专题02 勾股定理中的翻折模型（几何模型讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题02.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 10 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 17 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，，∴， 解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平分BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平分BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平分BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平分BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（23-24八年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴轴，轴，， ∴轴，，∴ 由折叠可得，， ∴，∴，设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：，∴；故答案为：． 例2（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 【答案】3 【详解】解：长方形纸片沿折叠，∴， ∵在长方形纸片中，，，∴， ∴，∴，设，∴， ∴，解得：，∴；故答案为：3． 例3（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点D落在点处， (1)求证：；(2)求重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由题意得，， 由折叠的性质可得，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得：，∴，解得， ∴，∴． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（24-25八年级上·河北保定·期中）如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【详解】∵四边形是长方形，∴，，∴， ∵将长方形沿直线折叠，∴， ∴∵∴∴， ∴，∴阴影部分的面积：，故选：C． 例2（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接．∵四边形是长方形， ∴．根据题意，，． ∵，∴，∴，∴垂直平分，∴． ∵，，，∴，∴． 在中，，在中，． ∵，∴，∴，解得．故答案为：． 例3（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：当时，如图：， 长方形沿折叠，使点落在点处， ，，∴，    当时，如图：在中，，，， 长方形沿折叠，使点落在点处，，，， 点、、共线，即点在上，， 设，则，，在中，， 即：，解得，∴，∴，故答案为：或． 例4（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：；(2)求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：四边形是长方形，． 由折叠的性质可知． 在和中； （2）解：，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，，解得，的长为． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵是中点，∴，由折叠的性质得到：， 设，∴，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 例2（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据折叠可得，，∴设，则， 在中，，∴，整理得，，解得，，∴， ∴，∴的面积为，故选：D ． 例3（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)的长为． 【详解】（1）证明：四边形是长方形，， 由折叠知，，， ，， 在和中，，； （2）解：如图，过点F作交于G， 又，∴四边形是矩形，，， 在中，，，， 设，则， ，，， 在中，，，即，解得：， ．的长为． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【详解】解：在中，，，，∴， 设，则，由折叠得，，∴， 在中，，∴，解得，，∴，故选：C． 例2（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵，，，∴， ∵将沿翻折，点A落在上，∴，，， ∴，∴， ∴，解得，故选：A． 例3（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于， 将沿直线翻折，，，， ，，，，，， ，， ，， ，，，，故答案为：． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：，，，，∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合．∴， 设，则，在中，由勾股定理得，， ∴，解得：，∵，∴，故选：B． 例2（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 【答案】 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴， ∵D为中点，∴，∴， ∵，即，∴，即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 例3（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，过作于，∵，，， ∴由勾股定理得，由折叠可得，与全等，    ∵的面积是面积的一半，， ∴的面积是面积的一半，，∴F是的中点，∴ 又∵是的中点，∴，即是的中点， 又∵，∴，∴， 又∵，∴中，，故选：A． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上，∴，，则， 根据勾股定理，得，解得，则，故选：D． 例2（2025·吉林四平·二模）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵点恰好落在边中点处，，∴，， ∵，，，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 例3（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长；(2)求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，是的中点，∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴，设，则， 在中，由勾股定理得，∴，解得，∴． 1．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（　　）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】解：根据折叠可知， ，在中，，，， ，故选：C． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，． 由折叠的性质得，．故选：B 3．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：，∴．根据翻折可得：， 设，∴，在直角三角形中，根据勾股定理可得，解得：． 在直角三角形中，由勾股定理可得：．故选A． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【详解】解：设，根据折叠的性质得，∴， ∵根据勾股定理，得，∴，解得，∴， ∴阴影部分的面积．故选：D． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】∵四边形是长方形，，， 由折叠的性质得：，，， 设，则，在中，， 即，解得：，则， 则．故选B． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在矩形中，，，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形，∴，，， 设，则，由折叠性质可知，，， 在中，，∴，∴， 在中，，即，解得∶ ．∴．故选∶D． 7．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠可得：，，， ，，故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中，，，，由勾股定理可得， 将边沿翻折，使点落在上的点处，，，， ，，在中，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，，， ，， 又，，， ，，故选：B． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 【答案】// 【详解】解：在中，，，，， ，，根据折叠的性质可知，， ，在中，， ， ，，，故答案为：． 10．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，中，，，，点是边上一动点，将沿边翻折得到，当与的重叠部分为直角三角形时，则的长是 ． 【答案】4或 【详解】解：∵中，，，，∴， 由折叠的性质可得：，，∵与的重叠部分为直角三角形， ∴如图，当重叠的部分为直角，且， ∵，∴，∴， ∴，，设，则，， 由勾股定理可得：，∴，解得：，此时， 如图：当重叠的部分为直角，且，此时， 综上所述，的长是4或，故答案为：4或． 11．（2024·辽宁·模拟预测）如图，将沿直线翻折得到，交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】∵沿直线翻折得到，∴，，∴， 在中，，，∴， ∵的面积为，为中点，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 12．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【详解】连接，如图∵沿直线翻折后点A落在点E处，∴，，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，在中，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴． 13．（24-25·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE， ∵，∴，∴， ∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B， ∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：． 14．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ； 【答案】 【详解】解：如下图所示，设，，，根据折叠的性质可得：， 在中，,，解得：故答案为： ． 15．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【详解】解：设，则，四边形是长方形，，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为，故答案为：． 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，矩形中，，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点的对应点为． （1）若点落在边上，则 ．（2）若，则线段的长为 ． 【答案】 2 10或． 【详解】解：（1）设，则， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ，，，解得，故答案为：2． （2）当点在射线内侧时，矩形中，，，沿翻折，点的对应点为，，，，， 是等边三角形，； 当点在射线外侧时，矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ∴，，，，， ∵∴∴， ∵∴是等边三角形∴，， ，；故答案为：10或． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在四边形中，，，．已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长 ． 【答案】16或4 【详解】解：如图1，点在线段的延长线上， ，，， ，∴，，由翻折得， ，，，； 如图2，点在线段上，，∴， ，由翻折得，，， ，，综上所述，的长为16或4， 故答案为：16或4． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，点是射线上一点，连接．将沿翻折至的位置，使点落在处． (1)若在边上，如图，当点落在边上时，________；(2)在（）的条件下，求的长； (3)若在延长线上，利用图探索当为直角三角形时的长，并直接写出结果________． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：由折叠可得，，∵四边形是长方形，∴， ∴，故答案为：； （2）解：∵四边形是长方形，∴，，， ∵，∴，由折叠得，， 设，则，在中，， ∴，解得，∴的长为； （3）解：当时，如图，∵四边形是长方形，∴，∴， 由折叠得，， ，∴，， ∴点三点共线，∴； 当时，如图，∵四边形是长方形，∴， 又∵，∴点三点共线， 由折叠得，，， ∴，∴， ∵，∴，解得；综上，的长为或， 故答案为：或． 19．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且．(1)试说明：；(2)求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）解：因为四边形是长方形，，， 所以，，． 由翻折的性质，得，，，所以． 在和中，因为，，，所以，所以， 因为，，所以； （2）解：由（1）可知，设，则，， 所以，在中，根据勾股定理，得， 即，解得，所以． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践．课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． (1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； (2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； (3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 【答案】(1)(2)4(3) 【详解】（1）将沿直线折叠，点恰好与点重合， 故答案为： （2）点是的中点，， 将沿直线折叠，点落在的中点处， （3）平分， 由折叠可知：． 又， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 10 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 17 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平分BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平分BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平分BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平分BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平分BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平分BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的0 P-0直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（23-24八年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 例2（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 例3（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点D落在点处，(1)求证：；(2)求重叠部分的面积． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（24-25八年级上·河北保定·期中）如图所示，为长方形的边上的一点，将长方形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 例2（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 例3（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 例4（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：；(2)求的长． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 例2（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为．(1)求证：；(2)若，，求的长． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 例2（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 例3（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 例2（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 例3（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 例2（2025·吉林四平·二模）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 例3（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长；(2)求的长． 1．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（　　）    A． B．3 C． D．4 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点，则长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在矩形中，，，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 7．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 10．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，中，，，，点是边上一动点，将沿边翻折得到，当与的重叠部分为直角三角形时，则的长是 ． 11．（2024·辽宁·模拟预测）如图，将沿直线翻折得到，交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，若，，的面积为，则的面积为 ． 12．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 13．（24-25·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______． 14．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ； 15．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，矩形中，，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点的对应点为． （1）若点落在边上，则 ．（2）若，则线段的长为 ． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在四边形中，，，．已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长 ． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，点是射线上一点，连接．将沿翻折至的位置，使点落在处． (1)若在边上，如图，当点落在边上时，________；(2)在（）的条件下，求的长； (3)若在延长线上，利用图探索当为直角三角形时的长，并直接写出结果________． 19．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且．(1)试说明：；(2)求的长． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践．课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． (1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； (2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； (3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $