广东江门市新会区第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

**基本信息** 这份高二数学期末试卷聚焦概率统计、立体几何、解析几何核心内容，通过燃油价格调查等社会热点情境与椭圆向量综合问题，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|概率性质、抛物线准线、空间距离|基础概念辨析，如第1题概率性质判断| |多选题|3/18|抽样概率、数据方差、直线与圆位置关系|多角度辨析，如第10题直线过定点与圆公切线| |填空题|3/15|数列、向量夹角、双曲线轨迹|简洁计算，如第14题双曲线轨迹方程| |解答题|5/77|圆的切线与弦长、统计频率与概率、立体几何面面垂直与二面角、椭圆方程与面积最值、椭圆与向量综合|情境化与综合性，如第16题燃油价格调查统计分析，第19题椭圆与斜率之积、向量关系综合应用|

2025-2026学年高二数学第一学期期末考试 一、单选题:本共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列结论正确的是(　　) A．对事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1 B．若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件 C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效可能性为76% D．某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖 2．抛物线的准线方程为(　　) A． B． C． D． 3．已知空间中三点，则点到直线的距离为(　　) A． B． C． D． 4．一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是(　　) A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件B互斥 C． D．P(AB)= 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则(　　) A． B． C． D． 6．“”是直线：与直线：平行的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 8．已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为(　　) A． B． C．14 D． 二、多选题:本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法正确的是(　　) A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若样本数据的极差为8，则数据的极差为15 10．以下四个命题表述正确的是(　　) A．直线恒过定点 B．已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则(　　) A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设等差数列前项和为，，，则__________. 13．点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为___________. 14．若动点满足，则点的轨迹方程为___________. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 16．(本小题15分) 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： (1)求样本中数据落在的频率； (2)求样本数据的第50百分位数； (3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 17．(本小题15分) 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．(本小题12分) 已知椭圆的长轴为，短轴为2，焦点在轴上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点斜率不为零的直线与椭圆相交于两不同点． ①若，求弦长的值； ②记为坐标原点，求面积的最大值． 19．(本小题12分) 已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．C【详解】由概率的基本性质,事件A的概率P(A)的值满足0⩽P(A)⩽1，故A错误； 必然事件概率为1，故B错误； 某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误． 2．B【详解】抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为， 3．A 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 4．D【详解】设样本空间为，则， 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 对于选项A：，，， 显然，故A错误； 5．A【详解】连接BD，如图， 则 故选：A． 6．C【详解】由：与：平行， 则，解得或， 当时，，即，，满足； 当时，，即，，两直线重合，不符合题意. 所以“”是直线：与直线：平行的充要条件. 7．A【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 8．D【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 9．AC【详解】A.个体被抽到的概率为，故A正确； B.由条件可知，得， 这组数据的方差为，故B错误； C.将数据按照从小到大排列12，14，15，17，19，23，27，30，共8个数据，，所以第70百分位数是第6个数据，为23，故C正确. D.不妨设本数据中最大的是，最小的是，则，由极差的概念，数据 的极差为，故D错误. 10．BC【详解】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误； 对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，正确； 对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得， 曲线化为标准式得， 所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确； 对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误； 11．ACD【详解】如图所示建系，， 所以， 从而， 所以， 又面， 所以面， 时，与重合，平面为平面， 因为面，平面，A对. 不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，B错. 设面的法向量为， 则，令，解得， 即可取， 而， 所以与平面所成角的正弦值为， 又， 所以， 所以， 又面， 所以面， 当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于， 当在时，与平面所成角为， 所以存在使与平面所成角为，C正确. ， 设平面的法向量为， 不妨设，则. ，则，平面的法向量，显然球心， 到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D对. 12． 【详解】设等差数列的公差为，则， 故，故， 故答案为： 13． 【详解】根据题意有，， 若，则，解得 若，则，即同向 ∵，的夹角为锐角，则，且不能同向 即，解得，且， 则的取值范围为. 故答案为：. 14． 【详解】设， 由于动点的轨迹方程为， 则，故点到定点与到定点的距离差为6， 则动点的轨迹是以为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支， 由于，，则， 故的轨迹的标准方程为：. 故答案为：. 15．(1)x＝4或3x＋4y-8＝0. (2) 【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0， 则圆心到直线的距离为即，解得， 所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0， 圆心到直线l的距离 故所求弦长为：. 16．(1)0.4 (2)52.5 (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. （2）设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. （3）分组人数为：人； 分组人数为：人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 17．(1) 如图所示，作线段的中点，连接， 因为侧面为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为平面，所以平面面. (2) 【详解】（1）略. （2） 如图所示，作中点，连接，则 由（1）可得，面，面，所以面， 则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系； 则， 可得， 设面的法向量为，则，得， 令，解得，所以面的一个法向量为， 易知面得一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．(1) (2)①；② 【详解】（1）解：由题得 所以椭圆的标准方程为 （2）解：由题得存在且，可设直线． 联立可知： 由解得． ①当时， ②坐标原点到直线的距离为． 令，易知可知， 令，可知． 当且仅当，即时等号成立． 所以面积的最大值为. 19．（1）；（2）为定值；. 【详解】解：（1）抛物线的焦点为，∴ 过垂直于轴的直线截所得的弦长为 所以，解得. 所以 又∵椭圆的离心率为，∴ 椭圆的方程为，. （2）设，，，则由， 得， ∵点在椭圆上， ∴所以，， 故 . 设分别为直线的斜率，由题意知， 因此 所以.. 所以点是椭圆上上的点，. ∵，又∵，∴. ∴恰为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义，为定值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $