精品解析：湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年高一下学期7月期末调研数学试题

2025年上学期高一期末调研考试 数学试卷 考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 若，，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等的定义，即可求解. 【详解】由得，所以，，所以. 故选：A 2. 若，则直线AB与CD的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 相交或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直直线的向量表示可知直线AB与CD垂直，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB与CD垂直， 所以AB与CD相交或异面． 故选：D 3. 袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球， 抽到的不是白球的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有种取法， 其中取到不是白球的有种取法， 所以取到不是白球的概率为. 故选：B 4. 某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设男生被抽取的人数是，由条件结合分层抽样性质列方程求解即可. 【详解】设男生被抽取的人数是， 由已知可得， 解得，. 故选：C. 5. 下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120； ②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127； ③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8； 则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ） A. 甲、丙 B. 乙、丙 C. 甲、乙 D. 甲、乙、丙 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由中位数，平均数，众数以及方差的意义，即可得到结果. 【详解】在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120， 所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127， 故甲同学数学成绩优秀，故①成立； 在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127， 可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128， 故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立； 在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8， 设， 则 ∴， ∴， ∴丙同学数学成绩优秀，故③成立， ∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学． 故选:A 6. 已知平面向量满足 ，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设，得，则，再由向量的模公式求解即可． 【详解】设， 因为，所以，得， 得， 则， 当时，取得最小值，为3. 故选：D 7. 中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（ ） A. 1:2 B. 2:3 C. 1:4 D. 4:5 【答案】B 【解析】 【分析】设，由“阳马”的定义结合棱锥的体积公式求出“阳马”的体积，由“堑堵”的定义根据棱柱的体积公式求出“堑堵”的体积，从而得出体积比. 【详解】解：设，由“阳马”的定义及可知， 四边形是矩形，平面， “阳马”的体积为： ， 由“堑堵”的定义可知，，且平面， “堑堵”的体积为： ， 所以“阳马”与“堑堵”的体积之比为：. 故选：B. 8. 在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设在上运动，结合棱柱的结构特征及线面平行的性质判断各棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为i B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简得，求出对应点的坐标判断C，求出共轭复数及虚部判断A，代入方程求解判断D，求出后求模长判断B. 【详解】，对应点为在第二象限，故C对； 又，虚部为，故A错， ，故B错； ，故为方程的一个根，D对. 故选：CD 10. 已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若， 则向量与向量共线 B. 向量与的夹角为 C. D. 向量与向量垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得，对于A，由向量的共线定理判断即可；对于B，利用向量的夹角公式，即可求解；对于C，利用模长的计算公式，即可求解；对于D，利用向量的垂直表示，计算，即可求解； 【详解】因为，，，则， 得到， 对于A，若，则， 故向量与向量共线，故A项正确； 对于B，，又，所以，故B错误， 对于C，因为，则，所以C正确， 对于D，因为， 所以向量与向量垂直，故D正确． 故选：ACD. 11. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，可得结论判断A；根据正弦定理化简得，进而计算可判断B；根据题意得，结合在为单调递减函数，可判断C，设的中点为，的中点为，根据向量的运算，得到，结合三角形的面积公式，可判断D. 【详解】对于A，若，，，则， 所以满足条件的三角形有2个，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，即， 因为，，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C中，由是锐角三角形，可得， 所以，又因为在为单调递减函数， 所以，所以C正确； 对于D中，如图所示， 设的中点为，的中点为， 因为，即， 可得，即，所以点是上靠近的三等分点， 所以点到的距离等于到的距离的， 又由到的距离为点到的距离的倍， 所以到的距离等于点到距离的， 由三角形的面积公式，可得，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题.每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12. 已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】求出正方体内切球半径，再利用球的体积公式求解. 【详解】正方体内能放入的最大球体即为其内切球，该球直径为正方体棱长2，半径为1， 所以所求最大球的体积为. 故答案为： 13. 设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则=_____. 【答案】 【解析】 【分析】先计算，而互相独立，得，再由进行求解． 【详解】因为，所以， 而互相独立，得， 则， 故答案为： 14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线的结论可得，进而可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以， 所以， 又，，，所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】（1），， （2）80；37.5 【解析】 【分析】（1）由题意结合各组频率之和为1，即可求得的值，利用中位数的计算方法即可求得中位数； （2）利用平均值以及方差公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由第二组的频数是第一组频数的2倍，可知第二组的频率是第一组频率的2倍， 即，则； 又，解得； 由于成绩在内的频率为，在内的频率为， 故中位数位于，设为m，则，解得； 【小问2详解】 由，可得， 则剔除其中的75和85两个分数，剩余8个数平均数为； 又标准差， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为. 16. 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的值； （2）若外接圆的面积为，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，即可得解； （2）由题意先求得外接圆的半径，再利用正弦定理求得，由结合可得，即可求得的面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ， ， ． 【小问2详解】 设外接圆的半径为，由，得， 由正弦定理得，所以， 由（1）知， ， ， ， ． 17. 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为.甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立. （1）求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求乙通过第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率公式计算即可； （2）利用对立事件概率公式计算即可； （3）利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 甲通过第一轮挑战赛的概率为. 【小问2详解】 乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 乙通过第一轮挑战赛的概率为. 【小问3详解】 甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （3）设，连接，找到为直线与平面所成的角，由等面积法求出，再有勾股定理求出，最后计算正弦值即可； 【小问1详解】 因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为， 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 【小问3详解】 设，连接， 因为平面， 所以为直线与平面所成的角（或补角）， 在中，，又， 即，所以， 又在中，， 所以. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）,. 【解析】 【分析】（1）首先根据“完美坐标”的定义将和表示出来，进而利用向量的加减表示出. （2）利用向量数量积的坐标公式推导出的表达式. （3）首先用向量的基本公式将函数表达出来，然后对函数式进行变换，最后求解不等式. 【小问1详解】 由题得， 所以， 所以， 即的“完美坐标”为. 【小问2详解】 证明：由题知， 所以 即. 【小问3详解】 由（2）得. 因为， 所以， 所以， ， 所以. 令， 则， 所以， 即， 解得（舍去）或， 所以， 即， 所以， 所以， 即不等式的解集为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高一期末调研考试 数学试卷 考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 若，，，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 若，则直线AB与CD的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 相交或异面 3. 袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球， 抽到的不是白球的概率为 （ ） A. B. C. D. 4. 某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 5. 下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120； ②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127； ③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8； 则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ） A. 甲、丙 B. 乙、丙 C. 甲、乙 D. 甲、乙、丙 6. 已知平面向量满足 ，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（ ） A. 1:2 B. 2:3 C. 1:4 D. 4:5 8. 在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为i B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 10. 已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若， 则向量与向量共线 B. 向量与的夹角为 C. D. 向量与向量垂直 11. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 三、填空题：本大题共3小题.每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12. 已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为___________ 13. 设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则=_____. 14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 16. 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的值； （2）若外接圆的面积为，且，求的面积． 17. 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为.甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立. （1）求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求乙通过第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $