第05讲 对数与对数函数（15核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦对数与对数函数核心考点，涵盖对数概念运算、函数图像性质及反函数等内容，按考情解读、知识梳理、方法归纳、真题训练的逻辑展开，通过分层突破帮助学生构建知识体系，强化解题能力。 讲义突出分层教学与方法指导，如比较对数大小时引导构造中间量培养数学思维，解对数不等式时结合单调性训练逻辑推理，设置基础到真题的分层练习，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考效率与数学素养。

第05讲 对数与对数函数 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 对数的概念及运算 知识2 对数函数 知识3 反函数 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 指数式与对数式的互化 考点08 对数型复合函数的单调性 考点02 对数的运算 考点09 对数型复合函数的值域 方法技巧 对数运算的常用方法与技巧 方法技巧 对数型复合函数的解题策略 考点03 对数函数的图像 考点10根据单调性求参数 方法技巧 对数函数图象的识别及应用方法 考点11根据值域（最值）求参数 考点04 对数函数过定点问题 考点12 解对数不等式 考点05 对数函数的的定义域与值域 方法技巧 解对数不等式的两种类型及方法 考点06 比较对数式的大小 考点13对数函数模型的应用 方法技巧 对数式比较大小的技巧 考点14 对数函数的综合问题 考点07 对数函数的单调性 考点15 反函数 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 对数的运算 北京卷T13 北京卷T9 全国I卷T6，北京卷T7 对数函数的图像 全国I卷T8 对数函数的性质 北京卷T5 全国Ⅱ卷T8， 比较大小问题 天津卷T6 天津卷T5，北京卷T9 考情解读 对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大. 备考策略 在一轮复习备考中，要注意对数化简运算、复合对数函数性质分析、含对数不等式求解侧重强化性质的综合灵活运用。 知识・归纳梳理 知识1 对数概念及运算 1.对数的概念 一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.  以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.  2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1=0，logaa=1，=N(a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM(n∈R). (3)对数换底公式：logab=(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 知识2 对数函数 (1)概念：一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x=1时，y=0 当x>1时，y>0；当0<x<1时， y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0 增函数 减函数 必记结论 1.掌握三个对数函数图象的特点 (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交. (2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的大致图象. (3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b. 2.谨防两个易误点 (1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.当底数a的范围不明确时，研究函数的单调性、最值时必须分0<a<1和a>1两种情况讨论. (2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化. 知识3反函数 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称. 重难・核心突破 考点01 指数式与对数式的互化 典例1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________． 【答案】 【详解】由，得，所以，所以． 【考法预测1】（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得 ，所以． 【考法预测2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由，得，而， 则. 【考法预测3】（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 【答案】1 【详解】由可得，又， 则. 考点02 对数的运算 典例1．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 【考法预测1】（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 则， 所以. 【考法预测2】（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 【考法预测3】（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 【考法预测4】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 【答案】16 【详解】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 方法技巧 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍数化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 考点03 对数函数的图像 典例1．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对数函数的图象及函数图象的变换检验各选项即可求解． 【详解】由图可得，，， 则，故A正确； 则，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 当时，，满足，故D可能成立； 故选：C． 【考法预测1】（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 【考法预测2】（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【详解】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 【考法预测3】（多选）（25-26高三下·重庆·开学考试）若（，且），则函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对进行分类讨论，结合特殊值排除法来确定正确答案. 【详解】当时，， 即，解得， 对于函数，即是增函数， ，排除C选项，D选项符合. 当时，， 所以，所以， 所以，解得， 对于函数，是减函数， ，排除A选项，B选项符合. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象向______平移______个单位． 【答案】 上 3 【详解】由， 则只需将函数的图像向上平移3个单位即可得到. 方法技巧 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 考点04 对数函数过定点问题 典例1．（2026高三·全国·专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求出，进而得到，根据结合基本不等式即可求出答案. 【详解】函数（，且）的图象恒过定点， 因为点在上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 【考法预测1】已知且，则函数的图象经过定点________． 【答案】 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由题意令得， 此时， 则函数的图像经过定点. 故答案为： 【考法预测2】幂函数没有零点，则函数恒过定点___________ 【答案】 【分析】根据幂函数系数为求出的值，代入判断函数恒过的定点. 【详解】因为是幂函数，所以系数， 即，化简得，解得或， 当时，指数，幂函数为， 定义域为，函数值恒不为，没有零点，符合题意， 当时，指数，幂函数为，有零点，不符合题意，故， 则函数，令，即， 此时，所以恒过定点. 故答案为： 【考法预测3】已知函数（，且）的图象经过定点，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指、对数函数的定点可得，再判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为函数（，且）的图象经过定点， 则，解得， 可得， 可知在定义域内单调递增，且，， 所以函数的唯一零点所在的区间为. 故选：A. 考点05 对数函数的的定义域与值域 典例1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 典例2．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 【考法预测1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 【考法预测2】2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 则，值域. ，所以A错误，B正确； 集合之间不用连接，所以CD错误. 【考法预测3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为对数函数是上的减函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的增函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 考点06 比较对数式的大小 典例1．（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 【考法预测1】（2026·天津红桥·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 【考法预测2】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，，， 则， 又因， 则得. 【考法预测3】（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 考点07 对数函数的单调性方法技巧 比较对数式大小的策略 典例1．下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用解析式，结合指数函数、对数函数单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数在定义域上单调递增，A错误； 对于B，函数在定义域上单调递减，B正确； 对于C，函数在定义域上单调递增，C错误； 对于D，函数在定义域上不单调，D错误. 故选：B 【考法预测1】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 【考法预测2】（2026·辽宁抚顺·一模）设函数，若，则与0的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，且，所以， 由对数函数性质得在上单调递减， 而， 则，故A正确. 【考法预测3】（25-26高三上·江苏盐城·期末）若定义在上的减函数满足，请写出满足条件的一个函数___________． 【答案】（可以是，其中） 【分析】利用定义在上的减函数，可得递减的对数函数满足题意. 【详解】根据定义在上的减函数，结合题意可令， 因为，满足题意， 故答案为：（可以是，其中） 考点08 对数型复合函数的单调性 典例1．（多选）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在定义域上是增函数 D．在定义域上是减函数 【答案】AC 【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断可得AB项的对错；再根据复合函数的单调性可得CD项的对错. 【详解】因为要使函数有意义，则，即， ，解得，所以函数的定义域为. 因此函数的定义域关于原点对称. 又因为， 故函数为奇函数，所以A正确，B错误； 令，则， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，且，函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增， 因此函数在定义域上是增函数，故C正确，D错误. 【考法预测1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 【考法预测2】函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 【考法预测3】（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 【答案】AC 【详解】令，则或，故 的定义域关于原点对称， 选项A：的定义域为，，满足奇函数定义，A正确。 选项B：，B错误。 选项C：由于在单调递增，而为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异减”得在区间单调递增，由于为奇函数，因此在区间上单调递增，C正确。 选项D：由于， 不满足，D错误。 考点09 对数型复合函数的值域 典例1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据偶函数定义，化简整理，即可得，利用换元法，根据其单调性求复合函数的值域即可. 【详解】，因为其为偶函数， 所以，即 所以，解得. 当时，，由解得， 满足偶函数定义，故. 所以，. 令，，由二次函数图象和性质可知， 当 时，，当趋近于或3时，趋近于0， 所以，的值域为； 因为对数函数 在 上单调递增，令 ， 根据单调性可知，当 时， ，且当 趋近于 0 时， 趋近于， 所以 的值域为 . 综上，函数 的取值范围是 . 故答案为：. 【考法预测1】（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 【答案】D 【分析】先由函数的定义域为确定函数的定义域，再通过换元法令将原函数转化为关于新变量t的二次函数，最后根据二次函数在闭区间上求出最大值. 【详解】 因为，的定义域为； 所以中，解得； 所以，的定义域是 令，，则，所以， 在上单调递增，当时，即时，取得最大值为. 故选：D 【考法预测2】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 【考法预测3】知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用奇函数的定义求解； （2）由的表达式求出的表达式，利用换元法将设为，求出的取值范围，利用二次函数的图象求值域即可得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， ， 当时，，， ； （2）当时，，， ， 令， ，， ， 函数图象开口向上，对称轴为， ，   函数的值域为. 方法技巧 对数型复合函数的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 考点10根据单调性求参数 典例1．函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，，在定义域上为减函数， 又函数在上是减函数，则在定义域上为增函数，， 要使函数有意义，则， 又在上为减函数，在上的最小值为，即， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 【考法预测1】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，两种情况，结合复合函数单调性知识可得答案. 【详解】当时，, 因此时在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，则的单调递减区间为， 单调递增区间为，可得在上单调递增； 当时，, 因此时在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，则的单调递减区间为， 单调递增区间为．若在上单调递增，有． 综上可得． 故选：A. 【考法预测2】（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数（型）复合函数单调性分析求解即可. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为， 令，二次函数开口向下，对称轴为， 由，所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以要使函数在区间上存在单调递增区间， 则且 即且，解得，即正数的取值范围是. 【考法预测3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数 在 单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性结合二次函数单调性求解 【详解】令 由在上单调递减，可得在上单调递减，且在上恒成立， 又 所以需满足二次函数对称轴，且对任意都有。因为在上单调递减，所以只需即可 所以，解得 考点11根据值域（最值）求参数 典例1．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可. 【详解】由，得， 所以函数定义域为， 因为由外层函数和内层函数复合而成， 当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减， 当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：C 【考法预测1】若函数在区间上的最大值比最小值大1，则实数______ 【答案】或 【分析】分类讨论和时的对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，当时，对数函数在区间上单调递增. 又因为对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，解得. 当时，函数在区间上为减函数， 所以，，所以，， 故答案为：或. 【考法预测2】已知函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为______． 【答案】2 【详解】根据在是单调函数，代入区间端点值即可. 显然函数与在上的单调性相同， 因此函数在上的最大值与最小值之和为： 故，解得或(舍去)． 故答案为：2 【考法预测3】设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）根据结合对数运算，即可求得a的值；根据函数解析式列不等式组，即可求得函数定义域； （2）判断函数在给定区间上的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，且， 故，则， 而，故， 由，可得， 故的定义域为； （2）由（1）可得 而， 在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取到最大值4， 函数为其定义域上的增函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为. 考点12 解对数不等式 典例1．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 【考法预测1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【分析】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 【考法预测2】（2026·辽宁大连·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用、在上的单调性，且求不等式的解集. 【详解】由，即且， 、在上分别单调递减、单调递增，且， 当时，，当时，， 由在上能成立，则，故原不等式的解集为. 【考法预测3】（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 方法技巧 解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论 logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 考点13对数函数模型的应用 典例1．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【分析】设原强度、新强度,代入分贝公式拆分对数，利用已知和计算,得结果. 【详解】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 【考法预测1】（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 【答案】D 【分析】若2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费，根据条件列出不等式，解得n的范围即可． 【详解】不妨取2024年是第1年， 根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则，则第4年符合题意， 即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元． 【考法预测3】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 考点14 对数函数的综合问题 典例1．（2026·安徽·模拟预测）已知 ,则 （     ） A．40 B．32 C．72 D．64 【答案】D 【分析】根据题干信息构造单调函数，将换元转化为，利用函数单调性得，即，代入原式即可求出. 【详解】令，易知在上单调递增. 由，得. 对变形，设，则. 代入得，即. 因为单调递增，函数值相等则自变量相等，所以. 即，也就有. 结合，替换得. 【考法预测1】（2026·江苏·模拟预测）直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，则当矩形的面积为时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数与直线的交点，求出交点的x轴之间的关系，再运用矩形的面积公式，求出结果. 【详解】由题意可得， 设函数与直线的交点为， 则，则，同理，则， 又因为，， 解得，设， 则，故，代入点坐标得， 化简得，解得，故. 【考法预测2】（2026·山东潍坊·一模）若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 要使条件①成立，则必须保证当时，恒成立， 又在上单调递增，故，. 时，，要使条件②成立，这必须保证在区间有解. 即成立，，又在上单调递增，. 综上，的取值范围是. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】要使不等式在时恒成立. 即函数的图像在内恒在函数图像的上方，而的图像过点. 由图可知，，显然这里， 所以函数递减. 又，所以，又，所以. 所以所求实数的取值范围为. 考点14 反函数 典例1．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 【考法预测1】函数的图象向左平移3个单位长度得到函数的图象，若函数、的图象关于直线对称，则此时______，______． 【答案】 ，. 【分析】由图象平移写出，根据指对数函数的关系及反函数的性质写出，即可得. 【详解】由题设，其图象关于直线对称后对应的函数为且. 故答案为：；， 【考法预测2】已知函数的反函数图象经过，则________；若在上单调递增，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由函数反函数的定义求解，将点代入即可；通过复合函数同增异减且定义域大于零求解即可. 【详解】函数的反函数经过点，得到，解得，故反函数； 令，则在上单调递增， 需满足在上单调递增，且， 由，因为，所以， 所以，所以， 的对称轴为，所以，即，所以且， 解得或， 综上m的取值范围是， 故答案为：； 【考法预测3】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·广东广州·三模）若，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由，得，所以． 2．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 3．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 4．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 5．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】的定义域是， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，CD选项错误. ，B选项错误. 故选：A 6．（多选）（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由判断D． 【详解】由于，则，，所以A，C正确； ，由A可知，所以此处等号不能取，所以，故B正确； ，D错误． 7．（多选）（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 【答案】CD 【分析】令，结合对数函数、二次函数和复合函数的性质即可得结果. 【详解】令，所以 . 由于在 上单调递减，在上单调递增，且是增函数， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 . 又关于对称，所以的图象关于直线对称 故选：CD. 8．（2026·河北沧州·三模）函数若，则________． 【答案】 【详解】已知分段函数，且. 结合分段函数性质可得或. 当时： 若，则，解得； 若，则，解得. 当时： 若，则，方程无解； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为，，. 9．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______. 【答案】 【分析】根据题意，由函数的图像和对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得在上单调递减，在上单调递增， 令，可得在上单调递增， 要使得函数单调递减，则满足或， 因为，解得或，所以函数的单调递减区间. 10．（2026·山东聊城·模拟预测）若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】满足底数且， 由，可得或，结合且，可得， 故由，可得，即，解得或， 故实数的取值范围是. 能力进阶 1．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于甲，由得，对于乙，由得，可知甲是乙的充分不必要条件． 2．（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 3．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 4．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 5．（2026·河北·模拟预测）称不等式的解集为函数的“大于点集”，则函数的“大于点集”为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域，在不同的范围求解的不等式，两个不同的范围取并集即可得到结果. 【详解】当时，，由，可得，即， 因为在上单调递减，所以，解得， 故此时； 当时，，由，可得，即， 因为在上单调递增，所以，解得或， 故此时， 综上可得，函数的“大于点集”为或. 6．（多选）（25-26高三上·山东烟台·期中）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 【答案】BC 【分析】根据对数函数、二次函数的性质研究的区间单调性及对称性、值域判断A、B、D，令，结合判别式求参数范围判断C. 【详解】由题设，且，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，若是的两个根，且，则上， 此时在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，在时在上单调递增，且其图象关于对称，A错误，B正确， 令，即， 若有两个零点，则，可得，C正确， 若的值域为，则，此时，D错误. 故选：BC 7．（多选）（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令，根据对数的运算性质可判断AB，利用作商法可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】令，则，，，. A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：，故；，故；从而，故C正确； D选项：由A知，则，故D正确. 故选：ACD. 8．（2026高三·全国·专题练习）若单调函数的图像过点，则函数的反函数的图像过点______． 【答案】 【详解】, 故的图像经过，因此其反函数的图像经过. 9．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为是上的偶函数，故对任意，恒成立， 所以，， 令，代入化简得得， 因此的解析式为. （2）由题意可得，易知在上单调递增， 因此不等式等价于. 令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得， 由基本不等式得， 当且仅当取最小值，因此，即. （3）对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值. 因为单调递增，故，因此存在，使得， 即，开口向上，对称轴， 若，，得； 若，，恒成立； 若，，结合恒成立. 综上得，即. 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 7．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 对数与对数函数 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 对数的概念及运算 知识2 对数函数 知识3 反函数 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 指数式与对数式的互化 考点08 对数型复合函数的单调性 考点02 对数的运算 考点09 对数型复合函数的值域 方法技巧 对数运算的常用方法与技巧 方法技巧 对数型复合函数的解题策略 考点03 对数函数的图像 考点10根据单调性求参数 方法技巧 对数函数图象的识别及应用方法 考点11根据值域（最值）求参数 考点04 对数函数过定点问题 考点12 解对数不等式 考点05 对数函数的的定义域与值域 方法技巧 解对数不等式的两种类型及方法 考点06 比较对数式的大小 考点13对数函数模型的应用 方法技巧 对数式比较大小的技巧 考点14 对数函数的综合问题 考点07 对数函数的单调性 考点15 反函数 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 对数的运算 北京卷T13 北京卷T9 全国I卷T6，北京卷T7 对数函数的图像 全国I卷T8 对数函数的性质 北京卷T5 全国Ⅱ卷T8， 比较大小问题 天津卷T6 天津卷T5，北京卷T9 考情解读 对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度不大. 备考策略 在一轮复习备考中，要注意对数化简运算、复合对数函数性质分析、含对数不等式求解侧重强化性质的综合灵活运用。 知识・归纳梳理 知识1 对数概念及运算 1.对数的概念 一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数，记作 .  以e为底的对数叫做自然对数，记作 .  2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1= ，logaa= ，= (a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)= ； ②loga= ； ③logaMn= (n∈R). (3)对数换底公式：logab=(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 知识2 对数函数 (1)概念：一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 性质 过定点 ，即x=1时，y=0 当x>1时， ；当0<x<1时， 当x>1时， ；当0<x<1时， 函数 函数 必记结论 1.掌握三个对数函数图象的特点 (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交. (2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的大致图象. (3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b. 2.谨防两个易误点 (1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.当底数a的范围不明确时，研究函数的单调性、最值时必须分0<a<1和a>1两种情况讨论. (2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化. 知识3反函数 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称. 重难・核心突破 考点01 指数式与对数式的互化 典例1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________． 【考法预测1】（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考法预测3】（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 考点02 对数的运算 典例1．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考法预测1】（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 【考法预测4】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 方法技巧 对数运算的常用方法与技巧 (1)将指数式与对数式进行互化，构造同底数的对数或指数式． (2)逆用对数的运算性质，将同底数对数的和、差、倍数化简合并． (3)当对数的底数不同但真数相同时，可以取倒数，将其化为同底数的对数再进行运算． (4)通过换底公式的运用，转化对数的底数，再进行化简合并． 考点03 对数函数的图像 典例1．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【考法预测2】（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（多选）（25-26高三下·重庆·开学考试）若（，且），则函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象向______平移______个单位． 方法技巧 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 考点04 对数函数过定点问题 典例1．（2026高三·全国·专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 【考法预测1】已知且，则函数的图象经过定点________． 【考法预测2】幂函数没有零点，则函数恒过定点___________ 【考法预测3】已知函数（，且）的图象经过定点，则函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 考点05 对数函数的的定义域与值域 典例1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 典例2．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 考点06 比较对数式的大小 典例1．（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·天津红桥·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 考点07 对数函数的单调性方法技巧 比较对数式大小的策略 典例1．下列函数中，在其定义域内是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【考法预测2】（2026·辽宁抚顺·一模）设函数，若，则与0的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【考法预测3】（25-26高三上·江苏盐城·期末）若定义在上的减函数满足，请写出满足条件的一个函数___________． 考点08 对数型复合函数的单调性 典例1．（多选）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在定义域上是增函数 D．在定义域上是减函数 【考法预测1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】函数的单调递增区间是______． 【考法预测3】（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 考点09 对数型复合函数的值域 典例1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是__________. 【考法预测1】（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 【考法预测2】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 方法技巧 对数型复合函数的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 考点10根据单调性求参数 典例1．函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数 在 单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点11根据值域（最值）求参数 典例1．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】若函数在区间上的最大值比最小值大1，则实数______ 【考法预测2】已知函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为______． 【考法预测3】设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值． 考点12 解对数不等式 典例1．（2026·山东·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【考法预测2】（2026·辽宁大连·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 方法技巧 解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论 logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解 考点13对数函数模型的应用 典例1．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【考法预测1】（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 【考法预测3】（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 考点14 对数函数的综合问题 典例1．（2026·安徽·模拟预测）已知 ,则 （     ） A．40 B．32 C．72 D．64 【考法预测1】（2026·江苏·模拟预测）直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，则当矩形的面积为时，的值为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·山东潍坊·一模）若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 考点14 反函数 典例1．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】函数的图象向左平移3个单位长度得到函数的图象，若函数、的图象关于直线对称，则此时______，______． 【考法预测2】已知函数的反函数图象经过，则________；若在上单调递增，则m的取值范围是________． 【考法预测3】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·广东广州·三模）若，则（     ） A． B． C．1 D．2 2．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数 ，则（    ） A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．的最小值为 D．的图象关于直线对称 8．（2026·河北沧州·三模）函数若，则________． 9．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______. 10．（2026·山东聊城·模拟预测）若，则实数的取值范围是__________. 能力进阶 1．（2026·湖南·一模）设甲：函数有意义，乙：函数有意义，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 2．（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北·模拟预测）称不等式的解集为函数的“大于点集”，则函数的“大于点集”为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（多选）（25-26高三上·山东烟台·期中）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．若有两个零点，则 D．若的值域为，则 7．（多选）（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）若单调函数的图像过点，则函数的反函数的图像过点______． 9．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $