第08讲 函数模型及其应用（9核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型及其应用专题，涵盖三种函数模型性质、常见函数模型及解题步骤等核心考点，按考情分析、知识归纳、重难突破、分层集训的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义融合数学眼光、数学思维、数学语言等核心素养，采用“四阶复习法”，如考点08函数模型选择中，引导学生根据实验数据抽象模型（数学眼光），通过典例推理适用场景（数学思维），结合分层练习提升建模表达（数学语言）。设置三层训练保障高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控节奏提供指导。

第08讲 函数模型及其应用 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 三种函数模型的性质 知识2 常见的函数模型 知识3 解函数模型的步骤 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01利用函数图象刻画实际问题的变化过程 考点06 对数函数模型应用 方法技巧判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 方法技巧 指数(对数)函数模型的应用技巧 考点02 二次函数模型应用 考点07 幂函数模型应用 考点03 分式函数模型应用 考点08 函数模型的选择问题 考点04 分段函数模型应用 考点09 构造函数模型解决实际问题 考点05 指数函数模型应用 方法技巧 建模解决实际问题的三个步骤 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 函数模型及应用 北京卷T13 上海卷T11，北京卷T9 北京卷T7 考情解读 本节内容在高考中主要考查建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)分析解决实际生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等问题．特别是与数学文化有关的问题，仍是高考考查的重要内容． 备考策略 高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，2027年高考可能结合函数与生活进行考查，考生需灵活运用函数模型解决各类实际问题． 知识・归纳梳理 知识1 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识2 常见的函数模型 1．一次函数模型 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 2．二次函数模型 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数，a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 3．幂函数模型 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 4．指数函数模型 指数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0). 5．对数函数模型 对数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0). 6．分段函数模型 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 7．“对勾”函数模型 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 知识3 实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 重难・核心突破 考点01 利用函数图象刻画实际问题的变化过程 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 【考法预测1】如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（    ） A．B． C． D． 【考法预测2】某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 【考法预测3】（多选）成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速.观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者（    ）    A．服了药物后心率会马上恢复正常 B．服药后初期药物起效速度会加快 C．所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期） D．一天需服用该药1至2次 方法技巧 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况. 考点02 二次函数模型应用 典例1．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【考法预测3】（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少? 考点03 分式函数模型应用 典例1．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【考法预测1】（多选）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 【考法预测2】某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【考法预测3】（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 考点04 分段函数模型应用 典例1．威宁草海国家级自然保护区是世界十大观鸟基地，被誉为“贵州旅游皇冠上的一块蓝宝石”；有“高原明珠”、“鸟类王国”等美誉，推广旅游文化的传统工艺种类繁多，文化内涵丰富.其中有一家声名远扬的传统手工艺制作工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂.该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为9万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为12元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件，问题： (1)当工厂生产2万件时，求工厂的利润（利润销售收入总成本）； (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（   ） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完 (1)写出年利润W（x）万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【考法预测3】2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 考点05 指数函数模型应用 典例1．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 【考法预测1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程与行驶总时间满足函数关系．该车先匀速行驶，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按衰减（为匀速后的剩余续航，为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·浙江·模拟预测）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·安徽·三模）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 考点06 对数函数模型应用 典例1．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【考法预测1】（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【考法预测2】（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 【考法预测3】（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 方法技巧 指数(对数)函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 考点07 幂函数模型应用 典例1．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考法预测1】遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【考法预测2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 考点08 函数模型的选择问题 典例1．（25-26高三上·上海黄浦·期中）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【考法预测1】为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y（米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①；②；③；④中（其中a为正的常数），生长年数与树高的关系拟合最好的是_______（填写序号），估计该树生长8年后的树高为_______米． 【考法预测2】（多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），以下说法正确的是（    ） A．当x>1时，乙走在最前面 B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 【考法预测3】舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 考点09构造函数模型解决实际问题 典例1．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【考法预测1】新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮（如图示），其总高度165米，直径150米，匀速旋转一圈所需时间为40分钟．已知摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，．而点的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度（米）关于时间（分钟）的函数解析式________． 【考法预测2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为，整个矩形版面的面积为. (1)试用的代数式表示； (2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到） 【考法预测3】数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 方法技巧 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中，得到实际问题的解．即： 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026高三·全国·专题练习）一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的______. 2．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 3．如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高三上·北京石景山·期末）某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（    ）（参考数据：） A．6.403 B．6.463 C．6.503 D．6.523 5．（2026·重庆渝中·模拟预测）某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实验测得，该材料在自然环境下的质量（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式，其中为初始质量，为一个大于1的常数，已知该材料在第10天时，其质量的常用对数值（以10为底）比初始质量的常用对数值小0.15，若要将材料质量降解至初始质量的，至少需要经过（   ）天 A．198天 B．199天 C．200天 D．201天 6．（多选）（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 7．（多选）（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（   ） 参考数据：，，. A．当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25% B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm C．在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20% 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）开学后，朱老师打算用1000元压岁钱购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益（注意收益不含本金）约为_________元．（精确到整数） 9．（2026高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量（千克）随时间（天）变化的函数图像如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知某物体的温度（单位：摄氏度）随时间（单位：分钟）的变化规律是（，并且）. (1)如果，求经过多长时间，物体的温度为摄氏度； (2)若物体的温度总不低于摄氏度，求的取值范围. 能力进阶 1．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·模拟预测）某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（    ）（参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 3．（2026·江苏南通·模拟预测）模型在金融、物理等方面具有重要应用．进行正态分布的合理调整之后，可得一种模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期．已知，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 4．如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．  B．    C．   D．   5．（2026·安徽·模拟预测）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2025·广西·模拟预测）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（    ） A．过定点 B．在污染物浓度区间上单调递增 C．关于对称 D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大 7．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 8．（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 真题实战 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 函数模型及其应用 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 三种函数模型的性质 知识2 常见的函数模型 知识3 解函数模型的步骤 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01利用函数图象刻画实际问题的变化过程 考点06 对数函数模型应用 方法技巧判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 方法技巧 指数(对数)函数模型的应用技巧 考点02 二次函数模型应用 考点07 幂函数模型应用 考点03 分式函数模型应用 考点08 函数模型的选择问题 考点04 分段函数模型应用 考点09 构造函数模型解决实际问题 考点05 指数函数模型应用 方法技巧 建模解决实际问题的三个步骤 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 函数模型及应用 北京卷T13 上海卷T11，北京卷T9 北京卷T7 考情解读 本节内容在高考中主要考查建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)分析解决实际生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等问题．特别是与数学文化有关的问题，仍是高考考查的重要内容． 备考策略 高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，2027年高考可能结合函数与生活进行考查，考生需灵活运用函数模型解决各类实际问题． 知识・归纳梳理 知识1 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识2 常见的函数模型 1．一次函数模型 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 2．二次函数模型 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数，a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 3．幂函数模型 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 4．指数函数模型 指数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0). 5．对数函数模型 对数函数模型：(a,b,c为常数，a>0，且a≠1，b≠0). 6．分段函数模型 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 7．“对勾”函数模型 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 知识3 实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 重难・核心突破 考点01 利用函数图象刻画实际问题的变化过程 典例1．（25-26高三·全国·一轮复习）所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 【答案】D 【分析】先逐一分析各事件对应的距离和时间的关系，找出与之相对应的图象，再根据事件的顺序对相应的图象进行排序，从而判断选项． 【详解】事件(1)：离开家返回家找作业本上学，距离变化为“上升下降为0保持为0上升”，对应图象为④； 事件(2)：匀速行驶堵车继续匀速行驶，距离变化为“匀速上升水平不变匀速上升”，对应图象为①； 事件(3)：缓缓加速，速度逐渐增大，距离关于时间的曲线斜率（速度）递增，对应图象为②； 综上，与所给3件事吻合最好的顺序为④①②，故D正确． 故选：D． 【考法预测1】如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合选项判断得解. 【详解】观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变， 选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求. 故选：D 【考法预测2】某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项． 【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大， 从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变， 是常数，该常数为2，只有D满足， 故选：D． 【考法预测3】（多选）成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速.观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者（    ）    A．服了药物后心率会马上恢复正常 B．服药后初期药物起效速度会加快 C．所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期） D．一天需服用该药1至2次 【答案】BCD 【分析】由函数图象对选项逐一判断． 【详解】对于A，服药后2小时心率恢复正常，故A错误， 对于B，服药后初期心率下降速率增大，故B正确， 对于C，服药15小时后心率开始回升，故C正确， 对于D，服药22小时后心率过速，需再次服药，故D正确， 故选：BCD 方法技巧 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况. 考点02 二次函数模型应用 典例1．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【分析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，所获利润分别为万元、万元，可设，.过点，将此点代入函数得到，从而得到的表达式，过点，将此点代入函数得到，从而得到的解析式； （2）（ⅰ）根据和的解析式求出，，从而得到总利润的值； （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元.则，.令，，从而得到关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质得到该企业获得的最大利润. 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 【考法预测3】（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少? 【答案】每杯咖啡的销售价为25元时，最大销售额是3125元. 【分析】 设销售价为元，销售额为元，写出关于的函数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设销售价为元，销售额为元， 则，当元时，元， 所以当每杯咖啡的销售价为25元时，最大销售额是3125元. 考点03 分式函数模型应用 典例1．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【考法预测1】（多选）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得，当时代入函数解析式即可判断；对于B，分两种情况求解即可；对于C，当时，由基本不等式即可求解；对于D，因为，结合函数解析式利用不等式即可求解最小值，判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，当时，， 当10时，，当时，，故A正确； 对于B，当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 综上所述，， 若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确； 对于C，当时， ， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以有最小值， 所以接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确. 故选：. 【考法预测2】某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【分析】根据题意建立楼房每平方米的平均综合费用的函数关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 【考法预测3】（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)，59000元 【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围； （2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出. 【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 考点04 分段函数模型应用 典例1．威宁草海国家级自然保护区是世界十大观鸟基地，被誉为“贵州旅游皇冠上的一块蓝宝石”；有“高原明珠”、“鸟类王国”等美誉，推广旅游文化的传统工艺种类繁多，文化内涵丰富.其中有一家声名远扬的传统手工艺制作工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂.该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为9万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为12元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件，问题： (1)当工厂生产2万件时，求工厂的利润（利润销售收入总成本）； (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【答案】(1)5万元 (2)应生产12万件，最大利润41万元. 【分析】（1）将，代入求解； （2）根据利润为，分和，分别求得最大值，再取最大的求解. 【详解】（1）设利润为万元， 当工厂生产2万件时，， 则工厂利润为：万元； （2）当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产12万件，最大利润41万元. 【考法预测1】（25-26高三·全国·一轮复习）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（   ） A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 【答案】ABC 【详解】由题意可知，所以即，. 由题意可知当时，失去的新鲜度小于，没有超过. 当时，则有即，所以， 所以，解得． 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完 (1)写出年利润W（x）万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元． 【详解】（1）由题意知，当时，， 当时，， 所以年利润为． （2）当时，， 所以时，年利润取得最大值为万元； 当时，，当且仅当，即时等号成立， 此时年利润的最大值为万元． 综上知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元． 【考法预测3】2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)， (2)5. 【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得； （2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论. 【详解】（1）∵，即， ∵函数图象是连续不断的， ∴， 解得. （2）由（1）知， 则， 当时，，当且仅当，即时取等号. 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值， ∴， ∵，即， ∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 考点05 指数函数模型应用 典例1．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解. 【详解】设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为， 得，即，设实际年平均增长率为， 由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得， 即，因此2033年工厂的实际年产值为. 【考法预测1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程与行驶总时间满足函数关系．该车先匀速行驶，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按衰减（为匀速后的剩余续航，为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再令，从而可得所求时间. 【详解】因为为匀速后的剩余续航，所以， 令，即，，故； 当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为. 【考法预测2】（2026·浙江·模拟预测）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，得， 两边同时取对数得，，解得，则， 令，得，两边同时取对数得，， 所以. 【考法预测3】（2026·安徽·三模）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据每日最大涨幅列出个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参考数据计算，得到的最小正整数值. 【详解】要让最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的倍）， 因此天后的价格满足不等式化简得， 两边取常用对数，得 因为， ， 所以， 因为是正整数，所以的最小值为. 考点06 对数函数模型应用 典例1．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 【考法预测1】（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【分析】设原强度、新强度,代入分贝公式拆分对数，利用已知和计算,得结果. 【详解】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 【考法预测2】（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 【答案】C 【分析】由题意可得，将代入，解得，再将代入，由求解即可. 【详解】因为，所以当时，， 即，解得，即， 所以，所以， 所以，解得， 所以训练到第47轮就要对模型调整. 【考法预测3】（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【答案】C 【详解】对于A，令，则摩尔/升，故A错误； 对于B，胃酸的，故B错误； 对于C，当摩尔/升时， 根据可得当越大时，越小，故酸性越大，故C正确； 对于D，当摩尔/升时， 根据可得若溶液的碱性越大，则越大，故越小， 故D错误. 方法技巧 指数(对数)函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 考点07 幂函数模型应用 典例1．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 【考法预测1】遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 【考法预测2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 【考法预测3】某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年平均增长率的意义列方程即可. 【详解】根据题意列方程：. 故选：C 考点08 函数模型的选择问题 典例1．（25-26高三上·上海黄浦·期中）研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】(1)模型②，且 (2) (3) 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数图象性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温． 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则， 即，可得， 所以且； （2）令， 则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为； （3）由，即，所以进行实验时的室温约为 【考法预测1】为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）与树高y（米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①；②；③；④中（其中a为正的常数），生长年数与树高的关系拟合最好的是_______（填写序号），估计该树生长8年后的树高为_______米． 【答案】 ② 【分析】根据散点图的走势，由基本常见初等函数模型判断①不合适，再代值可得； 【详解】由散点图的走势，知模型①③不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②；③；④，当时，代入④中，得，与图不符，易知拟合最好的是②，将代入②式，得（米）． 故答案为：②； 【考法预测2】（多选题）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），以下说法正确的是（    ） A．当x>1时，乙走在最前面 B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 【答案】BCD 【分析】取特值验证命题A；对数型函数的变化是先快后慢，当时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体判断C；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题D正确． 【详解】， 相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型． 当时，∴A不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢， 当时，甲、乙、丙、丁四个物体又重合， 从而可知当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，B正确； 指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长， 最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴D正确； 结合对数型和指数型函数的图象变化情况， 可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确． 故选: BCD 【考法预测3】舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论； （2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测； （3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果. 【详解】（1）③； 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③； （2）将表格数据代入，得，， 解得， 故函数为， 则第4天时的舆论场指数为. （3）若本次舆情不是严重的，则恒成立， 原式等于，故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式等于，整理得， 由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可， 代入得，解得， 故的最小值为. 考点09构造函数模型解决实际问题 典例1．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 【考法预测1】新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮（如图示），其总高度165米，直径150米，匀速旋转一圈所需时间为40分钟．已知摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，．而点的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度（米）关于时间（分钟）的函数解析式________． 【答案】 【分析】先根据摩天轮的总高度和直径求出和的值，再根据旋转一圈所需时间求出的值，最后根据起始位置求出的值，进而得到函数解析式. 【详解】已知摩天轮直径为150米，那么振幅为半径，即米. 因为摩天轮总高度165米，摩天轮最低点距离地面的高度为总高度减去直径，即米，摩天轮中心距离地面的高度为米，所以米.   已知摩天轮匀速旋转一圈所需时间为40分钟，根据周期的定义，这里分钟. 由三角函数周期公式可得. 将代入上式，解得.   因为点的起始位置在摩天轮的最低点处，当时，取最小值. 对于函数，当时，取最小值. 把，，代入得，化简可得. 又因为，所以.   得到高度关于时间的函数解析式为. 故答案为：. 【考法预测2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为，整个矩形版面的面积为. (1)试用的代数式表示； (2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用表示，相乘即可得到结果； （2）利用基本不等式取等条件可求得结果. 【详解】（1），， . （2）（当且仅当，即时取等号）， 当时，整个版面的面积最小. 【考法预测3】数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)100个，30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 方法技巧 建模解决实际问题的三个步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型． (2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解． (3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中，得到实际问题的解．即： 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026高三·全国·专题练习）一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V，则函数的大致图像可能是图中的______. 【答案】② 【详解】由题意，水深越深，水的体积越大，排除①，③， 水深由0到时，水深增大时，体积增加的速度越来越快， 水深由到时，水深增大时，体积增加的速度越来越慢，可排除④. 2．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 3．如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解. 【详解】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为， 设所建造的禽舍总面积为， 则， 所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值. 故选：D. 4．（25-26高三上·北京石景山·期末）某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（    ）（参考数据：） A．6.403 B．6.463 C．6.503 D．6.523 【答案】B 【分析】由，列式运算求得的值. 【详解】根据题意得，则， 得. 故选：B. 5．（2026·重庆渝中·模拟预测）某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实验测得，该材料在自然环境下的质量（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式，其中为初始质量，为一个大于1的常数，已知该材料在第10天时，其质量的常用对数值（以10为底）比初始质量的常用对数值小0.15，若要将材料质量降解至初始质量的，至少需要经过（   ）天 A．198天 B．199天 C．200天 D．201天 【答案】C 【分析】根据题意，先求出，再根据，解出即可． 【详解】解：， ， 解得，则， ， ，解得． 6．（多选）（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断. 【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 7．（多选）（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（   ） 参考数据：，，. A．当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25% B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm C．在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20% 【答案】ACD 【分析】根据给定的指数函数模型，结合各项的描述依次分析正误. 【详解】由题设， 当，则，故， 所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%，A对， 当，则，即，可得，B错， 原淋溶深度，则，故增加1后有， 所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半，C对， 当，，则，故，D对. 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）开学后，朱老师打算用1000元压岁钱购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益（注意收益不含本金）约为_________元．（精确到整数） 【答案】 【详解】10个月后能获得的收益为：元. 9．（2026高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量（千克）随时间（天）变化的函数图像如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 【答案】 【分析】利用待定系数法先求出前10天的解析式，然后令，即可求出12月26日卖出西红柿的数量. 【详解】前10天满足一次函数关系，设为， 将点和点代入函数解析式得， 解得，，所以， 则当时，． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知某物体的温度（单位：摄氏度）随时间（单位：分钟）的变化规律是（，并且）. (1)如果，求经过多长时间，物体的温度为摄氏度； (2)若物体的温度总不低于摄氏度，求的取值范围. 【答案】(1)分钟 (2) 【分析】（1）将，代入方程，解指数方程即可求出的值； （2）问题等价于恒成立，令，则恒成立，求出的最大值，即可求出的范围． 【详解】（1）若，则， 当时，，令，则， 即，解得或（舍去），此时， 所以经过分钟，物体的温度为摄氏度. （2）物体的温度总不低于摄氏度，即恒成立， 即恒成立，亦即恒成立. 令，则，∴恒成立，由于， 可得， 因此，当物体的温度总不低于摄氏度时，的取值范围是. 能力进阶 1．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断ACD，再由选项B中函数的性质判断后可得． 【详解】对于A，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故A错误； 对于C，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合，故C错误； 对于D，对数函数模型在时没有意义，故D错误； 对于B：在定义域上单调递增，且增长速度越来越慢， 符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义，故B正确． 故选：B． 2．（2026·福建厦门·模拟预测）某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（    ）（参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【详解】由题意可得，又， 两式相除可得，两边取对数可得， 所以，所以. 3．（2026·江苏南通·模拟预测）模型在金融、物理等方面具有重要应用．进行正态分布的合理调整之后，可得一种模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期．已知，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】将已知参数代入定价公式，推导执行价格与有效期的关系，结合的条件计算的值. 【详解】将，代入定价公式得： ， 化简得： ，整理得（）. 当时，；当时，； 又，所以，即，所以， 因此. 4．如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．  B．    C．   D．   【答案】A 【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可. 【详解】根据题意可知在梯形中，； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积， 即； 所以可得； 根据函数类型对比图象可得A正确. 故选：A 5．（2026·安徽·模拟预测）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为贮存费为，且订货费为，所以总费用为，易知每天所需平均成本费用为. 设，. 令，解得. 又因为，单调递减，，单调递增. 所以时最小. 6．（多选）（2025·广西·模拟预测）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（    ） A．过定点 B．在污染物浓度区间上单调递增 C．关于对称 D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大 【答案】AB 【分析】对于A，令，可求得定点，即可判断A；对于B，对求导，判断导函数在时的正负，即可判断B；对于C，由B即可判断；对于D，以a为自变量构造新函数，求导，判断单调性即可． 【详解】解：对于A，在中，令，则，所以过定点，故A正确； 对于B，因为 则注意到当，， 则在上单调递增，故B正确； 对于C，由B选项知为单调递增函数，故不存在对称轴，故C错误； 对于D，以a为自变量，设为， 则 ，因为，故， 所以的正负取决于，当时 ，即当时，随着a的增大，减小，故D错误 故选： 7．（2026·北京·三模）海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出，再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长. 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 8．（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 【答案】(1)时，最大值 (2) 【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值； （2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解. 【详解】（1）时，， 则小白鼠血液中药物的浓度， 当时，， 当即时，； 当时，， 当即时，， 由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到. （2）. 当时，可得， 在时单调递减， 则； 当时，可得， ， 则当，即时，， 又，. 真题实战 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大.    故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $