辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高二下学期7月周考1数学试题

**基本信息** 聚焦函数、导数等核心知识，通过人工智能成本优化等真实情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配周测诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|充分必要条件、幂函数性质、函数零点|第8题函数零点问题，结合单调性分析考查数学抽象| |多选题|3/18|函数最值、二分法、零点综合|第11题函数对称性与零点关系，体现逻辑推理严谨性| |填空题|3/15|分段函数、幂函数不等式、切线方程|14题曲线切线交汇，考查数学运算与几何直观| |解答题|5/77|数列求和、导数应用、成本优化|17题数字经济情境下成本利润计算，落实数学建模；19题零点证明与数列单调性分析，凸显创新意识|

7月周考1 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.“”是“”的    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2.已知命题，；命题，则    A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3.若，则下列不等式不能成立的是(    ) A. B. C. D. 4.已知幂函数 的图象过点 ，则下列说法错误的是     A.  的解析式是 B.  为偶函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 D.  在 上单调递减 5.已知函数，下面说法错误的是     A. 的图像关于原点对称 B. 的图像关于 y轴对称 C. 的值域为 D. ，且 6.定义设，则(    ) A. 有最大值，无最小值 B. 当，的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 7.已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数k的取值范围是(    ) A. B. C. D. 以上都不对 8.若函数有4个零点，则正数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列四个函数中，最小值为2的是(    ) A. B. C. D. 10.下列函数中，有零点且能用二分法求函数零点的有(    ) A. B. C. D. 11.已知函数，的零点分别为，，给出以下结论正确的是        A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.已知函数则          . 13.已知幂函数是奇函数，则不等式的解集为          . 14.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则          . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.已知数列的前n项和为，且 求数列的通项公式； 若等比数列满足，，求数列的前n项和 16.设函数，函数的图象与的图象关于对称. 求的解析式; 是否存在实数，使得对，不等式恒成立?若存在，求出m的值或取值范围;若不存在，说明理由. 17.数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本单位：万元由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. 该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ 若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润=售价销量-成本. 18.已知函数， 若，求曲线在处的切线方程； 求函数的单调增区间； 若存在极大值点，求证： 19.已知函数 若，讨论的零点的个数; 若a为正整数n，记此时的唯一零点为，证明： ⅰ数列是递增数列; ⅱ 答案和解析 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】B  6.【答案】B 7.【答案】A 8.【答案】A  【解析】解：函数，在上单调递增，则函数在上单调递增，而，，则存在，使得， 函数在上有1个零点，由函数有4个零点，则函数在有3个零点，由，，得，则， 解得，所以正数的取值范围是 9.【答案】AD  【解析】对于A，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，符合题意； 对于B，因为，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为6，不符合题意； 对于C，，设，则，则，其最小值不是2，不符合题意； 对于D，，当且仅当时取等号，故的最小值为2，符合题意. 10.【答案】AC  【解析】B中，，且，在零点两侧函数值不变号，不能利用二分法求函数零点；D项中无零点；  选项A，C中存在变号零点，可用二分法求解． 11.【答案】ABC  【解析】【解答】 解：由函数得，所以的图象关于直线对称， 又函数和的图象也关于直线对称， 所以是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，且两个交点关于直线对称，因此已知，， 又，，即， 因而A、B均正确； 又，当且仅当即时等号成立， 但，因而，上式等号不成立，所以，C正确； 记，， 因此，而函数在区间范围内单调递增， 所以，所以D错误． 12.【答案】  【解析】解：因为，，所以 13.【答案】  【解析】由题意知，得，解得或，当时，为偶函数，不符合题意;当时，为奇函数，符合题意.其大致图象如图所示， 由图象知，当时，且单调递减;当时，且单调递减. 当即时， 由，得，解得，此时 当时，a不存在; 当即时，根据，，得不成立，此时a不存在; 当即时，，，此时恒成立，所以 综上，不等式的解集为 14.【答案】1  【解析】由，得，， 故曲线在处的切线方程为 由，得， 设直线与曲线相切于点， 则，解得， 则切点为，代入切线方程得，解得 15.【答案】解：因为在数列中，， 当时，，两式相减得，即， 当时，，符合上式，所以； 由知，，，因为数列是等比数列，设公比为q， 所以，所以，所以， 所以……   16.【答案】解因为函数的图象与的图象关于对称， 所以与互为反函数.因为，所以 不等式恒成立，即恒成立，令， 则关于t的不等式，即在上恒成立.令，，因为，所以在上单调递增，依题意只需，解得， 所以故存在实数，使得对，不等式恒成立，此时m的取值范围为 17.【答案】解：设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元; 设月利润为W万元，则有， 由题知，整理得，解得， 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18.【答案】解：当时， 得， ，，  切线方程为，即； 函数定义域为，求导得， ① 时，解得或，故单调增区间为和， ②当时，，故单调增区间为， ③当时，解得或，故单调增区间为和 综上：①时，单调增区间为和，②时，单调增区间为， ③时，单调增区间为和 由知 当时，函数在上递增，在上递减，在上递增，从而极大值点为，此时，；  当时，函数在上递增，在上递减，在上递增， 极大值点为， 此时，， 因，故，且，因此，又，故， 当时，在单调递增，此时无极值，不合题意; 综上，若存在极大值点，则  19.【答案】解：令，即，设因为， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，， 所以当时，在上有两个零点;当或时，有唯一零点; 当时，无零点. 证明：由知，当时，有唯一零点，则且， 两边取自然对数，得，①所以，②， ②-①，得，所以 因为函数在上单调递增，所以，所以数列单调递增. 先证明：时，③，设，则， 所以当时，，单调递减;当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立.由③式知，， 所以，所以， 所以 ③式中，令，得，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，，当且仅当时等号成立. 当时，在③式中，令，得， 所以时， 当时，成立.所以，得证.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $