专题07 全等三角形模型之奔驰模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题07 全等三角形模型之奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 9 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 12 16 奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构‌。在等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了模型的普适性。‌ （2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：（1）绕点B逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （2）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，∴，， ∵∴又∵∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 例1（24-25八年级上·东营·期中）如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，如图：∵是等边三角形，∴，， 由旋转的性质可得， ∴，即，∴是等边三角形，， ，，， ∴是等腰直角三角形，，， ，∴，，故选：A． 例2（24-25八年级上·山西·期中）是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的长等于（    ）    A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】∵ 是等边三角形 ∵将绕点 逆时针旋转得到 即 ∴ 是等边三角形故选：A 例3（2025山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接．∵为等边三角形，∴，． ∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段，∴，， ∴为等边三角形，∴． ∵，，∴． 在和中，∴，∴． 在中，∵，，，∴， ∴为直角三角形，， 过作于， ∴．故选A. 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是（　　） A． B．是直角三角形 C． D． 【答案】D 【详解】解：是等边三角形，则， 又，则，，故A正确，是正三角形， 又，设，则：，，， ，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，故B正确， 又是正三角形，，，故C正确， ∵，∴，故D错误．故选：D． 例5（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 【答案】C 【详解】解：连接，如下图：∵正 ∴， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形∴，即②错误； ∵， ∴ 和中 ∴ ∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确； ∵，∴ ∴ ∵为等边三角形∴ ∴，即③正确； ∵∴ 过点B做，交于点N ∵为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积，即④正确； ∵正∴绕点A逆时针旋转得到，如下图： ∵，，， ∴为等边三角形∴ 过点A做，交于点G，如下图： ∵为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴ ∵，，∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即⑤正确；故选：C． 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为 ．    【答案】105° 【详解】解：过点P作PH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，    在△APB和△APD中∴△APB≌△APD，∴∠BAP=∠DAP， 由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°，∴∠APH=90°-45°=45°，∴PH=AH, ∵PA=1，在中，由勾股定理可得：， ∵PB=，∴∠PBA=30°，∴∠BPH=90°-30°=60°，∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105°故答案为：105° 例2（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角，点P在内，，，则PB的长为（　　） A． B． C．5 D．5 【答案】A 【详解】解∶∵等腰直角，∴， ∵，∴， 如下图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，故选∶A． 例3（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在正方形外取一点E，连接、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线AE的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③⑤ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：点A作AE的垂线交DE于点P，， 四边形是正方形，，，， ，，故①正确；，， ，，，，故③正确； 过点E作，交的延长线于点F， ，，， ，在中，由勾股定理得：， ，∴在中，由勾股定理得：， ，故②错误，如图：连接，在中， ，，，由勾股定理可求得，，， ，，故④错误； ，在中，由勾股定理得：， ，故⑤正确；综上所述：其中正确结论有①③⑤；故选：A． 例4（24-25八年级下·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数． 解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形．∴， 又∵，∴∴为直角三角形∴∠APB的度数为______． （2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长； （3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【详解】解：（1）解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是等边三角形，∴，；又∵，，∴， ∴是直角三角形，即，∴； （2）如图，把绕点B顺时针旋转得到，∴， ∵旋转角是，∴，∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得，； （3）∵六边形是正六边形，∴，， 如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∴，，∴； 如图所示，过点A作于M，则，∴， 又∵，，∴， ∴是直角三角形，即 ，∴； 如图所示，过点B作交延长线与H，则， ∴，∴，∴， ∴，∴正六边形的边长为． 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 例1（24-25九年级上·广东·专题练习）如图，是等边三角形外一点，，，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵为等边三角形，∴，， 可将绕点顺时针旋转得，连，如下图， ∴，，，，∴为等边三角形，∴， 在中，，，，∴，∴为直角三角形，且， ∴， ∴． 例2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为（   ）    A．8 B．7 C．7.5 D．6.5 【答案】A 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得，连接，    ∴，，，∴是等边三角形， ∴，，∵，∴， ∴在中，，∴，故选：A． 例3（24-25·八年级下·湖北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=，若AD=4，CD=2，则BD的长为（   ） A．6 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，则有∠AD′D=∠D′AD=， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′， ∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=＝4， ∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′===6，故选A. 例4（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 【答案】【定义理解】；【问题探索】见解析；【灵活运用】 【详解】解：定义理解：∵四边形是对余四边形，∴， ∵，∴，∵，∴，故答案为：； 问题探索 证明：如图，将绕点顺时针方向旋转，连接，． ∵，，∴是等边三角形， ∵将绕点顺时针方向旋转，∴，， ∴为等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∵四边形为对余四边形，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∵，，∴； 灵活运用：过点作，使，连接，，如图所示： ∴在中，，，∴， ∵四边形为对余四边形，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴（），∴， ∵，，∴，∴ ∵，∴． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，是等边三角形，点P在内，，将PAB绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（    ） A．6 B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAB＋∠CAP=60°， ∵∠PAB=∠QAC，∴∠QAC＋∠PAC=60°， ∵AP=AQ，∴△AQP为等边三角形，∴PQ=AP=6，故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论不正确的是（　　）    A．点与的距离为 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，    ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，， ，是正三角形，， 点与的距离为，∴A正确，不符合题意； 为正三角形，， ，， 在和中，，，， ，，，，， ，在中，，， ， ，，∴B错误，符合题意； ，∴D正确，不符合题意； ，∴C正确，不符合题意．故选：B． 3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形 ∴∴，∴ ∵∴∴ 故选C． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点P是正方形内一点，且，，，则度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把绕着点B顺时针旋转得到，连接,    ，，是等腰直角三角形， ， ，，，，故选：C． 5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知：如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形，，， ，，，即， 在和中，，，故结论正确； 过点作，交的延长线于点，如图所示：则，即为点到直线的距离， 在中，，，是等腰直角三角形，， ，由勾股定理得：， ，，， 是直角三角形，在中，，由勾股定理得：， ，，是等腰直角三角形，， 由勾股定理得：，， 点到直线的距离为，故结论不正确； ，，故结论正确； ，是直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， ，故结论正确，综上所述：正确的结论是．故选：D． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作，，连接，，如图， ∵，∴，， ∴即， 在与∴，∴， ∵，，∴， 且， ∴，∴，∴故选：． 7．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，P为等边三角形内一点，且点这到三个顶点A、B、C的距离分别为6、8、10，则的面积为 ． 【答案】/ 【详解】∵为等边三角形，∴， 可将绕点B逆时针旋转得，连，且延长，作于点F．如图， ∴，∴为等边三角形，∴ 在中，，∴∴为直角三角形，且， ∴∴，∴在直角中，，， 在直角中，，∴， ∴的面积故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 【答案】 【详解】解：连接 ，如图， ∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，，， ∴ ，，，， 又∵ 是等边三角形，∴ ，即 ， ∴ ，即 ，∵ 且 ，∴ 是等边三角形， ∴ ，；在 中，，，， ∵ ，即 ，∴ 是直角三角形，， ∴ ， 又∵ ，∴ ．故答案为： ． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为 ． 【答案】3 【详解】是等边三角形，， 如图，将绕点C顺时针旋转，点为点D的对应点，连接， ，点A为点B旋转后的对应点，由旋转的性质得：， 是等边三角形，，，， 则在中，，，故答案为：3． 10．（24-25江苏八年级上期中）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 【问题提出】如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度数吗？ 【问题解决】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决． (1)结合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________； (2)【类比探究】如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=________； (3)如图4，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=13，，PC=3，则∠CPB=_____； (4)【深入探究】如图5，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=5，，PC=3，则∠CPB=________； (5)如图6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是_______． 【答案】(1)12，90，150(2)135(3)45(4)120(5)13 【详解】（1）解：如图2，∵将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A， ∴BP=BP'=12，PC=P'A=13，∠PBP'=60°，∴△BPP'是等边三角形， ∴BP=PP'=12，∠BPP'=60°，∵P'A2=169，AP2+P'P2=25+144=169， ∴P'A2=AP2+P'P2，∴∠APP'=90°，∴∠APB=150°，故答案为：12，90，150； （2）解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP于H，连接PP′， 则∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=3；由勾股定理得：PP′2=22+22=8； ∵PC2=12=1，P′C2=32=9，∴P′C2=PP′2+PC2，∴∠P′PC=90°， 又∵∠BPP′=45°，∴∠BP′C=135°，∴∠CPB=∠BPP′+∠P′PC=135°，故答案为：135； （3）解：将△BPA绕点B顺时针旋转90°，得到△BP′C，连接PP′， ∴△ABP≌△CBP′，∴∠PBP'=90°，BP'=BP，AP=CP′=13，在Rt△PBP'中，BP=BP'，∴∠BPP'=45°， 根据勾股定理得，PP'2=BP2+BP′2=+=25，∵CP=12，∴CP2+PP'2=144+25=169， ∵CP'2=132=169，∴CP2+PP'2=CP'2，∴△CPP'是直角三角形，且∠CPP'=90°， ∴∠CPB=∠CPP'-∠BPP'=90°-45°=45°，故答案为：45； （4）解：如图5．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC=120°， 把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A， ∴∠P′BP=120°，BP′=BP=，P′A=PC=3，∠BP′A=∠BPC， ∴∠BP′P=∠BPP′=30°，过B作BH⊥PP′于H，∵BP′=BP，∴P′H=PH， 在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=，∴BH=BP′=，P′H=BH=2， ∴P′P=2P′H=4，在△APP′中，AP=5，PP′=4，AP′=3， ∵52=42+32，∴AP2=PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°， ∴∠BP′A=30°+90°=120°，∴∠CPB=120°．故答案为：120； （5）解：将△ACP绕着点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接EP，BD， ∴△ACP≌△ADE，∴∠CAP=∠DAE，AD=AC=5，∠CAD=∠PAE=60°，AE=PA，CP=DE， ∴△APE是等边三角形，∴EP=AP，∴AP+BP+PC=PB+EP+DE， ∴当点D，点E，点P，点B共线时，PA+PB+PC有最小值BD， ∵∠BAC=30°，∴∠DBC=∠BAC+∠DAC=90°，∴BD= =13，故答案为：13． 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程；请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用：如图 2 ，点P为等边外一点，，求长． （3）能力提升：如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ． 【答案】（1），见解析；（2）2；（3） 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，，，， ，，，，，； （2）如图，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，，是等边三角形，，， ，，，； （3）解：将绕点C顺时针旋转至，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接，，过点F作交延长线于点G， 在中，，∴，∴， 由旋转得，， ∴，均为等边三角形， ∴，，∴，∴， 当点共线时，取得最小值，即为， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东济宁·期末）问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． 类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． 迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案） 【答案】问题解决：4、；类比探究：；迁移运用： 【详解】解：问题解决：如图1，连接，是等边三角形，， 为绕点逆时针旋转所得， ∴， 又旋转后与重合，与重合，，是等边三角形， ，，由旋转性质得：， ∵，∴，∴是直角三角形，， ．故答案为：4；； 类比探究：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，，是等腰直角三角形． 由勾股定理得：， ，，，是直角三角形，， 是等腰直角三角形，， ，； 迁移运用：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，，， 是等腰直角三角形， ，， ，在线段上，， 是直角三角形，∴，∴．故答案为：． 13．（24-25九年级·河南郑州·阶段练习）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的 如图1，等腰直角三角形内有一点连接为探究三条线段间的数量关系，我们可以将绕点逆时针旋转得到连接则___ ____是_ 三角形，三条线段的数量关系是_ ； 如图2，等边三角形内一点P，连接请借助第一问的方法探究三条线段间的数量关系．如图3 ，在四边形中，点在四边形内部，且请直接写出的长． 【答案】（1），直角，；（2），证明详见解析；（3） 【详解】∵绕点逆时针旋转得到 ∴，∠=∴ ∵BP⊥∴是直角三角形．∴ 即； 如图，将绕点顺时针旋转得连接则为等边三角形， ． 将绕点顺时针旋转至连接则． ． ，即．在中可求得． ，．可证则． 14．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知是等边三角形． (1)如图1，点D在内，且，，，把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，求线段的长为； (2)如图2，点D在外，且，，，求的度数．    【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，连接，       ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，，易得∴是等边三角形，则， ∵，∴，则， ∵，，∴，， 在中，由勾股定理得：，所以； （2）解：如图，将绕点A顺时针旋转使点C与点B重合，得到，连接， ∴，依题意，得（旋转角相等），且， 同理：为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴为直角三角形，， ∴，∵，∴． 15．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，在中，，，，点在内部，连接，，，并且，请直接写出的值（提示：可通过旋转变换，将三条线段、、转化到同一条直线上）． 【答案】（1）150°；（2），证明见解析；（3） 【详解】解：（1）由题意得， ∴ ，∠APB=， ， ， ∴，∴ ，∵ ， ∴△是直角三角形，且 ，∴∠APB= ． （2），理由如下：把绕点逆时针旋转得到，如图， 则，，，，， ∵，∴，∴，∴，∴ ， ∵，∴，∴，∴，即  ． （3）将△PAB绕点B顺时针旋转60°至 ，连接，如图， ∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC=， ∵△PAB绕点B顺时针旋转60°至，∴ ， ∴，，，∴是等边三角形，∴ ，， ∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°，∴ ， ∴ 四点共线，∴， ∴． 16．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【详解】（1）解：等边，理由如下：将绕点顺时针旋转，得到 ，是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接，那么有， 是等边三角形， 在中， （3）解：如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，，， ；，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ，，，是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小；当最小时， 17．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)求出的度数；(2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______． (3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：将逆时针旋转得到； ∵由旋转所得，∴， ∴，，，， 在中，，，∴为等边三角形，∴，， 在中，，即，∴， ∴，∴； （2）将逆时针旋转得到；∵由旋转所得，∴， ∴，，，， 在中，，，∴为等边三角形，∴，， 在中，，即， 在中，，且，∴， ∴，∴；故答案为：； （3）将绕A点顺时针旋转90°得，连接， ∵由旋转所得，∴，∴，，， 在中，，且，∴，∴， ∵，即，∴，∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）问题背景：如图1，设P是等边内一点，，，，求的度数．小君研究这个问题的思路是：将绕点A逆时针旋转得到，易证：是等边三角形，是直角三角形，所以． 简单应用：(1)如图2，在等腰直角中，，P为内一点，且，，，则_______°． (2)如图3，在等边中，P为内一点，且，，，求长． (3)拓展延伸：若图4中的等腰直角，与，，在的同侧，若，，求的长度． 【答案】(1)135(2)13(3) 【详解】（1）解：如图2，将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∵是等腰直角三角形，∴，， 根据旋转可知：，， ， ∴，根据勾股定理得， ， ∵，，∴，∴是以为斜边的直角三角形， ∴，∴，故答案为：135； （2）解：如图3，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∵是等边三角形，∴，， 根据旋转可知：，，， ∴是等边三角形，∴，， ∵，∴， 根据勾股定理得， ，∴； （3）解：如图4，连接，将绕点B顺时针旋转得到，与的交点记作G， 根据旋转可知：，，，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点在的延长线上，∴， 根据勾股定理得：，∴，∴，负值舍去． 19．（2024·江苏徐州·一模）如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 【答案】证明见解析；； 【详解】（1）证明：，是等边三角形，，，， ， ． （2）解：过点C作且，连接，，则，. 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在中，． ． 为直角三角形，在中 , ， ， （3）解：作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， ，， ，且，, ， ， ， 在，又， 为等腰直角三角形，， 设，由于，则， ，， 又， ， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角形模型之奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 9 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 12 16 奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构‌。在等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了模型的普适性。‌ （2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 例1（24-25八年级上·东营·期中）如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·山西·期中）是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的长等于（    ）    A．4 B．3 C．2 D． 例3（2025山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是（　　） A． B．是直角三角形 C． D． 例5（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为 ．    例2（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角，点P在内，，，则PB的长为（　　） A． B． C．5 D．5 例3（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在正方形外取一点E，连接、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，．下列结论：①；②点B到直线AE的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③⑤ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 例4（24-25八年级下·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数． 解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形．∴， 又∵，∴∴为直角三角形∴∠APB的度数为______． （2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长； （3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长． 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 例1（24-25九年级上·广东·专题练习）如图，是等边三角形外一点，，，，则的度数为 ． 例2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为（   ）    A．8 B．7 C．7.5 D．6.5 例3（24-25·八年级下·湖北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=，若AD=4，CD=2，则BD的长为（   ） A．6 B． C．5 D． 例4（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． ……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，是等边三角形，点P在内，，将PAB绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（    ） A．6 B． C．3 D．2 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论不正确的是（　　）    A．点与的距离为 B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点P是正方形内一点，且，，，则度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知：如图，在正方形外取一点，连接、、过点作的垂线交于点若，下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，P为等边三角形内一点，且点这到三个顶点A、B、C的距离分别为6、8、10，则的面积为 ． 8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为 ． 10．（24-25江苏八年级上期中）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 【问题提出】如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度数吗？ 【问题解决】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决． (1)结合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________； (2)【类比探究】如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=________； (3)如图4，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=13，，PC=3，则∠CPB=_____； (4)【深入探究】如图5，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=5，，PC=3，则∠CPB=________； (5)如图6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是_______． 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图1 ，等边内有一点 P ，若点 P 到顶点A、B、C的距离分别为， 求的度数．为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请你写出完整的解题过程；请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． （2）基本运用：如图 2 ，点P为等边外一点，，求长． （3）能力提升：如图 3 ，在中，，点P为内一点， 连接，则的最小值是 ． 12．（24-25八年级上·山东济宁·期末）问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度． 类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． 迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案） 13．（24-25九年级·河南郑州·阶段练习）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的 如图1，等腰直角三角形内有一点连接为探究三条线段间的数量关系，我们可以将绕点逆时针旋转得到连接则___ ____是_ 三角形，三条线段的数量关系是_ ； 如图2，等边三角形内一点P，连接请借助第一问的方法探究三条线段间的数量关系．如图3 ，在四边形中，点在四边形内部，且请直接写出的长． 14．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知是等边三角形． (1)如图1，点D在内，且，，，把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，求线段的长为； (2)如图2，点D在外，且，，，求的度数．    15．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，在中，，，，点在内部，连接，，，并且，请直接写出的值（提示：可通过旋转变换，将三条线段、、转化到同一条直线上）． 16．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 17．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)求出的度数；(2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______． (3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______． 18．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）问题背景：如图1，设P是等边内一点，，，，求的度数．小君研究这个问题的思路是：将绕点A逆时针旋转得到，易证：是等边三角形，是直角三角形，所以． 简单应用：(1)如图2，在等腰直角中，，P为内一点，且，，，则_______°． (2)如图3，在等边中，P为内一点，且，，，求长． (3)拓展延伸：若图4中的等腰直角，与，，在的同侧，若，，求的长度． 19．（2024·江苏徐州·一模）如图，在中，以为边向外作等边，以为边向外作等边，连接、．求证：． 【知识应用】如图，四边形中，、是对角线，是等腰直角三角形，，，，求的长． 【拓展提升】如图，四边形中，，，，则________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $