2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习五

**基本信息** 聚焦选择性必修二第五章与选择性必修三内容，以概率统计、导数应用、二项式定理为核心，通过综合题型整合知识逻辑，体现数学思维与数据观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项式定理|3题（1,7,12）|展开式系数、项数及参数求解|围绕二项展开式通项公式，整合系数计算与参数方程求解| |统计与回归|4题（2,9B,9C,18）|线性回归、相关系数、非线性拟合|从样本数据到回归模型构建，体现数据观念与模型意识| |概率|7题（3,4,5,6,13,14,15,17）|分布列、期望、独立事件、正态分布|结合实际情境构建概率模型，强化运算能力与推理意识| |导数应用|4题（8,11,16,19）|切线方程、单调性、最值及不等式证明|以导数工具串联函数性质研究，培养逻辑推理与创新意识|

2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习五 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 2.已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 3.已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 4.已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 5．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A． B． C． D． 6.抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（   ） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C． D． 7.的展开式中，下列结论错误的是（    ） A．展开式共8项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 8．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法中，正确命题的个数为（    ） A.已知随机变量服从二项分布，若，则. B.对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. C.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则、的值分别是和. D.若样本数据的方差为，则数据:的方差为16 10.已知，则（    ） A． B． C． D． 11.定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法正确的是（    ） A． B．在取得极小值，极小值为 C．只有一个零点 D．若在上恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知的展开式中的系数为0，则a的值为________. 13．甲､乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为 . 14.投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有 对. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望． 16.（15分）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 17.（15分）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； (2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 18.（17分）强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节． (1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据： 7 9 10 11 13 3 4 5 6 7 请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到） (2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围． 参考数据：，，； 参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系． 19．（17分）已知． (1)若时，求在上的最大值和最小值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习五 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 【答案】A 【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【解析】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，， 所以的系数为0. 故选：A 2.已知变量x，y线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差为（   ） A． B． C．0.1 D．0.2 【答案】B 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线方程，估计的对应值，最后由残差的定义求解即可. 【解析】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以时，有，故残差为， 故选：B． 3.已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解. 【解析】由表可得， 又可得,解得， 故选：A 4.已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性可求得正确的选项. 【解析】因为服从正态分布，故， 故，故的图象关于点对称， 故选：C. 5．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【解析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：B 6.抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（   ） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A错误，B正确，由条件概率公式计算，可判定C错误，再由对立事件公式计算，可判定D错误. 【解析】对于A中，当掷出2，此时事件同时发生，所以M与N不是互斥事件，所以A错误； 对于B中，由，，，满足，所以B正确； 对于C中，由B知：，所以C错误； 对于D中，由，， 所以，所以D错误． 故选：B. 7.的展开式中，下列结论错误的是（    ） A．展开式共8项 B．含项的系数为480 C．无常数项 D．所有项的二项式系数之和为128 【答案】B 【分析】利用二项式定理可判断A正确，根据展开式通项可判断B错误、C正确，根据所有项的二项式系数之和为可得D正确. 【解析】对于A，易知的展开式中共有8项，即A正确； 对于B，设展开式中的第项为, 令，解得； 因此含项的系数为，所以B错误； 对于C，令，此时不是正整数，因此展开式中不存在常数项，即C正确； 对于D，易知所有项的二项式系数之和为，可得D正确. 故选：B 8．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么， 因此，，令得， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 时，取得极大值，并且这个极大值即是最大值． 把代入，得（负值舍去）， 由，解得， 即圆心角为弧度时，容器的容积最大. 故选：A. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法中，正确命题的个数为（    ） A.已知随机变量服从二项分布，若，则. B.对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. C.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则、的值分别是和. D.若样本数据的方差为，则数据:的方差为16 【答案】ABC 【解析】对于A：因为服从二项分布，所以， 所以，解得，故A正确； 对于B：因为线性回归直线必过样本中心点，所以，可得，故B正确； 对于C：由两边取对数可得， 令，求得线性回归方程为，所以，，则，， 故C正确； 对于D：若样本数据的方差为，则数据的方差为，故D错误； 故选：ABC. 10.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】观察二项式展开式两边的次数可得，即可判断A；由赋值法，令得即可判断B；求出展开式中与的系数，结合得即可判断C；由赋值法，令求解即可判断D. 【解析】对于A，等式右边最高次数为7，故，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，的系数为 ，C错误； 对于D，令 则，D错误. 故选：AB. 11.定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法正确的是（    ） A． B．在取得极小值，极小值为 C．只有一个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】ACD 【分析】首先构造函数的导数，并求函数的解析式，得，再利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；由函数的性质，确定函数的图象，即可判断C；利用参变分离，将不等式恒成立，转化为，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最大值. 【解析】∵且，可得， 则有，故（c为常数）， 又，则，得，故，， ， 当，即，解得：，，此时单调递增， 当，即，解得，， 当，即解得：，，此时单调递减， 对于A，由于，单调递增，，单调递减， ∵，可得， ∵，，∵. 故，故A正确： ∴，取得极大值，，故B错误； 对于C，当，，，，，， 画出草图，如图： 根据图象可知：只有一个零点，故C正确； 对D，要在上恒成立 即：在上恒成立， ∵，可在上恒成立， 只需，令，， 当，；单调递增， 当时，；单调递减， ，； 则，即，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知的展开式中的系数为0，则a的值为________. 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【答案】160 【解析】的展开式中的项为, 的展开式中的项为 因此的展开式中的系数为， 故， 故答案：160. 13．甲､乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【解析】甲以3：0获胜的概率为，以3：1获胜的概率为， 以3：2获胜的概率为， 所以甲获胜的概率为. 故答案为： 14.投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有 对. 【答案】12 【分析】用列表法把所有的基本事件一一列举，即可得到答案. 【解析】由题意知m，n的取值依次为1，2，3，4，5，6，因此可得的取值如下表.经检验，符合题中不等式的在下表中用下划线标注，相应的数对共有12对. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，. 【分析】（1）考虑所有可能的小球数字组合，一共有6种情况，再分别计算各自的取法数目，从而得到总的满足条件的取法数目，最终除以总取法数目，即可应用古典概型得到所求概率； （2）对的所有可能取值分情况列举对应的取法数目，进一步可对每个数目除以总取法数目以得到每种情况的概率，从而得到分布列，最后根据数学期望的定义即可计算出数学期望. 【解析】（1）总取法数目， 考虑全部的取出的2个小球上的数字不同的情况， 2个小球上的数字可能是，0或，1或，2或0，1或0，2或2，1分别有1，2，1，2，1，2种情况， 故所求概率. （2）如果取出的2个小球上的数字包含0，此时取出的2个小球上的数字之积为0，总的情况数有种； 如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有2种； 如果取出的2个小球上的数字为， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种； 如果取出的2个小球上的数字为1， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为2，总的情况数有2种； 如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种； 而总的情况有种， 故，，， ，， 所以分布列为 0 2 0.4 0.2 0.1 0.2 0.1 数学期望. 16.（15分）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 【答案】(1)； (2)当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【解析】（1）当时，，则， 所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 17.（15分）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． (1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； (2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 【答案】(1)分布列见解析，；(2). 【分析】（1）利用二项分布的概率和期望公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可. 【解析】（1）法一：由题意得的可能取值为． ，， ，． 0 1 2 3 因此． 法二：由题意得的可能取值为． 又，故（）． 因此． （2）设事件“次之内（含次）停止摸球”， 事件“第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“首次选择甲袋是第次摸球”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则 ． ． ． 因此． 18.（17分）强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节． (1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据： 7 9 10 11 13 3 4 5 6 7 请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到） (2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围． 参考数据：，，； 参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系． 【答案】(1)与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合 (2) 【分析】（1）根据相关系数公式直接计算即可； （2）利用二项分布期望公式可得甲高校考试通过科目数的期望，分别求出通过乙高校的考试科目数各种可能值的概率，然后由期望公式计算，最后根据期望之间的关系求解即可. 【详解】（1）由题意，可得：，， ， , 所以， 所以与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合． （2）通过甲高校的考试科目数，则， 设通过乙高校的考试科目数为，则的可能取值为，则： ， ， ， ， 则， 由题意知，，即，解得， 又因为， 综上，的取值范围为． 19．（17分）已知． (1)若时，求在上的最大值和最小值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)，；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断出函数在上的单调性，再根据单调性求解即可； （2） 当时，因为，不满足题； 当时，利用导数求出函数的最大值，再根据求解即可； （3） 由（2）知，当时，恒成立，即， 令，则有，由时，，最后利用累加法即可得证. 【解析】（1）因为， 当时，令， 因为函数定义域为，所以； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以 而， 又因为， 又因为， 所以， 所以； （2）若时，因为，不满足题目要求， 若时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以即可， 令， 因为单调递减，且， 所以； （3）证明：由（2）知，当时，恒成立， 即，等号成立当且仅当时取得． 所以. 令，代入化简即得， 又因为时，． 即得， 累加即得． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $