求解即可； （2）结合（1）的韦达定理表示出，换元求范围即可. 【详解】（1）由题设，，直线的方程为.当直线过的焦点时，有. 联立，有.故. 由于，故，代入解得（负值舍去）. 故的方程为. （2）由题，，，由于动点P，Q为抛物线上不同象限内的两点，故要求，即.. 则. 则， 令，则，故，代入得. 当时，； 当时，，故此时； 当时，，故此时. 综上所述，，又，故. 【考法预测1】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先设点的坐标，再表示点的坐标，以及直线的斜率，利用基本不等式求最值. 【详解】由已知，，设（由抛物线的对称性及斜率最大，则），则， 于是直线的斜率为， 当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为1. 【考法预测2】（2026·河北·三模）在平面直角坐标系中，设，若抛物线上存在点P，使得，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与抛物线有交点转化为方程有正实数根求解. 【详解】因为，， 所以点在以为直径的圆上， 而以为直径的圆的方程为， 又点在抛物线上， 所以圆与至少有一个交点，且交点横坐标大于， 即至少有一个正根， 即至少有一个正根， 所以，解得. 【考法预测3】已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直. (1)求抛物线的方程及双曲线的离心率； (2)设点在双曲线上，且，求点到轴的距离； (3)若抛物线上的点到直线的距离最小，求点坐标. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由抛物线的几何性质，求得，得到抛物线的方程，求得，再由双曲线的一条渐近线与垂直，求得的值，结合双曲线的几何性质，即可求解；， （2）根据题意，得到，由双曲线的定义和勾股定理，得到，求得得面积，结合面积相等法，求得的值，即可求解； （3）设与直线平行的直线为，得到直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离最小，联立方程组，根据，求得， 进而求得点的坐标. 【详解】（1）解：由抛物线上一点到其焦点的距离为， 可得准线方程为，即，所以，则抛物线的方程为， 将代入抛物线方程，可得，即， 又由双曲线，可得其顶点为，渐近线方程为， 则，因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，可得，即， 所以双曲线的方程为，其离心率为. （2）解：因为，可得，即， 不妨设点在第一象限，由双曲线的定义，可得， 在直角，可得， 即， 解得，所以的面积为， 又因为得面积为， 解得，所以点到轴的距离为. （3）解：设与直线平行的直线为， 当直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离最小， 联立方程组，整理得， 由，解得， 将代入，可得，解得， 所以，解得，所以切点的坐标为.    考点12 抛物线中的实际问题 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 高考数学中抛物线的最值与范围问题，核心在于将几何问题代数化，主要求解策略如下： 1. 几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先考虑利用抛物线的定义与性质。例如，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等平面几何定理，可直观、巧妙地求出最值。 2. 代数法（构建函数与不等式）： 目标函数法：引入核心参数（如斜率 k 、截距或动点坐标），将所求几何量（如弦长、面积）表示为关于该参数的函数，再利用导数、配方法或函数单调性求最值。 构造不等式法：利用直线与抛物线联立后的判别式 Δ>0 、已知参数的范围、隐含的几何限制，或运用基本不等式，构造关于目标变量的不等式组，从而求出参数的取值范围。 注意事项：解题时务必注意直线斜率是否存在，并严格保证联立方程的 Δ>0 以确保交点存在。 典例1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用方程求点的坐标即可得解. 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 【考法预测1】（25-26高三上·北京东城·期末）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线的标准方程为，由题意可知，点在抛物线上，代入即可求得值，进而可求得抛物线的标准方程. 【详解】根据题意，设抛物线的标准方程为， 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m， 所以点在抛物线上， 代入可得，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B 【考法预测2】如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m． 【答案】 【分析】建立坐标系，先根据条件求抛物线的方程，再根据的值求即可. 【详解】如图：以拱桥顶点为原点，建立如图坐标系. 设抛物线方程为：，由题意，抛物线过点. 所以，所以抛物线方程为：. 水面上升，则，此时或. 所以水面宽度为：. 故答案为： 【考法预测3】世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 【考法预测4】（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 【答案】60.5 【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得. 【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 考点13 抛物线中的新定义问题 典例1．（多选）如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（    ）    A． B．的面积为16 C．的值比32小 D．直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为 【答案】BCD 【分析】根据对称性，可求得各曲线的方程，进而求出交点，，从而判断选项和；对于阴影部分的面积，利用适当放大，可对选项进行判断；通过求出弦长与的函数关系，进而求出弦长的取值范围，可判断. 【详解】设抛物线绕原点顺时针旋转，，后得到的三条曲线分别为，，. 抛物线的焦点为，故的焦点为，的焦点为，的焦点为. 故，，，. 对于：为曲线与交点，联立方程，解得，即. 为曲线与交点，联立方程，解得，即. 又因为，故.故错误. 对于：由上述过程可得，，，的面积为.故正确. 对于：由于对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分. 第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分. 设该阴影部分面积为，显然.    设函数，则.故过点的切线斜率为. 因此过点的切线方程为.该切线与轴交于，故. .故.故正确. 对于：第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围成，两者关于对称. 直线与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限， 所以，故，所以交点坐标. 由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故，即. 由于与关于直线对称，直线亦关于直线对称， 所以直线与的交点坐标为. 故弦长 设，则，故. 因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为； 当时，即时，弦长最长，此时.故弦长的取值可能为，故正确. 故选：BCD. 【考法预测1】在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆. (1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由. (2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：. 【答案】(1)是， (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明：显然点为抛物线的焦点，∴， 易知，且，∴为等腰三角形， 易知的面积， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴不等式得证. 【分析】（1）先假设3是抛物线的和谐数，进而结合题意求解即可； （2）（ⅰ）不妨设，由为抛物线的和谐数，可得的和谐圆为，进而结合（1）得到，，进而结合题意可得，进而得到数列是等差数列，进而求解； （ⅱ）由题意可得，，，可得为等腰三角形，可得的面积，进而放缩得到当时，，结合裂项相消法求证即可. 【详解】（1）假设3是抛物线的和谐数，则3的和谐圆为， 由对称性，不妨设圆与抛物线有公共点， 显然抛物线在点处的切线，即曲线在点处的切线， 易知该切线的斜率为， ∵圆与抛物线在点处有相同的切线， ∴，解得， ∴圆与抛物线有公共点， ∴和谐圆的半径为 ∴3是抛物线的和谐数，且3的和谐圆为. （2）由对称性，只需考虑，，…，均在轴上方的情形，不妨设， （ⅰ）∵为抛物线的和谐数， ∴的和谐圆为， ∴由（1）可知，，解得， ∴， ∵在圆上，∴， ∵，圆与外切，且， ∴，即， ∴， ∴数列是等差数列，其公差为2，首项为， ∴，即， ∴数列的通项公式为. （ⅱ）略 【考法预测2】曲线的方程中，用替换，替换得到曲线的方程，把这种的变换称为“伸缩变换”，，分别称为轴和轴的伸缩比. (1)若曲线的方程为，伸缩比，求经过“伸缩变换”后所得到曲线的标准方程； (2)若曲线的方程为，经过“伸缩变换”后所得到曲线是离心率为的椭圆，求的值； (3)对抛物线作变换，得抛物线；对抛物线作变换，得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，若，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“伸缩变换”的定义计算即可得； （2）先由“伸缩变换”求得方程，再分或，结合离心率定义计算即可得； （3）由“伸缩变换”求的定义计算可得，则可得数列的通项公式，再利用放缩法及裂项相消法求和即可得证． 【详解】（1）由题意得，化简得， 所以曲线的标准方程为； （2）由题意得，经过伸缩变换后的椭圆方程为，化简得， ①当时，， 则，解得； ②当时，， 则，解得； 综上所述，或； （3）对抛物线作变换， 得抛物线，得， 所以， 即， 所以， 又， 所以，当时， ， 当或时，也成立，故. 方法技巧 与新定义有关的问题的求解策略 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 拔高・分层集训 基础演练 1．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据标准方程的参数求准线方程即可. 【详解】抛物线可化为，焦点在轴上，，则，所以，所以抛物线的准线方程是． 故选：D． 2．（2026·山东烟台·一模）已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为抛物线过点，所以，即. 所以其焦点到准线的距离为. 3．若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．2+ C．2+2 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，可得准线方程，根据抛物线定义可得，根据点P坐标，即可求得答案. 【详解】抛物线准线方程为，过点A作准线的垂线，垂足为B， 根据抛物线的定义可得，所以， 当P，A，B三点共线时，等号成立，所以的最小值为3+1=4. 故选：D 4．（2026·湖南永州·二模）已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（   ） A．2 B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】如图，设，则，结合抛物线的定义得，进而建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】如图，，设，的中点为， 则，又为等边三角形，所以， 由抛物线的定义知，所以， 解得，所以.    故选：D 5．已知抛物线的焦点为F，两条直线和分别与抛物线C相交于不同于原点的两点．若直线经过点F，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用直线与抛物线的对称性结合点在抛物线上计算即可. 【详解】由题知，两直线关于x轴对称， 又抛物线也关于x轴对称，所以两点关于x轴对称， 因为直线经过点，所以直线的方程为， 又因为点A在抛物线C上，代入得，即， 因为，所以，所以，解得． 故选：C． 6．（多选）（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 【答案】BCD 【详解】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 7．（多选）若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（     ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．一条直线上 【答案】ABD 【分析】根据双曲线、椭圆的定义，结合圆的位置关系分析可得. 【详解】由得， 易知圆心，半径， 圆的圆心，半径. 因为圆，有公共点，则， 解得，则， 设动圆的圆心为，半径为， 若圆与圆，都外切，则， 当时，由双曲线定义可知，此时圆心在双曲线的一支，B正确； 当时，圆心在轴上（不含线段）， 若圆与圆外切，与圆内切，则， 当时，由椭圆定义可知，圆心在椭圆上，A正确； 当时，圆心在线段上， 综上，圆心在轴上（不含点，），D正确； 由上述分析可知，动圆圆心只能在椭圆、双曲线和轴上，不可能在抛物线上，C错误. 8．（多选）（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的坐标为 B．当的倾斜角为时， C． D．以为直径的圆与直线相切 【答案】ACD 【分析】利用焦半径公式即可验证A；由点斜式写出直线方程，与抛物线联立解得，即可验证B；设直线的方程为，联立方程组由韦达定理即可验证C；设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，，则，即可验证 D. 【详解】A，因为焦半径， 所以，代入，解得， 由，所以，故A正确； B，当的倾斜角为时，斜率为，则的方程为 ， 联立方程，得到，则或， 因为点在上方，所以，所以，故B错误； C，抛物线的标准方程为，若直线与轴重合， 此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，故C正确； D，设的中点为，过，，分别作准线的垂线于点，，， 所以，圆心到准线的距离等于半径，故D正确； 9．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 【答案】 【分析】利用抛物线定义、垂直平分弦的性质求出，结合圆的弦长公式求解． 【详解】 抛物线的焦点，准线， 准线与轴交点， 设抛物线上点，由得， 为线段的垂直平分线，则， 即，的横坐标，则， 则， 解得，此时，， 圆心到轴的距离， 由弦长公式得：． 10．（2026·河北保定·二模）已知抛物线上的点到Γ焦点的距离为． (1)求Γ的方程； (2)若直线与Γ交于A，B两点， 求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质，结合已知条件构造方程求出，进而求出Γ的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理化简，结合已知条件构造不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】（1）已知点在抛物线上，则，解得， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义得，解得， 抛物线的方程为． （2）    联立直线与抛物线得， 直线与抛物线交于A，B两点，则，解得， 设，由韦达定理得， ， ， ， ， ，即，解得， 综上可得，t的取值范围为． 能力进阶 1．（2026·湖南永州·三模）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】 由抛物线得焦点，设， 因为是的中点，所以的坐标为， 因为在抛物线上，将坐标代入得： ， 再由两点间距离公式： . 2．（2026·河北衡水·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点， 点在抛物线的准线上，所以点，直线的斜率为. 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 3．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】联立直线的方程与抛物线方程，得到坐标满足的关系式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意知，设直线的方程为，与联立， 得，， 设，，则，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 4．（24-25高三上·陕西西安·阶段检测）已知为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的弦，其中点在第一象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由焦点坐标求出抛物线方程，再联立直线与抛物线方程得到交点坐标，最后利用向量点积、抛物线定义和弦长公式逐一验证选项，得出正确结论. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得，抛物线方程为， 又直线，由可得， 解得或，由得；由得，所以， 对于A：因为，所以，A错误； 对于B：，因为, 所以，B错误； 对于C：， 或由抛物线焦点弦公式，C错误； 对于D：由抛物线定义可得，所以，D正确. 【点睛】本题的核心是抛物线定义与焦点弦性质. 5．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（   ） A．当直线AB垂直于x轴，且时，则抛物线方程为 B． C．存在直线AB，使得以线段AB为直径的圆过原点 D．若，点，则为钝角 【答案】ABD 【分析】A：求出点坐标，代入抛物线方程；B：利用几何性质得出；C：设，通过判断；D：通过判断. 【详解】A选项，，则，得， 故抛物线方程为，A正确； B选项，因为，所以， 因为，所以，则， 同理可得，，则，故B正确； C选项，直线的斜率不为0，故设，， 联立，得， 则，， 故，即为钝角， 则原点一定在以线段AB为直径的圆内，故C错误； D选项，由C选项可知， 因为，所以， 则 ， 因为，所以， 故为钝角，故D正确. 6．（多选）（2026·江西赣州·二模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（   ） A． B．直线经过点 C． D．与面积之和的最小值是3 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及计算判断A，B；利用向量模的坐标表示表示出模长，再结合韦达定理代换，最后用基本不等式求解最值判断C，利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等式求解判断D即可. 【详解】对于A，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为，    由，消去得， 得到，，得， 而，，可得， 由，得，解得或， 而，即，因此，，故A正确； 对于B，此时直线恒过点，故B正确； 对于C，由模长公式得， 同理可得， 则 ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，得到， 可得，故C错误， 对于D，不妨设，而， 则 ， 当且仅当时取等号，故D正确. 7．（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 【答案】BCD 【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算． 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以， 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0）， 联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，所以， 所以，所以过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. 因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立， 化简并整理，得，则. 又因为点在直线上，所以，所以， 即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，因为三点共线，所以， 即直线的方程为， 所以点到直线的距离，， 所以，当时取最小值为1，故D正确． 8．（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【答案】/ 【分析】通过设点、设直线联立方程求解坐标，再利用向量夹角公式求三角函数值． 【详解】 ，设，， 由抛物线的焦半径公式得，， 因为，所以，即， 由题意知，直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，得， ，根据韦达定理有， 又因为，所以， 由，得， 因为抛物线关于轴对称，所以不妨设点在第一象限， 则，所以，， 所以， 所以． 9．（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过准线方程得到抛物线方程中参数的值从而得到抛物线的标准方程； （2）设出切线方程，通过切线与抛物线方程的联立求出切点，从而得到法线方程，结合题目中的反射原理，通过向量的数量积得到夹角相等从而得证； （3）根据第2小问得到切线方程，联立得到任意点的坐标，结合向量的数量积来证明两个角的余弦值相等，从而证得两个角相等. 【详解】（1）抛物线的准线为， 则，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，对称轴为y轴， 设为抛物线上一点（非顶点），如下图所示，    抛物线方程，求导可得， 所以点处切线的斜率为， 则切线方程为，即， 因为点处法线与切线垂直，所以法线的斜率为， 则法线方程为，即， 根据题目可知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角， 入射光线为，斜率为， 设反射光线的方向向量为，入射光线的方向向量为， 法线的方向向量为， 因为入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，即它们与法线的夹角的余弦值相等， 所以， 假设反射光线平行于y轴，即方向向量， 代入可得， ， 因为，，所以，满足光的反射原理，假设成立， 因此从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于顶点）， 反射后平行于抛物线的对称轴. （3）设切点，，，如下图所示，    由（2）可知，抛物线在处的切线方程分别为 ，， 联立可得，解得，代入可得， 即，焦点， 所以，，， 则， 同理， 因此， 因为， 所以. 真题实战 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 3．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上，下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 4．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 5．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 6．（2026·天津·高考真题）在平面内，为坐标原点，抛物线上有、、、四个点，、、、的纵坐标分别为、、、，直线与直线交轴于点，直线交轴于点，直线交轴于点，以下说法正确的有______． ①若与抛物线焦点重合，则； ②； ③； ④； ⑤ 【答案】②④ 【分析】首先探求抛物线弦与轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得. 【详解】由题意、、、为抛物线上四个点可知，两两不等. 设抛物线上任意两点，其中. 当时，直线的斜率， 则直线方程为， 令，则直线与轴的交点横坐标 特别地，当时，， 此时直线垂直于轴，也成立， 因此，直线与轴的交点横坐标（）. ①由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为， 故由式可得，即，故①错误； ②由题意直线与直线交轴于点， 则由式可得点横坐标， 可得，故②正确； ③由题意直线交轴于点，直线交轴于点， 则由式可得 ， 则， 故，故③错误； ④由式可得， 当点或为原点时，则点也重合于原点，此时； 当点与均不为原点时，即，且， 则结合②结论可知，， 则有，故④正确； ⑤由，可知，则， ， 如图，当时，不成立，故⑤错误； 故答案为：②④ 7．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 8．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 9．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 10．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $