第01讲 函数的概念及其表示（8核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及其表示核心考点，涵盖函数三要素、定义域（具体与抽象）、解析式求法、分段函数及值域等高考高频内容，按“考情分析-知识梳理-重难突破-分层集训”逻辑架构，通过考点系统梳理、方法技巧归纳（如换元法求解析式）、真题实战训练，帮助学生构建函数知识网络，突破定义域求解等难点。 讲义特色在于分层集训设计（基础演练、能力进阶、真题实战）与考法预测（如高斯函数新考法），以“数学思维”引导分段函数分类讨论，“数学语言”规范定义域区间表示，通过典例精讲（如抽象函数定义域求法）和即时反馈，提升学生解题效率，为教师精准把控复习节奏、落实核心素养提供有力支持。

第01讲 函数的概念及其表示 内容导航 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 函数的概念 知识2 函数的相等 知识3 函数的表示 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 函数的概念及判断 考点06 求函数的解析式 考点02 相等函数的判断 （1） 换元法（2）待定系数法（3）方程法 方法技巧 相等函数的判断方法 方法技巧 求函数解析式的方法 考点03 具体函数的定义域 考点07 分段函数（求值、方程问题） 考点04 抽象（复合）函数的定义域 考点08 函数的值域（分离常数、换元等） 考点05 根据定义域求参数 考点08 根据函数值域求参数 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域. 2．.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3．了解简单的分段函数，并能简单应用. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 函数的求值 全国一卷T5（5分） 函数的解析式 天津卷T3 分段函数 全国Ⅰ卷T6 抽象函数 全国Ⅰ卷T8（5分） 考情解读 高考中函数的概念及其表示主要考查函数定义域、值域求解、解析式求法与分段函数求值问题，题型以单选题为主，分值5分，难度较低，属于基础送分题。 近三年考情显示，考查频次平稳，保持基础常态化考查，常融合不等式运算综合考查，侧重分段函数实际应用与抽象函数基础辨析，注重结合生活情境命题，强化概念理解与基础运算，侧重夯实函数的核心知识 .备考策略 函数是数集间的特殊对应，核心三要素：定义域、对应法则、值域。表示法有解析、图像、列表。备考重点：精准求定义域（具体/抽象），掌握函数相等判断，分段函数分类讨论与单调性，熟练用待定系数、换元、方程组法求解析式。警惕忽略定义域。 知识・归纳梳理 知识1 函数的概念 非空性 一般地，设A，B是非空的实数集 唯一性 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识2 函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 必记结论 常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}． (7)y＝tan x的定义域为{x}． ✅注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识3 相等函数 （1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. （2）结论：这两个函数为同一个函数. 知识点4 函数的表示方法 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域) 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点) 知识点5 分段函数 （1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 重难・核心突破 考点01 函数的概念及判断 典例1．集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【分析】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【详解】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C 【考法预测1】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 【考法预测2】（新考法）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______（写出对应编号）． ①；                                    ②； ③；                        ④． 【答案】①③④ 【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解. 【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点， 结合函数图象可知， 对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确； 对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误； 对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确； 对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确． 故答案为：①③④. 方法技巧 函数概念 一个对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断： （1）A，B必须是非空数集； （2）A中任何一个元素在B中必须有元素与之对应； （3）A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一. 考点02 相等函数的判断 典例1．下列各组函数能表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与（且） C．与 D．与 【答案】CD 【详解】化简函数解析式，并求出其定义域，从函数相等的定义入手逐一分析即可. 【分析】对于选项A：，，对应关系不同， 故不能表示同一个函数，故A错误； 对于选项B：（且）的定义域为， （且）的定义域为， 即定义域不同，故不能表示同一个函数，故B错误； 对于选项C：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故C正确； 对于选项D：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故D正确. 故选：CD. 【考法预测1】（25-26高三上·浙江·阶段检测）下列函数和为同一函数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，而， 所以函数和不为同一函数； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而，， 所以函数和为同一函数； 对于C，函数的定义域为， 函数，则的定义域为， 所以函数和不为同一函数； 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而， 所以函数和不为同一函数. 故选：B. 【考法预测2】（25-26高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相等函数的概念一一判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，且，故D正确. 方法技巧 相等函数的判断 （1）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. （2）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． （3）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． 考点03 具体函数的定义域 典例1．（25-26高三上·甘肃临夏·期末）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C． D．或或 【答案】D 【分析】利用函数有意义列出不等式，再求出定义域即可． 【详解】函数 ，解得或或， 所以的定义域为或或． 故选：D． 【考法预测1】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 【考法预测2】函数的定义域为______________. 【答案】 【详解】令，则或，解得或，所以函数的定义域为. 方法技巧 求给定函数解析式的定义域 （1）求给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域. 考点04 抽象（复合）函数的定义域 典例1．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 【考法预测1】已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为______________. 【答案】 【详解】因为的定义域为，则，即，所以的定义域为， 又，所以函数的定义域为. 故答案为： 【考法预测2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可. 【详解】因为的定义域为，所以，所以. 则的定义域为，故对于，令，解得. 故的定义域为， 故答案为：B. 方法技巧 求抽象（复合）函数的定义域 考点05 根据定义域求参数 典例1．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得，综上，实数的取值范围是． 故选：D. 【考法预测1】已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 【考法预测2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数的定义域为，则m的取值范围是_______. 【答案】 【分析】利用对数函数定义域与二次函数的性质，结合判别式及一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为的定义域为，所以恒成立， 则，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 【考法预测3】（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______； （2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】（1）转化为不等式的解集为，然后分与分别讨论即可. （2）转化为关于x的不等式在恒成立，然后分与分别讨论即可. 【详解】（1）根据题意，知关于x的不等式的解集为. 当时，不符合题意； 当时，关于x的不等式的解集为，故，所以. 综上，. （2）根据题意，知当时，关于x的不等式恒成立. 当a＝0时，符合题意； 当a≠0时，设，根据一次函数的性质，得解得. 综上，. 故答案为：-1； 考点06 求函数的解析式 典例1．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． （3）定义在内的函数满足，则函数的解析式为______． 【答案】 ， ， 【分析】（1）法一：使用换元法，设，对原式进行代换即可，法二：使用配凑法，将原式配凑成二次函数的形式即可求解，（2）使用待定系数法，分别设二次函数不同的表达式并代入已知条件即可求解，（3）使用消元法消去即可求解. 【详解】（1）法一：设，则，， 代入原式有． 故，． 法二：∵， ∴，，即，． （2）法一(利用一般式)：设． 由题意得解得． ∴所求二次函数的解析式为． 法二(利用顶点式)：设． ∵，∴抛物线的对称轴为．∴． 又根据题意函数有最大值8，∴．∴． ∵，∴，解得， ∴． 法三(利用零点式)：由已知两根为，， 故可设，即． 又函数有最大值，即．解得或(舍)． ∴所求函数的解析式为． （3）当时，有．① 以代替x得，．② 由①②消去得，，． 【考法预测1】已知f（1－sin x）＝cos2x，求f（x）的解析式是 【答案】f（x）＝2x－x2，x∈[0，2] 【详解】设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，∵f（1－sin x）＝cos2x＝1－sin2x， ∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2]. 【考法预测2】（新考法）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【详解】由得，解方程组得， 因为的定义域为，所以等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： 【考法预测3】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 方法技巧 求函数解析式的方法 （1）待定系数法：适用题型为已知函数类型，具体步骤①设出含有待定系数的函数解析式 ②将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数； （2）换元法：适用题型为形如y＝f[g(x)]的函数，具体步骤①令t＝g(x)，求出x＝φ(t)，换元注意给出新元t的取值范围，②将x＝φ(t)代入表达式求出f(t)，③将t换成x得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围； （3）配凑法：适用题型为形如f[g(x)]＝F(x)的函数，具体步骤①由已知条件f[g(x)]＝F(x)将F(x)改写成关于g(x)的表达式，②以x替代g(x)，得f(x)的解析式，同时注意给出x的取值范围； （4）方程法：适用题型为已知关于f(x)与f(－x)或的表达式，具体步骤：①把x换成－x或，构造出另外一个等式，与原等式组成方程组，②通过解方程组求出f(x)。 考点07 分段函数 典例1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】，.所以 故选D. 典例2．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 典例3．（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得或，解得，故选项D正确． 【考法预测1】（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________. 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】由，可得， 由，可得， 由，可得，故， 因此. 【考法预测2】（2026·贵州毕节·二模）设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可. 【详解】当时，，即，无解； 当时，，解得，所以. 故选：D 【考法预测3】（2026·湖北黄冈阶段性检测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 方法技巧 解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略 (1)分类讨论：解由分段函数构成的方程、不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． 考点08 求函数的值域 典例1．（2026高三·全国·专题练习）（1）函数的值域为_________. （2） 已知函数，则的值域为______ （3）函数的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）分离常数法求函数的值域； （2）利用换元法（）将原函数变形为，结合二次函数的图象与性质即可求解. ； （3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）因为， 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. （2）由，得，所以的定义域为， 令，则， 所以原函数可转化为， 是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 即函数的值域为. 故答案为： （3）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 典例2．已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】B 【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误. 故选：B 典例3．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知满足，且，则的值域为_____ 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数满足，且， 令，可得，因为，可得， 再令，可得，所以， 令，可得，即， 再令，可得，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的值域为. 故答案为：. 【考法预测1】，，则的值域为______________. 【答案】 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为．∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数，∵时，，时，， ∴的值域为． 【考法预测2】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 【考法预测3】函数的值域为 ． 【答案】 【详解】对于函数，有，可得，所以函数的定义域为， 所以， 当且仅当即当时等号成立，故函数的值域为. 故答案为：. 考点09 已知函数的值域求参数 典例1．已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 【答案】C 【分析】将解析式去绝对值写成分段函数，画出图像，分段令解方程，结合图像求得实数的取值范围. 【详解】 ，图象如下：    令，解得， 令 ，解得， 由图象可知m的取值范围为． 故答案为：． 典例2．已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 【考法预测1】已知函数的定义域为，值域为，求的范围． 【答案】 【分析】单调递增，转化为有两个不同的根，换元令，转化成图象有两个交点的问题，结合二次函数图象，得到的范围. 【详解】因为单调递增，所以，， 故有两个不同的根， 令，，则，原方程化为， 设，转化为在的图象与的图象有两个交点的问题， 因为，二次函数对称轴为且， 由图可知，要有两个交点，则，解得，即． 【考法预测2】（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解. 【详解】因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 【考法预测3】（新考法）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数，且的值域为，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由题意求出，再求出函数值域，根据的值域为建立不等式即可得解. 【详解】由的解为，可知，即， ， 当时，， 所以的值域为，又的值域为， 所以且，解得， 故答案为： 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高三上·广东东莞·期末）定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】给定自变量一个值为，根据函数的定义，它一定唯一对应一个数， 所以该函数的图象与轴的交点个数为1个. 故选：B 2．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）下列函数与是相等函数的是（    ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】D 【分析】可得，且定义域为，根据函数相等逐项分析判断. 【详解】因为，且定义域为， 对于选项A：，可知两个函数的对应关系不同，所以函数不相等，故A错误； 对于选项B：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故B错误； 对于选项C：的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故C错误； 对于选项D：，且定义域为，所以两个函数是相等函数，故D正确； 故选：D. 3．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，值域为， 定义域与值域相同，故A正确； 对于B，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故D错误； 4．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 5．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 【答案】D 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，或. 6．（2026·重庆渝中·模拟预测）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于偶次根号下的被开方数非负，则，即， 因为是增函数，解得； 另外，由分母不为零得，解得. 综上，定义域为 7．（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程组法求得，进而得到，即可求解. 【详解】由可得： ， 两式联立可得：， 所以，， 因为， 所以， 所以的值域为， 故选：A 8．（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 9．（多选题）（25-26高一上·江西吉安·期中）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．已知，则 【答案】AC 【分析】对于A，利用抽象函数的定义域知识解决；对于B，函数图象左右平移值域不变；对于C，利用构造方程组法求函数解析式解决；对于D，利用复合函数的定义域知识解决. 【详解】对于A，若函数的定义域为，对于函数，则有， 解得，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，的函数图象可由向左平移一个单位得到，因此值域不变，故B错误； 对于C，因为定义在上的函数满足①， 所以②，由①+②，得，所以，故C正确； 对于D，因为，因为，所以，故D错误. 故选：AC. 10.已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】BD 【详解】，故A选项错误；，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得， 即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得， 综上，的解集为，故D选项正确； 故选：BD. 11.已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为______________. 【答案】 【详解】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设，将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 12.函数的值域为______________. 【答案】 【详解】令，，则，则，即为， 其图象对称轴为，则该函数在上单调递减，故， 故函数的值域为， 故答案为： 能力进阶 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， 解得，即函数的定义域为. 2．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，故，故, 所以或, 故． 3．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 则，值域. ，所以A错误，B正确； 集合之间不用连接，所以CD错误. 4．（2026河南周口适应性考试）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 5．（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 6．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，“有界函数”的值域需有界，求每个选项函数的值域进行判断即可. 【详解】对于A，，由于，所以，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”； 对于B，令，则，，当时，取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立， 是“有界函数”； 对于C，令+1，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立， 是“有界函数”； 对于D，令，则，，则，易得，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”． 7．设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】当时，， 作出函数的图像： 由图可知：， 要使无最小值，只需无最小值， 即的对称轴在直线处或右边，即，且， 解得，所以. 8．设函数定义域为，对一切，均满足：，且（实数、为非0常数）. (1)求的值； (2)求证：为周期函数，并求出其一个周期； (3)求函数解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析，为其一个周期 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可得； （2）令代入计算可得，再变形计算即可得其周期； （3）令，可得，结合（2）中所得，可得，即可得函数解析式. 【详解】（1）令，则， 故； （2）令，则， 则，即， 则，故， 则，故为周期函数，且为其一个周期； （3）令，，则， 由（2）知，故， 则， 即，即， 令，，则， 故. 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 3．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 函数的概念及其表示 内容导航 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 函数的概念 知识2 函数的相等 知识3 函数的表示 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 函数的概念及判断 考点06 求函数的解析式 考点02 相等函数的判断 （1） 换元法（2）待定系数法（3）方程法 方法技巧 相等函数的判断方法 方法技巧 求函数解析式的方法 考点03 具体函数的定义域 考点07 分段函数（求值、方程问题） 考点04 抽象（复合）函数的定义域 考点08 函数的值域（分离常数、换元等） 考点05 根据定义域求参数 考点08 根据函数值域求参数 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域. 2．.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3．了解简单的分段函数，并能简单应用. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 函数的求值 全国一卷T5（5分） 函数的解析式 天津卷T3 分段函数 全国Ⅰ卷T6 抽象函数 全国Ⅰ卷T8（5分） 考情解读 高考中函数的概念及其表示主要考查函数定义域、值域求解、解析式求法与分段函数求值问题，题型以单选题为主，分值5分，难度较低，属于基础送分题。 近三年考情显示，考查频次平稳，保持基础常态化考查，常融合不等式运算综合考查，侧重分段函数实际应用与抽象函数基础辨析，注重结合生活情境命题，强化概念理解与基础运算，侧重夯实函数的核心知识 .备考策略 函数是数集间的特殊对应，核心三要素：定义域、对应法则、值域。表示法有解析、图像、列表。备考重点：精准求定义域（具体/抽象），掌握函数相等判断，分段函数分类讨论与单调性，熟练用待定系数、换元、方程组法求解析式。警惕忽略定义域。 知识・归纳梳理 知识1 函数的概念 非空性 一般地，设A，B是非空的实数集 唯一性 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识2 函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 必记结论 常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}． (7)y＝tan x的定义域为{x}． ✅注意：定义域用集合或区间表示，需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 知识3 相等函数 （1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. （2）结论：这两个函数为同一个函数. 知识点4 函数的表示方法 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系(一般情况下，必须注明函数的定义域) 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系(选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系(注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点) 知识点5 分段函数 （1）概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. （2）定义域、值域：分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 重难・核心突破 考点01 函数的概念及判断 典例1．集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【考法预测1】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【考法预测2】（新考法）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______（写出对应编号）． ①；                                    ②； ③；                        ④． 方法技巧 函数概念 一个对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断： （1）A，B必须是非空数集； （2）A中任何一个元素在B中必须有元素与之对应； （3）A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一. 考点02 相等函数的判断 典例1．下列各组函数能表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与（且） C．与 D．与 【考法预测1】（25-26高三上·浙江·阶段检测）下列函数和为同一函数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【考法预测2】（25-26高三下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 相等函数的判断 （1）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. （2）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． （3）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． 考点03 具体函数的定义域 典例1．（25-26高三上·甘肃临夏·期末）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C． D．或或 【考法预测1】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】函数的定义域为______________. 方法技巧 求给定函数解析式的定义域 （1）求给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域. 考点04 抽象（复合）函数的定义域 典例1．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为______________. 【考法预测2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 求抽象（复合）函数的定义域 考点05 根据定义域求参数 典例1．已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数的定义域为，则m的取值范围是_______. 【考法预测3】（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______； （2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______. 考点06 求函数的解析式 典例1．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． （3）定义在内的函数满足，则函数的解析式为______． 【考法预测1】已知f（1－sin x）＝cos2x，求f（x）的解析式是 【考法预测2】（新考法）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【考法预测3】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 方法技巧 求函数解析式的方法 （1）待定系数法：适用题型为已知函数类型，具体步骤①设出含有待定系数的函数解析式 ②将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数； （2）换元法：适用题型为形如y＝f[g(x)]的函数，具体步骤①令t＝g(x)，求出x＝φ(t)，换元注意给出新元t的取值范围，②将x＝φ(t)代入表达式求出f(t)，③将t换成x得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围； （3）配凑法：适用题型为形如f[g(x)]＝F(x)的函数，具体步骤①由已知条件f[g(x)]＝F(x)将F(x)改写成关于g(x)的表达式，②以x替代g(x)，得f(x)的解析式，同时注意给出x的取值范围； （4）方程法：适用题型为已知关于f(x)与f(－x)或的表达式，具体步骤：①把x换成－x或，构造出另外一个等式，与原等式组成方程组，②通过解方程组求出f(x)。 考点07 分段函数 典例1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 典例2．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 典例3．（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________. 【考法预测2】（2026·贵州毕节·二模）设函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考法预测3】（2026·湖北黄冈阶段性检测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略 (1)分类讨论：解由分段函数构成的方程、不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． 考点08 求函数的值域 典例1．（2026高三·全国·专题练习）（1）函数的值域为_________. （2） 已知函数，则的值域为______ （3）函数的最大值为______． 典例2．已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 典例3．（24-25高三下·重庆·阶段检测）已知满足，且，则的值域为_____ 【考法预测1】，，则的值域为______________. 【考法预测2】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【考法预测3】函数的值域为 ． 考点09 已知函数的值域求参数 典例1．已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 典例2．已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 【考法预测1】已知函数的定义域为，值域为，求的范围． 【考法预测2】（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【考法预测3】（新考法）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数，且的值域为，则实数的取值范围为_____. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高三上·广东东莞·期末）定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 2．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）下列函数与是相等函数的是（    ） A． B． C．（且） D．（且） 3．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 6．（2026·重庆渝中·模拟预测）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 9．（多选题）（25-26高一上·江西吉安·期中）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．已知，则 10.已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 11.已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为______________. 12.函数的值域为______________. 能力进阶 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026河南周口适应性考试）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 6．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（   ） A． B． C． D． 7．设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数的取值范围是______． 8．设函数定义域为，对一切，均满足：，且（实数、为非0常数）. (1)求的值； (2)求证：为周期函数，并求出其一个周期； (3)求函数解析式. 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $