第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（14核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心考点，涵盖位置关系判断、参数求解、切线弦长、公切线条数等14个高考高频考点，按知识内在逻辑梳理核心概念与方法，通过考情分析、知识归纳、重难突破、分层集训四环节，帮助学生系统构建知识网络并突破解题难点。 讲义突出分层教学与方法优化，如弦长问题采用几何法（弦心距、半径、弦长关系）简化运算，培养学生数学思维与运算能力，设置基础演练、能力进阶、真题实战三级练习，配合典例精讲与考法预测，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 直线与圆的位置关系 知识点2圆与圆的位置关系 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 直线与圆位置关系的判断 考点08 公切线问题 考点02 由直线与圆的位置关系求参数 考点09 对称问题 方法技巧 根据位置关系求参数（范围）的求解策略 考点10最值问题 考点03 圆的切线问题 方法技巧 最值问题的类型及求解技巧 考点04 弦长问题 考点11 圆的轨迹问题 方法技巧 弦长问题的求解策略 考点12 定点定值问题 考点05 圆与圆位置关系的判断 考点13 实际问题 考点06 由圆与圆得位置关系求参数 考点14 新定义问题 考点07 公共弦与切点弦问题 方法技巧 公共弦问题的求解策略 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 直线与圆的位置关系 全国Ⅰ卷T11，北京卷T11，天津卷T18 全国Ⅰ卷T7，全国Ⅱ卷T11，天津卷T13，上海卷T15 全国Ⅱ卷T10，北京卷T3 圆与圆的位置关系 全国Ⅱ卷T9 考情解读 近三年高考中，直线与圆、圆与圆的位置关系是高频考点，常以选择题或填空题形式出现，偶尔作为解答题的组成部分。考查重点包括：直线与圆的位置关系判定、切线方程求解、相交弦长计算，以及两圆的位置关系与公共弦问题。试题注重数形结合与几何性质的应用，强调“多想少算”，避免繁杂计算。同时，常与函数、不等式、最值等知识交汇，考查学生的数学运算、逻辑推理及综合分析能力，突出对数学本质的理解。 备考策略 备考时，建议先夯实基础，熟练掌握圆的标准方程与一般方程，以及点、直线、圆之间的位置关系判定方法。其次，强化典型题型训练，如切线长、弦长、两圆公切线等，注重数形结合思想的运用。同时，要提升运算能力，规范解题步骤，避免计算失误。最后，通过错题整理归纳常见误区，做到举一反三，提高综合分析与灵活应用能力． 知识・归纳梳理 知识1 直线与圆的位置关系的判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 必记结论 1.关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 2.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 知识2 两圆位置关系的判断 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 必记结论 圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 重难・核心突破 考点01 直线与圆位置关系的判断 典例1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 典例2．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【考法预测1】（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【考法预测2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知圆，将直线绕原点按逆时针方向旋转后得到直线，则（   ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 考点02 由直线与圆的位置关系求参数 典例1．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 典例2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·北京·三模）过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【考法预测4】（2026·重庆·模拟预测）已知点在直线上，若上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 方法技巧 根据直线与圆的位置关系求参数（范围）的求解策略 求解此类问题的核心策略是“几何法优先，代数法辅助”，以简化运算并降低出错率。 首先，优先利用几何法。根据题意将直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r的不等式或等式，直接求解含参方程或不等式，从而得出参数的取值范围。 其次，注意分类讨论与防漏解。当直线方程中含有斜率参数时，必须单独验证斜率不存在的情况，避免遗漏。 最后，代数法作为辅助。仅在需要求具体公共点坐标或几何法难以处理时，才联立直线与圆的方程，利用一元二次方程的判别式Δ 来求解参数。 考点03 圆的切线问题 典例1．（2026·江苏南通·三模）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·浙江·二模）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 典例3．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【考法预测2】（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（多选）（2026·山西晋城·三模）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【考法预测4】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 考点04 弦长问题 典例1．（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 典例2．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 典例3．（2026·北京·模拟预测）已知坐标原点O，直线与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【考法预测2】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【考法预测4】（2026·北京朝阳·二模）已知直线与圆交于两点；能使为锐角的的一个取值为___________． 【考法预测5】（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 方法技巧 弦长问题的求解策略 弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 考点05 圆与圆位置关系的判断 典例1．已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 典例2．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考法预测1】圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【考法预测2】）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【考法预测3】（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 考点06 由圆与圆得位置关系求参数 典例1．（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【考法预测3】（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测4】（2026·山东·模拟预测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【考法预测5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 考点07 公共弦与切点弦问题 典例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（多选）（2026·河南·模拟预测）已知⊙O：，则下列说法正确的是（   ） A．⊙O上一点到直线l：距离的最小值是 B．⊙O和圆：的相交弦长是4 C．⊙O和圆：有且只有两条公切线 D．⊙O和曲线C：交于A，B两点，则△OAB的面积为 【考法预测2】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【考法预测3】（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 方法技巧 公共弦问题的求解策略 求解圆与圆的公共弦问题，核心策略是“几何法优先，代数法辅助”。首先，需将两圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径，并通过比较圆心距与半径之和、差的关系，准确判定两圆是否相交。确认相交后，将两圆的一般方程直接相减，消去二次项，即可快速得到公共弦所在的直线方程。最后，利用点到直线的距离公式求出圆心到该直线的距离，结合勾股定理，套用弦长公式即可精准求出公共弦的长度。此方法能有效避免繁琐的联立方程求解。 考点08 公切线问题 典例1．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 典例2．（多选）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 典例3．圆与圆的公切线长为______. 【考法预测1】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 考点09 对称问题 典例1．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 典例2．如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【考法预测1】（多选）已知圆和直线，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线与圆相交，且弦长为 C．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D．过点且与圆相切的直线有且仅有条 【考法预测2】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆关于直线对称，则__________，直线的方程为__________. 【考法预测3】已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 考点10 最值问题 典例1．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 典例2．（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 典例3．（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（多选）（2026·山东聊城·模拟预测）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【考法预测2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【考法预测3】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 方法技巧 最值问题的类型及求解技巧 与圆相关的最值问题是解析几何中的经典题型，主要可分为以下三大类型及对应求解技巧： 1. 代数型最值问题 类型：求形如 ax+by 、 x2+y2 等代数式的最值。 技巧： 换元法：利用圆的参数方程（ x=a+rcosθ,y=b+rsinθ ）将问题转化为三角函数的最值问题。 几何意义法： 转化为截距、斜率或距离问题 2. 距离型最值问题 类型：求圆上动点到定点、定直线或其他圆上动点的距离最值。 技巧：充分利用圆的对称性，将动点问题转化为“圆心到定点/定直线的距离”加上或减去半径。例如，圆上点到直线距离的最大值为 d+r ，最小值为 ∣d−r∣ （ d 为圆心到直线距离）。 3. 面积与向量最值问题 类型：求与圆相关的三角形面积、向量数量积的最值。 技巧：将面积或向量表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解。 核心思想：遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解。 考点11 圆的轨迹问题 典例1．（2026·河北沧州·二模）已知，，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【考法预测1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期中）动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（     ） A．直线过的定点是 B．点C的轨迹是一个完整的圆 C．的最小值为2 D．的取值范围为 【考法预测3】（2026·山东泰安·模拟预测）已知线段的长为4，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________． 考点12 定点定值问题 典例1．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 典例2．已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【考法预测1】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 【考法预测2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【考法预测3】（25-26高二上·上海奉贤·期中）已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、． (1)当的横坐标为时，求的大小； (2)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； (3)求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标． 考点13 实际问题 典例1．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 典例2．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【考法预测1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【考法预测2】（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【考法预测3】在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 考点14 新定义问题 典例1．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 典例2．（25-26高三上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 【考法预测1】（多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（   ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 【考法预测2】（2026·云南昆明·模拟预测）曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________． 【考法预测3】（25-26高二上·湖北·期中）设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： (1)若，，求A，B之间的余弦距离； (2)若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； (3)若，，求的取值范围. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(　　) A．π B．2π C．4π D．6π 6．（多选）（2026·山东烟台·模拟预测）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 7．（多选）（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 8．（2026·湖北宜昌·二模）已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 9．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 能力进阶 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 5．（2026·重庆渝中·三模）在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 6．（多选）（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）已知圆，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的轨迹是一条直线 B．直线与圆可能不相交 C．圆与圆至多只有一个公共点 D．若直线与圆相交，则其相交弦的弦长最大值为2 7．（多选）（2026·山西晋城·三模）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 8．（2026·河南新乡·三模）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·全国一卷·高考真题）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 5．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 6．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 7．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 直线与圆的位置关系 知识点2圆与圆的位置关系 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 直线与圆位置关系的判断 考点08 公切线问题 考点02 由直线与圆的位置关系求参数 考点09 对称问题 方法技巧 根据位置关系求参数（范围）的求解策略 考点10最值问题 考点03 圆的切线问题 方法技巧 最值问题的类型及求解技巧 考点04 弦长问题 考点11 圆的轨迹问题 方法技巧 弦长问题的求解策略 考点12 定点定值问题 考点05 圆与圆位置关系的判断 考点13 实际问题 考点06 由圆与圆得位置关系求参数 考点14 新定义问题 考点07 公共弦与切点弦问题 方法技巧 公共弦问题的求解策略 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 直线与圆的位置关系 全国Ⅰ卷T11，北京卷T11，天津卷T18 全国Ⅰ卷T7，全国Ⅱ卷T11，天津卷T13，上海卷T15 全国Ⅱ卷T10，北京卷T3 圆与圆的位置关系 全国Ⅱ卷T9 考情解读 近三年高考中，直线与圆、圆与圆的位置关系是高频考点，常以选择题或填空题形式出现，偶尔作为解答题的组成部分。考查重点包括：直线与圆的位置关系判定、切线方程求解、相交弦长计算，以及两圆的位置关系与公共弦问题。试题注重数形结合与几何性质的应用，强调“多想少算”，避免繁杂计算。同时，常与函数、不等式、最值等知识交汇，考查学生的数学运算、逻辑推理及综合分析能力，突出对数学本质的理解。 备考策略 备考时，建议先夯实基础，熟练掌握圆的标准方程与一般方程，以及点、直线、圆之间的位置关系判定方法。其次，强化典型题型训练，如切线长、弦长、两圆公切线等，注重数形结合思想的运用。同时，要提升运算能力，规范解题步骤，避免计算失误。最后，通过错题整理归纳常见误区，做到举一反三，提高综合分析与灵活应用能力． 知识・归纳梳理 知识1 直线与圆的位置关系的判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 必记结论 1.关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 2.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 知识2 两圆位置关系的判断 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 必记结论 圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 重难・核心突破 考点01 直线与圆位置关系的判断 典例1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 典例2．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【详解】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 【考法预测1】（2026·湖南·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 【考法预测2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知圆，将直线绕原点按逆时针方向旋转后得到直线，则（   ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【答案】A 【分析】求出直线的倾斜角，可得出直线的倾斜角，由此可得出直线的方程，再利用直线与圆的位置关系可得出结论. 【详解】直线的斜率为，其倾斜角为， 将直线绕原点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为， 因为直线过原点，故直线的方程为， 圆的圆心为，故圆心在直线上，A正确， 与圆有2个交点，BCD错误， 故选：A. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【详解】解法1：对于A，∵点在圆上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故A正确； 对于B，∵点在圆内，， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离，故B正确； 对于C，∵点在圆外，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相交，故C错误； 对于D，∵点在直线上，∴， 则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故D正确． 解法2：（极点极线），若此点为极点，则对应极线刚好是：． 如果极点在圆内，则极线在圆外，与圆相离；如果极点在圆外，则极线在圆内，与圆相交； 如果极点在圆上，则极线与圆相切，因此ABD正确． 考点02 由直线与圆的位置关系求参数 典例1．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 典例2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 【考法预测1】（2026·北京·三模）过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线的方程，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出直线的斜率，即可得解. 【详解】将化为标准方程为, 所以可得圆心，半径. 因为直线过原点且与圆相切，所以可知直线的斜率一定存在，设为， 则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径可得， 两边同时平方，整理可得，即，解得， 所以满足条件的直线的斜率之和为. 【考法预测2】（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点）， 当圆心到直线的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6， 由点到直线距离公式，可得， 结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以，可得， 故n的取值范围为． 【考法预测3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆：，若存在，使得直线与圆有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解法一：依题意，圆心到直线的距离， 即，即， 依题意，使得成立，故且，解得， 因此，实数的取值范围是. 解法二：当变化时，圆扫过的图形是以原点为圆心，为半径的圆盘， 故若存在，使得直线与圆有公共点，即直线与圆有交点，得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【考法预测4】（2026·重庆·模拟预测）已知点在直线上，若上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据圆的性质，将题中条件等价转化为点与原点的距离，进而转化为直线与圆有公共点时的取值范围. 【详解】当为圆的切线时，可取到最大值. 在中，，已知，若，则， 要使上存在点，使得，则只需即可； 点到直线的距离， 故，平方可得，即，解得或， 综上，的取值范围为. 方法技巧 根据直线与圆的位置关系求参数（范围）的求解策略 求解此类问题的核心策略是“几何法优先，代数法辅助”，以简化运算并降低出错率。 首先，优先利用几何法。根据题意将直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r的不等式或等式，直接求解含参方程或不等式，从而得出参数的取值范围。 其次，注意分类讨论与防漏解。当直线方程中含有斜率参数时，必须单独验证斜率不存在的情况，避免遗漏。 最后，代数法作为辅助。仅在需要求具体公共点坐标或几何法难以处理时，才联立直线与圆的方程，利用一元二次方程的判别式Δ 来求解参数。 考点03 圆的切线问题 典例1．（2026·江苏南通·三模）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 典例2．（2026·浙江·二模）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 典例3．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 【考法预测1】（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 【考法预测2】（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 【考法预测3】（多选）（2026·山西晋城·三模）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【答案】CD 【详解】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 【考法预测4】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，分类讨论切线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出斜率，然后可得切线方程. 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 考点04 弦长问题 典例1．（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 【答案】 【分析】先由倾斜角求出直线方程，再计算圆心到直线的距离，结合弦长公式求解直线被圆截得的弦长. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线斜率， 结合直线过点，可得直线的方程为，即. 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此，直线被圆截得的弦长. 典例2．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 典例3．（2026·北京·模拟预测）已知坐标原点O，直线与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆：的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 设，则， 由余弦的二倍角公式得：. 【考法预测1】（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 【考法预测2】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据为等腰直角三角形的几何特征，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求解a的值，即可判断选项. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为为等腰直角三角形，则圆心O到直线的距离， 可得，解得， 结合选项可知AC错误，BD正确. 【考法预测3】（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解． 【详解】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 【考法预测4】（2026·北京朝阳·二模）已知直线与圆交于两点；能使为锐角的的一个取值为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先确定圆圆心和半径,利用为锐角等价于余弦定理得弦长平方小于两半径平方和,求出圆心到直线距离的范围,再代入点到直线距离公式解出,得到或,任取区间内一个数即可. 【详解】圆:，圆心，半径，故. 直线:，即. 为锐角所以. 设圆心到直线的距离为，则. 圆的弦长. 在中，由余弦定理：， 为锐角所以可得，代入得. 即，化简得. 将代入：，，， 解得或，故可取. 【考法预测5】（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 方法技巧 弦长问题的求解策略 弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 考点05 圆与圆位置关系的判断 典例1．已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,, 所以， 所以，故这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 典例2．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 【考法预测1】圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B 【考法预测2】）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】A 【分析】首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 【考法预测3】（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】A 【分析】通过椭圆的定义和三角形中位线定理，得出两圆的圆心距，再比较它与 的大小判定两圆的位置关系. 【详解】因为椭圆方程为，所以，得， 以为直径的圆，圆心为的中点，设为，半径为， 设为右焦点，则原点为的中点，如下图：    根据椭圆定义， 则， 圆，圆心为，半径， 则，即两圆圆心距小于两半径之差， 所以两圆内含， 故选：A. 考点06 由圆与圆得位置关系求参数 典例1．（2026·陕西榆林·三模）已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为直径的圆上，根据圆与圆的位置关系可得的范围. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 典例2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【考法预测1】（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 【考法预测2】（2026·陕西榆林·三模）已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】由直线过圆心得出，再根据外切得出圆心间距离即可求解参数. 【详解】由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 【考法预测3】（2026·陕西商洛·模拟预测）若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 【考法预测4】（2026·山东·模拟预测）已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 【考法预测5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 【答案】 1 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解半径；由是钝角得出M点在以为直径的圆内，列出不等式求解即可． 【详解】圆化为， 所以圆的半径为1，圆心； 是钝角，表示M点在以为直径的圆内， 设以为直径的圆为圆O，则两圆内含，圆C在内部， 两圆心距离，圆C的半径为1，圆半径为， 由． 考点07 公共弦与切点弦问题 典例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 典例2．（2026·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组求出公共直线的方程，计算原点到直线的距离，根据圆心角与弦心距、半径的关系求出的大小. 【详解】 联立方程组，可得直线的方程， 原点到直线的距离为， 在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点， ， 在中，， 所以， 所以. 【考法预测1】（多选）（2026·河南·模拟预测）已知⊙O：，则下列说法正确的是（   ） A．⊙O上一点到直线l：距离的最小值是 B．⊙O和圆：的相交弦长是4 C．⊙O和圆：有且只有两条公切线 D．⊙O和曲线C：交于A，B两点，则△OAB的面积为 【答案】BD 【分析】对于A，先根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求出最小距离；对于B，先判断⊙O和圆的位置关系，然后联立两圆方程求出两圆的相交弦的直线方程，进而根据点到直线的距离求出结果；对于C，先判断⊙O和圆的位置关系，进而判断公切线条数；对于D，联立圆与曲线的方程，求出的坐标，进而求得三角形面积. 【详解】对于A，圆心的坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆是相离的， 所以⊙O上一点到直线l：距离的最小值是，所以A错误； 对于B，圆的标准方程为，所以，半径为3， 所以，因为，所以两圆相交， 两圆方程相减得，化简得. 所以两圆的相交弦的直线方程为，圆心到直线的距离为， 所以⊙O和圆：的相交弦长是4，B正确； 对于C，圆的标准方程为，所以，半径为3， 所以，所以两圆外切， 所以⊙O和圆：有三条公切线，C错误； 对于D，联立，得，解得（舍去）或. 所以，所以，D正确. 【考法预测2】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 【考法预测3】（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 方法技巧 公共弦问题的求解策略 求解圆与圆的公共弦问题，核心策略是“几何法优先，代数法辅助”。首先，需将两圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径，并通过比较圆心距与半径之和、差的关系，准确判定两圆是否相交。确认相交后，将两圆的一般方程直接相减，消去二次项，即可快速得到公共弦所在的直线方程。最后，利用点到直线的距离公式求出圆心到该直线的距离，结合勾股定理，套用弦长公式即可精准求出公共弦的长度。此方法能有效避免繁琐的联立方程求解。 考点08 公切线问题 典例1．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 典例2．（多选）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 典例3．圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【考法预测1】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆与圆的两条公切线互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合两圆的位置关系，可得四边形与四边形均为正方形，结合勾股定理，列式求解，即可得答案 【详解】圆C的圆心为，半径，圆O的圆心为， 因为，所以在圆C内部， 因为两圆有两条公切线，且垂直，所以两圆相交， 设圆C与两切线分别交于点A、B，圆O与两切线分别交于点D、E，两切线交于点F， 连接CA、CB、OD、OE、OC，过O作，如图所示， 则四边形与四边形均为正方形， 则四边形为矩形，且，， 在中，，所以， 则，即，解得或（舍）， 【考法预测2】（多选）（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为， 由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. 【考法预测3】（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 考点09 对称问题 典例1．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为2， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 典例2．如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直斜率关系和中点由点斜式求解即可. 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 【考法预测1】（多选）已知圆和直线，下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线与圆相交，且弦长为 C．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D．过点且与圆相切的直线有且仅有条 【答案】ABD 【分析】选项A，根据圆的标准方程即可判断；选项B，根据直线与圆相交的弦长公式，求解即可；选项C，圆与圆关于直线对称，即两圆的圆心关于直线对称，半径相等，所以求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可求得圆方程；选项D，根据点与圆的位置关系，可判断点在圆外，根据圆的切线性质，可知D正确. 【详解】对于选项A，由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为4，故A正确； 对于选项B，由题意，圆的圆心到直线的距离为， 因为，所以直线与圆相交， 所以弦长为，故B正确； 对于选项C，设圆心关于直线的对称点， 由直线，得其斜率为，故， 又对称点的中点在直线上，所以， 化简得，即． 又由得，即，整理为； 联立，解得：． 因此，圆的圆心为，方程为16，故C错误； 对于选项D，点到圆心的距离：，所以点在圆外． 所以，过点且与圆相切的直线有且仅有条，故D正确． 故选：ABD 【考法预测2】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆关于直线对称，则__________，直线的方程为__________. 【答案】 4 【分析】根据两圆半径相等可求得；求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意两圆半径相等，圆，整理得， 圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由题意可知，所以， 的中点坐标为，，由对称性可知得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：4； 【考法预测3】已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再根据对称性得到点的对称点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，将原题条件转化为圆与该轨迹圆有公共点，利用两圆圆心距与半径的关系建立不等式，从而解出参数的范围. 【详解】由题，，联立 解得直线过定点， 设点关于直线对称点为，则 点在以点为圆心，2为半径的圆上． 题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， ∴，解得．所以的取值范围为． 故答案为： 考点10 最值问题 典例1．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 典例2．（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 典例3．（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得以为直径的圆的方程，与圆方程相减得到直线方程，进而可求解. 【详解】因为是圆的切线，所以， 所以是圆与以为直径的圆的公共弦，的中点为， 可得以为直径的圆的方程为①， 又因为②， ①与②相减得，直线，即， 由可得， 即过定点，点位于圆内部． 设圆心到直线的距离为，则， 当时，最大，最小， 由题可知，所以． 【考法预测1】（多选）（2026·山东聊城·模拟预测）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 【考法预测2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 【考法预测3】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以， 所以， 此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. 方法技巧 最值问题的类型及求解技巧 与圆相关的最值问题是解析几何中的经典题型，主要可分为以下三大类型及对应求解技巧： 1. 代数型最值问题 类型：求形如 ax+by 、 x2+y2 等代数式的最值。 技巧： 换元法：利用圆的参数方程（ x=a+rcosθ,y=b+rsinθ ）将问题转化为三角函数的最值问题。 几何意义法： 转化为截距、斜率或距离问题 2. 距离型最值问题 类型：求圆上动点到定点、定直线或其他圆上动点的距离最值。 技巧：充分利用圆的对称性，将动点问题转化为“圆心到定点/定直线的距离”加上或减去半径。例如，圆上点到直线距离的最大值为 d+r ，最小值为 ∣d−r∣ （ d 为圆心到直线距离）。 3. 面积与向量最值问题 类型：求与圆相关的三角形面积、向量数量积的最值。 技巧：将面积或向量表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解。 核心思想：遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解。 考点11 圆的轨迹问题 典例1．（2026·河北沧州·二模）已知，，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点，再应用两点间距离计算化简，再应用已知条件结合点到圆上点的距离得出参数范围. 【详解】设点，由题可知，， 化简得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上. 因为圆上总存在点满足， 即圆与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径）， 即， 化简得，解得. 典例2．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 【考法预测1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算求出点的轨迹为圆，结合直线与圆有公共点的条件，利用圆心到直线的距离不大于半径求解的取值范围. 【详解】设点，由，，得，. 由，代入得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 直线整理为一般式， 因为直线上存在满足条件的点，故直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离. 由点到直线距离公式得，所以， 整理得，即，解得， 故的取值范围为. 【考法预测2】（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期中）动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（     ） A．直线过的定点是 B．点C的轨迹是一个完整的圆 C．的最小值为2 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A，将的方程整理为含参数的分组形式，令的系数和常数项同时为0，解得定点判断；对B，由两直线恒垂直，交点轨迹本是以两直线定点连线为直径的圆，但圆上的点无法通过有限实数取到；对C，将分式化简为，利用几何意义求出的范围，进而求得原式最小值为；对D，将转化为乘以点到直线的距离，得最小距离对应点取不到，最大距离对应点存在，进而得取值范围. 【详解】对于A：对动直线整理得，令，得定点， 代入方程验证恒成立，A正确； 对于B：对，整理得，令，得定点； 对任意，由可知， 所以交点的轨迹是以为直径的圆，圆心为中点，又， 所以圆方程为， 但点满足圆方程但无法通过有限实数取到， 轨迹缺一个点，不是完整的圆，B错误； 对于C：，是点与定点连线的斜率， 连线方程为，则，解得， 因此原式最小值为，且对应点在轨迹上，能取到最小值，C正确； 对于D：（是点到直线的距离）， 圆心到直线的距离，圆半径为， 因此， 距离为对应切点，不在轨迹上，故； 最大距离对应点，在轨迹上，因此，D正确. 【考法预测3】（2026·山东泰安·模拟预测）已知线段的长为4，动点满足（为常数，），且点始终在以为圆心1为半径的圆外，则的范围是___________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，；根据得到点的轨迹方程，结合点始终在以为圆心1为半径的圆外，得到的轨迹方程与圆的位置关系，将位置关系转化为关于的不等式，从而得到的范围. 【详解】以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则； 由线段的长为4，可设，. 则，. ，得. ，； 点在以为圆心，为半径的圆上. 又点始终在以为圆心， 为半径的圆外， 圆和圆外离或者内含. 或； 或，解得或； ，或， 即的范围是. 考点12 定点定值问题 典例1．（2026高三·全国·专题练习）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【详解】（1）因为直线与轴相交于点, 设圆心， 则或（舍）． 所以圆的方程为． （2）当直线轴时，轴平分； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，，， 由，得， 所以，． 若轴平分， 则， 即， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 解得， 所以当点为时，能使得总成立． 典例2．已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知条件结合两点间距离公式求出曲线的方程； （2）根据直线与圆的位置关系，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合两点间距离公式求出，进而求出为定值． 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 【考法预测1】（2026·江苏镇江·模拟预测）已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 【答案】4 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由题意可得圆心到直线的距离为定值，进而求出直线方程，最后根据弦长公式即可求出定值. 【详解】圆心坐标为，半径. 令，，消去参数可得，， 所以圆心在直线上运动. 因为直线被圆截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线的距离为定值. 因此直线应与圆心轨迹直线平行. 又直线经过点，所以直线方程为：，即. 所以圆心到直线的距离等于两平行线的距离. 所以定直线被圆截得的弦长始终为定值. 故答案为：4. 【考法预测2】（25-26高三·全国·二轮复习）如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【详解】， 设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，则，同理， 所以直线的斜率，则直线的方程为，即，所以直线恒过定点. 【考法预测3】（25-26高二上·上海奉贤·期中）已知圆，直线的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线、，切点分别为、． (1)当的横坐标为时，求的大小； (2)求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； (3)求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点、 (3)证明见解析，定点为 【分析】（1）求出点的坐标，可求出，由切线的几何性质可知，根据可得出的大小，进而可得出，即可得解； （2）设点分析可知圆的一条直径为，求出圆的方程得，联立方程组，可得出圆所过定点的坐标； （3）求出以点为圆心，为半径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程为，由可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）将代入方程可得，即点， 圆的圆心为，半径为， 由平面内两点间的距离公式可得， 因为直线切圆于点，则， 因为，且为锐角，故，故. （2）设，因为，所以圆的一条直径为，且点， 圆的半径为， 故圆的方程为， 即， 由，解得或， 所以圆经过定点和.    （3）因为， 所以以点为圆心，半径为的圆的方程为， 即，    直线可视为圆与圆公共弦所在的直线， 将圆的方程与圆的方程作差， 可得直线的方程为， 由得，故直线过定点. 考点13 实际问题 典例1．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 典例2．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.5（米）， 故选：A. 【考法预测1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【考法预测2】（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【答案】BD 【分析】根据两点距离公式计算判断A，设圆C的方程，将三点的坐标代入求解判断B，代入点斜式直线方程计算判断C，利用直线与圆的位置关系判断D. 【详解】由题意，得，所以， 即观测点之间的距离是，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误； 圆化成标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确. 故选：BD. 【考法预测3】在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【答案】5 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． 考点14 新定义问题 典例1．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”：若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”：否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义先求出、与圆相切，再求出、与圆相离时实数的范围，结合“平行相交”的定义即可得到答案. 【详解】依题意，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与直线重合，舍去；当时，，符合题意. 由圆可得其标准方程为， 由与圆相切，可得， 由与圆相切，可得， 当、与圆都相离时，则， 故当直线、与圆的位置关系是“平行相交”时，实数应满足， 故实数的取值范围是且. 故选：A. 典例2．（25-26高三上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 【答案】 【分析】根据已知有，应用分类讨论去绝对值求出动点的轨迹，进而得到面积，数形结合判断最大对应点的位置，再应用点线距离公式、圆的性质求距离最大值. 【详解】由题设， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 所以点的轨迹所围成图形如下图示， 轨迹是边长为的正方形，故其面积为8， 由图及以上分析知，直线上的线段存在点到圆上点的距离最大， 由的圆心为，半径，则到的距离为， 而到的距离为，到的距离为，显然， 综上，线段上到圆上点的最大距离. 故答案为：8， 【考法预测1】（多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（   ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 【答案】ABD 【分析】选项A：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相切； 选项B：设，，可得直线及的方程，把点代入可得直线的方程，从而可判断出B的正确与否； 选项C：利用点到直线的距离公式可得“伴随线”与圆是否相交； 选项D：设，，易得直线及的方程，由垂直可得，从而可求出． 【详解】选项A：当点在圆上时，，圆心到的距离， 点的“伴随线”与圆相切，故A正确； 选项B：设，，则圆在点，处的切线方程分别为： ，． 因为点在这两条切线上，所以，， 所以点，都在直线上， 所以直线的方程为，故B正确； 选项C：当点在圆内时，，圆心到的距离， “伴随线”与圆不相交，故C错误； 选项D：设，，易知：，：， 因为，垂直，所以， 所以，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【考法预测2】（2026·云南昆明·模拟预测）曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系求得直线的斜率的取值范围，结合直线与双曲线的位置关系列出关于的不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】设直线的方程为，即， 表示圆心为，半径为的圆， 依题意可知圆心到直线的距离， 整理得，所以， 由于直线与双曲线有交点， 所以渐近线的斜率满足恒成立，所以， 所以的离心率，所以的离心率的范围为. 【考法预测3】（25-26高二上·湖北·期中）设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： (1)若，，求A，B之间的余弦距离； (2)若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，，利用定义求解； （2）设，，根据定义求出，利用进行放缩，利用辅助角求解； （3）求出，，根据定义求出，令，整理得到，则问题转化为半圆与有公共点时的取值范围. 【详解】（1）由已知，， ； （2）设，， 则， ， 又取，时， ， 的最小值为； （3）由已知有 ，， ， 令，则有， 问题等价于半圆与直线有公共点， 即半圆与有公共点时的取值范围. 由半圆方程得：，圆心，半径为3. 如图，当直线过点时，， 当直线与半圆相切时，由得：，. 分析知，取. 故半圆与有公共点时，， 于是，.    拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】求得直线的定点，求得圆的圆心与半径，计算可得，可得结论. 【详解】由，可得直线恒过定点， 由圆的标准方程为，可得圆心为，半径， 因为，所以点在圆内， 直线和圆相交． 故选：A． 2．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 3．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为， 又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以， 解得，所以a的取值范围是． 4．已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 5．从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(　　) A．π B．2π C．4π D．6π 【答案】B 【思路点拨】作出图形,利用几何法求解. 【详解】如图, 圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=9,圆心坐标为(0,6),半径为3. 在Rt△OBC中可得:∠OCB=,∴∠ACB=,∴所求劣弧长为2π. 6．（多选）（2026·山东烟台·模拟预测）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 7．（多选）（2026·陕西榆林·三模）已知直线与圆和圆都相切，则（    ） A．的值有4组 B．直线与圆相切 C．直线与圆和圆都没有公共点 D．与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【分析】求出两圆心及半径，利用点到直线距离公式列式求出，进而求解判断ABC；确定两圆的位置，再求出符合条件的最小圆半径即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 依题意，，，联立解得或， 当时，，解得或； 当时，，解得或，因此有4组值，A正确； 要直线与圆相切，必有，而当时，直线与圆不相切，B错误； 由，得直线与圆和圆都没有公共点，C正确； 由圆和圆的圆心都在轴上，且两圆外离，这两个圆上距离最小的点为， 因此与两圆都相切的圆中，最小的半径为，面积最小为，D错误． 8．（2026·湖北宜昌·二模）已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 【答案】8 【分析】根据已知条件分析得到点与满足抛物线定义，确定与在抛物线上，且线段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解. 【详解】根据题意点与满足到定点的距离等于到直线的距离， 所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦， 又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为. 9．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 能力进阶 1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，则“圆不经过第四象限”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为圆， 所以圆，则圆心坐标为，半径， 因为半径，所以，化简得：， 解得，又因为，所以， 若圆不经过第四象限，则圆心到轴的距离要大于等于半径， 即，移项可得：，解得：或， 又因为，可得，所以可推出， 所以是的充分条件， 当时，不满足，所以是的不必要条件， 综上，圆不经过第四象限是的充分不必要条件. 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 3．（2026·重庆·三模）已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由相切性质可计算出圆的半径的最小值，则可求出点坐标，即可得其标准方程. 【详解】设圆C的半径为，则，即， 则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上， 即在上，设， 则，解得， 则，又，故其标准方程为. 4．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 5．（2026·重庆渝中·三模）在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆上得出最小时只需往直线作垂线所得垂线段为直径，利用点到直线的距离公式可得. 【详解】因为是直径，，所以点在圆上， 过作垂直直线，垂足为， 因为圆与直线相切，所以最小，只需为圆的直径即可， 到直线的距离， 则的最小值为 6．（多选）（25-26高二下·浙江温州·阶段检测）已知圆，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的轨迹是一条直线 B．直线与圆可能不相交 C．圆与圆至多只有一个公共点 D．若直线与圆相交，则其相交弦的弦长最大值为2 【答案】ACD 【分析】求得圆心满足直线，可判断A；根据直线与圆的位置关系计算可判断B；根据圆与圆的位置关系计算可判断C；当直线过圆心时，弦长最长，计算是否存在实数，满足条件判断D. 【详解】对于A，圆的圆心，半径， 因为圆心满足直线， 所以圆心的轨迹是一条直线，故A正确； 对于B，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，圆的圆心为，半径， 因为， 因为，即， 所以圆与圆外切或相离， 所以圆与圆至多只有一个公共点，故C正确； 对于D，直线过圆圆心时，弦长最长， 所以， 当时，即时，方程不成立， 所以， ， 因为，所以，解得， 所以当时，存在实数，使得直线过圆圆心， 故直线与圆相交时，则其相交弦的弦长最大值为2，故D正确. 7．（多选）（2026·山西晋城·三模）若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【答案】CD 【详解】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 8．（2026·河南新乡·三模）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 【答案】CD 【分析】根据圆心不在直线上判断A，根据圆心到直线的距离为半径判断B，根据圆上的点到的距离的范围判断C，根据圆心到直线的距离为1求出的值判断D. 【详解】由题设可得圆的半径为2. 对于A，因为，故直线不过原点， 故不存在实数，使得圆关于对称，故A错误； 对于B，若相切，则圆心到直线的距离， 整理得，故，故B错误； 对于C，由B的分析可得圆心到直线的距离， 故圆上的动点到直线的距离的取值范围， 令，则， 故当时，圆上存在点到的距离为6，故C正确； 对于D，因为，故到的距离为， 结合C中的距离可得，故，故D正确. 9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与轴、轴的截距之和为0，求直线的方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆交于，两点，点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)或. (2)或. (3)证明见解析 【分析】（1）根据直线的截距式方程计算即可求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算求出直线的斜率，即可求解； （3）易知直线的斜率存在.设：，，.联立圆的方程，根据韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算即可证明. 【详解】（1）当直线经过原点时，直线的方程为； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则解得所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. （2）圆的标准方程为，其圆心为，半径为1. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）因为直线与圆交于，两点，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，，. 由得， 则，. 由，得. 因为 ， 即为定值. 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4．（多选）（2026·全国一卷·高考真题）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【详解】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确.    【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误. 5．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 6．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 7．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $