专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义）（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学讲义以绝对值的几何意义为核心，通过梳理八类最值模型构建知识体系，运用表格对比不同模型的分类情况、图示及取值规律，结合数轴图示直观呈现“距离和差”的几何本质，清晰展现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层设计的“模型运用”练习，包含基础题、能力提升题及综合压轴题，如“多绝对值叠加最值”“含参数绝对值最值”等题型，通过“奇中点，偶中段”等解题模板培养几何直观与推理意识，助力不同层次学生掌握方法，为教师实施精准化复习教学提供系统支持。

专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义） 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。推导逻辑（数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背）。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值和最大值模型 5 模型3. 的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 13 模型5. 型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 18 模型7.绝对值相关运算与最值问题 21 模型8.绝对值最值中的新定义问题 23 易错点与方法总结 28 模型运用 29 A组（基础题） 29 B组（能力提升题） 38 C组（综合压轴题） 42 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 ①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 模型1. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）同学们都知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离表示为：．利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和的两点的距离是__________；(2)数轴上表示的点与表示2的点之间的距离表示为__________，数轴上表示的点和表示的点之间的距离表示为__________；(3)当的范围为多少时，式子取最小值，最小值是多少？ 【典例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________；(2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________；(3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________；(4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【典例3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A、B、P分别表示的是、2、x，． ∵  的几何意义是线段与的长度之和， ∴  当点P在线段上时，； 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴  的最小值是3． 解决问题：（1）表示数轴上x所对应的点与________所对应的点之间的距离； （2）的值是_________；（3）的最小值是_______； （4）当a为_______时，代数式的最小值是4． 模型2. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知点在数轴上分别表示．    (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 两点的距离 (2)若两点间的距离记为，则与的数量关系为___________； (3)在数轴上标出所有到5和的距离之和为10的整数点，它们所表示的数的和为___________； (4)满足（3）且到5和的距离之差大于1而小于5的整数点所表示的数为___________； (5)若点表示的数为，则当满足___________时，取得最大值，最大值为___________． 【典例3】（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）数轴上表示数的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数的点到表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离，表示数轴上表示数1的点到表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点到表示数2的点的距离． 根据以上材料，解答下列问题：(1)若，则_________，若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________；最大值是_________； (3)若，则能取到的最大值是______；(4)关于的式子的取值范围是_______． 模型3. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为，则数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为______； (2)当取最小值时，符合条件的整数x有哪些？ (3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 【典例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【典例3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【典例4】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 回答下列问题：(1)与两点之间的距离是________，和两点之间的距离是________． (2)若x表示一个有理数，请你化简，并结合数轴求的最小值．（写解答过程） (3)的最大值是________．(4)的最小值是________． (5)的最小值是____．(6)的最小值是_____． 【典例5】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______；(4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【模型提炼与证明】 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____．(2)若数轴上表示点的数满足，那么_____． (3)的最小值为_____．(4)，则的值为_____．(5)的最小值为____． 【典例2】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】（1）的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； （2）请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出为 ；    （3）求出的最小值； 【思维拓展】（4）如图⑤，数轴上有一小球A，若使小球到点，的距离之和小于，小球A在数轴上的位置用数 a 表示．请直接写出 a 在数轴上的取值范围 ；    （5）求出的最小值． 【典例3】（25-26七年级上·江苏南京·期中）数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ；若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】（2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】（3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； （4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ． 模型5. 型或型最值模型 【模型提炼与证明】 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·成都·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是_________； （2）当________时，有最小值，最小值是______． 【典例2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）若为有理数，式子存在最大值，则这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【典例3】（25-26七年级上·江苏·期中）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【典例4】（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 ‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】如图，数轴上，点A，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【典例2】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东湛江·期中）【阅读理解】数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点M，N在数轴上分别对应的数为m，n，则M，N两点间的距离表示为． 的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离：就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和、下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1 ∴a到1和2的距离之和最小值是1 【问题解决】根据以上知识解题：(1)类比得出的最小值是_____． (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是_____． (3)如图：数轴上A、B、C三点分别表示的数为、4、7，点P表示的数为x，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10． (4)已知，求的最大值和最小值． 【典例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】（1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】（1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·北京·期中）数组是由个互不相等的整数组成，我们把数组中任意两个整数差的绝对值的最大值称为数组的距离系数． 例如，对于数组：，因为，，，所以是数组的距离系数． (1)对数组：，是______；(2)对数组：，，，若，求的值； (3)从正整数中选取个互不相同的整数组成数组，若，则满足条件的数组有_____个． (4)已知（是大于等于的整数）个连续整数中，从中选取个（是大于等于的整数）不同的整数组成数组，则的最大值为_____． 【典例2】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读下列两则材料： 材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的个数：，，，，，称为数列：，，，，，其中为整数且， 定义：， 例如数列：，，，，，则 材料2：有理数，在数轴上对应的两点，之间的距离是；反之，表示有理数，在数轴上对应点，之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学求的最小值时，利用绝对值的几何意义表示在数轴上对应点到和对应点的距离之和，当时，取到它的最小值，即为和对应点之间的距离． 根据以上材料，回答下列问题：(1)已知数列：，，，求；(2)已知数列：，，，，其中，，，为个互不相等的整数，且，，，直接写出数列：______； (3)已知数列：，，，，若，求的值； (4)已知数列：，，，，，个数均为非负整数，且，则的最小值是______． 【典例3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】（1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】（2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值；②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】（3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 模型常见易错点 1）混淆和模型与差模型的最值属性； 2）偶数个定点时，误以为只有中间点取最值； 3）未排序定点，直接判断中间点； 4）去绝对值符号符号出错； 5）忽略参数题型的双解； 6）认为所有绝对值最值都需要分段讨论。 解题方法总结 1）绝对值距离和最值解题模板 适用题型： 步骤1：排序：将常数从小到大数轴排序；步骤2：判奇偶：数定点个数；步骤3：定取值：奇数个取中间点，偶数个取中间区间；步骤4：算最值：代入对应x（或区间任意数）计算最小值； 2）绝对值距离差最值解题模板 适用题型： 步骤1：定定点：确定两个定点左右位置，标注a＜b；步骤2：直接写结论：最大值=（x≤a时取得）；最小值=（x≥b时取得）；步骤3：验算：特殊值代入验证，避免符号错误。 注意：所有绝对值最值问题，优先几何意义（数轴），次选代数分段讨论；综合题型中，可结合“零点分段法”辅助验证模型结论。 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）代数式的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（24-25七年级上·浙江·期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）当式子取得最大值时，x的最大整数值是 ． 6．（24-25七年级上·浙江·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 7．（24-25七年级上·浙江·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________；(2)当________时，有最小值，最小值是______． 8．（25-26七年级上·四川眉山·阶段练习）当x为m时，有最大值n，则 ． 9．（24-25七年级上·江西南昌·期中）当式子取最小值时，则 ． 10．（25-26七年级上·福建宁德·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______；（2）当取最小值时，x可以取整数_______； （3）最大值为_______； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．    11．（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 12．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 13．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)表示和2两点之间的距离是_______；(2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当_____时，的值最小，最小值是______． (5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值． 14．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.有如下结论： ①依次输入5，6，7，8，则最后输出的结果是2； ②若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最大值是4； ③若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最小值是0； ④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，则k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则；②若，则； ③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 16．（25-26七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 17．（25-26七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求；(4)求的最小值． 18．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： 【初步应用】（1）数轴上表示4的点与表示有理数的点之间的距离为_____________； （2） 若，则x的值为_____________； （3）当x为_____________时， 式子有最小值． 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧， 右侧， 右侧．A小区有居民1000人， B 居民区有居民2000人， C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室 P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 试说明理由． 19．（25-26七年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在数轴上点所对应的数是．对于关于的代数式，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为之间（包括点、）的任意一点时，代数式取得所有值的最大值小于等于，最小值大于等于，则称代数式是线段的封闭代数式． 问题： (1)关于的代数式，当有理数在数轴上所对应的点为之间（包括点、）的任意一点时，取得的最大值和最小值分别是___________和___________．所以代数式|___________（填是或不是）线段的封闭代数式． (2)以下关于的代数式：①；②；③；是线段的封闭代数式是___________，并证明（只需要证明是线段的封闭代数式的式子）． (3)关于的代数式是线段的封闭代数式，则有理数的最大值是________．最小值是_______． 20．（24-25七年级上·上海·期中）求的最小值． 21．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 22．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 23．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 24．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】代数式的几何意义是______（选择A或B），代数式最小值为_____； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】若，则________； (3)【拓展延伸】已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 25．（25-26七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 26．（25-26七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上，①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义） 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。推导逻辑（数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背）。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值和最大值模型 5 模型3. 的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 13 模型5. 型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 18 模型7.绝对值相关运算与最值问题 21 模型8.绝对值最值中的新定义问题 23 易错点与方法总结 28 模型运用 29 A组（基础题） 29 B组（能力提升题） 38 C组（综合压轴题） 42 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 ①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 模型1. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）同学们都知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离表示为：．利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和的两点的距离是__________；(2)数轴上表示的点与表示2的点之间的距离表示为__________，数轴上表示的点和表示的点之间的距离表示为__________；(3)当的范围为多少时，式子取最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)7(2)，(3)当时，代数式取最小值，最小值为7 【详解】（1）解：数轴上表示2和两点之间的距离是．故答案为：7； （2）解：数轴上表示和2的两点、之间的距离为， 数轴上表示和的两点，C之间的距离是；故答案为：，； （3）解：表示的几何意义是：数轴上表示的点到表示2的点与表示的点的距离之和， 由数轴可得，当时，代数式取最小值，最小值为． 【典例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________；(2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________；(3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________；(4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)3(2)(3)或3(4)有，最小值为3． 【详解】（1）解：．故答案为：3． （2）由题意知，实数x所对点到和1006所对的两点距离相等， ，故答案为：； （3），∴或 ①当时，，，解得； ②当时，，，解得；故答案为：或3； （4）表示数轴上实数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 【典例3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点A、B、P分别表示的是、2、x，． ∵  的几何意义是线段与的长度之和， ∴  当点P在线段上时，； 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴  的最小值是3． 解决问题：（1）表示数轴上x所对应的点与________所对应的点之间的距离； （2）的值是_________；（3）的最小值是_______； （4）当a为_______时，代数式的最小值是4． 【答案】（1）；（2）8；（3）6；（4）或7 【详解】（1）解：∵， ∴表示数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：8； （3）解：∵， ∴的最小值为在数轴上表示数为的点，到数轴上表示数为和的点之间的距离， ∴的最小值为 ，故答案为：6； （4）解：∵， ∴的最小值为在数轴上表示数为的点，到数轴上表示数为和3的点之间的距离， ∴，解得，或，故答案为：或7． 模型2. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【答案】 5或1 6 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或，∴或1；故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6，故答案为：6． 【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知点在数轴上分别表示．    (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 两点的距离 (2)若两点间的距离记为，则与的数量关系为___________； (3)在数轴上标出所有到5和的距离之和为10的整数点，它们所表示的数的和为___________； (4)满足（3）且到5和的距离之差大于1而小于5的整数点所表示的数为___________； (5)若点表示的数为，则当满足___________时，取得最大值，最大值为___________． 【答案】(1)(2)(3)见详解；0(4)(5) 【详解】（1）解：当时，； 当时，；当时，； 6 2 4 0 两点的距离 2 6 12 故答案为：． （2），故答案为：． （3）如图，数轴上所有到5和的距离之和为10的整数点分别为，．   ． ∴它们所表示的数的和为0．故答案为：0． （4）满足（3）且到5和的距离之差大于1而小于5的整数点所表示的数分别为，2． 故答案为：． （5）表示数轴上数为的点到的距离与到5的距离之差， ∴当时，取得最大值，最大值为8．故答案为：． 【典例3】（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）数轴上表示数的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数的点到表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离，表示数轴上表示数1的点到表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点到表示数2的点的距离． 根据以上材料，解答下列问题：(1)若，则_________，若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________；最大值是_________； (3)若，则能取到的最大值是______；(4)关于的式子的取值范围是_______． 【答案】(1)0，(2)，2(3)(4)大于等于5 【详解】（1）表示数轴上表示的点到表示1和的点的距离相等，因此． 表示数轴上表示的点到表示1和−3的点的距离相等，因此．故答案为：0，； （2）表示数轴上表示的点到表示2和的点的距离之和为3，所以， 因此，能取到的最小值为，最大值为2．故答案为：，2； （3）表示数轴上表示数的点到表示数2的点的距离比它到表示的点的距离大3， 由数轴直观可得，即能取到的最大值为．故答案为：； （4）表示数轴上表示的点到表示3和的点的距离之和， 由数轴直观可得的最小值为5，因此的取值范围是大于等于5． 故答案为：大于等于5． 模型3. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为，则数轴上A、B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为______； (2)当取最小值时，符合条件的整数x有哪些？ (3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)，1或(2)，0，1，2(3)时，最小，最小值为4 【详解】（1）解：，分别表示的数为，， 数轴上表示和的两点和之间的距离是， 如果，则，解得或；故答案为：，1或； （2）解：当取最小值时，即求数轴上x到和的距离和最短， 则，符合条件的整数有，0，1，2．故答案为：，0，1，2； （3）解：当取最小值时，即求数轴上x到，和3的距离和最短， 则，当时，最小，即最小值为：．故时，最小，最小值为4． 【典例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离；故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是；故答案为：； （3）解：共项，根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小，即：当时，原式 ， ∴的最小值为：． 【典例3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【答案】(1)或(2)Q有最大值11(3) 【详解】（1）解：由题意得：是数轴上表示和两点间的距离， ，或； （2）解：是数轴上表示的点到表示、5两点间的距离之差， ①时，； ②时，； ③时，；综上所述，当时，有最大值11； （3）解：表示数到2、4、6、、2024的距离之和， 而2、4、6、、2024共有1012个偶数，要使的值最小，根据已知阅读材料可知： 的最小值为：， 的最小值为：，， 的最小值为， 的最小值为： ．此时的取值范围是． 【典例4】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 回答下列问题：(1)与两点之间的距离是________，和两点之间的距离是________． (2)若x表示一个有理数，请你化简，并结合数轴求的最小值．（写解答过程） (3)的最大值是________．(4)的最小值是________． (5)的最小值是____．(6)的最小值是_____． 【答案】(1)   (2)见解析(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：与两点之间的距离，和两点之间的距离． 故答案为：   （2）当时，． 当时，． 当时，． 因为，所以数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离．所以当时，有最小值为． （3）因为，所以数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离． 当时，有最大值，最大值．故答案为： （4）根据题意可知，当时，有最小值，最小值． 故答案为： （5）根据题意可知，当时，有最小值，最小值． 故答案为： （6）根据题意可知，当时，有最小值，最小值 ．故答案为： 【典例5】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______；(4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 【答案】(1)，，；(2)，或或或或或或或；(3)或；(4)，；或． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴， ， 、两点之间的距离为，故答案为：，，； （2）解：当位于点左侧时，即时，， 当位于点与点之间时，即时，， 当位于点右侧时，即时， 综上可知：当位于点与点之间时，的值最小，最小值为，符合条件的整数为或或或或或或或，故答案为：；或或或或或或或； （3）解：当位于点左侧时，即时，，解得：； 当位于点与点之间时，即时，， 当位于点右侧时，即时，解得：；故答案为：或； （4）解：当位于点左侧时，即时，， 当位于点与点之间时，即时，， ∴， 当位于点与点之间时，即时，， ∴， 当位于点右侧时，即时，， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，有最小值，当，最小值为，故答案为：，； 当时，即有时可取最小值，，，解得：； 当时，即有时可取最小值，，，解得：； 故答案为：或． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【模型提炼与证明】 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____．(2)若数轴上表示点的数满足，那么_____． (3)的最小值为_____．(4)，则的值为_____．(5)的最小值为____． 【答案】(1)6(2)4或(3)2026(4)或(5)7 【详解】（1）解：由题得，， 数轴上表示1和的两点之间的距离是6．故答案为：6． （2）解：由得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． 或．故答案为：4或． （3）解：表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在和2025之间时，； 当x不在和2025之间，的值大于与2025两点的距离，又， 当x不在和2025之间，的值大于2026； 综上可知，当x在和2025之间时，的值最小，最小值为2026．故答案为：2026． （4）解：由（3）知，若， 则数x在的左侧或在2025的右侧，即或， 当时，， 由，解得； 当时，， 由，解得；综上可知，的值为或． （5）解：表示x与两点间的距离与x与2两点间的距离的2倍与x与3两点间的距离之和，因为2在和之间，且和的距离等于， 所以当时，的值最小，最小值等于7．故答案为：7． 【典例2】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】（1）的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； （2）请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出为 ；    （3）求出的最小值； 【思维拓展】（4）如图⑤，数轴上有一小球A，若使小球到点，的距离之和小于，小球A在数轴上的位置用数 a 表示．请直接写出 a 在数轴上的取值范围 ；    （5）求出的最小值． 【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和，3；（2）2，2 ；（3）6 ；（4）；（5） 【详解】解：（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3； （2）当a取中间数2时，绝对值最小 的最小值是； （3）当a取最中间数时，绝对值最小，的最小值是 ； （4）∵数轴上有一小球A，小球到点，的距离之和小于，小球A在数轴上的位置用数 a 表示， ∴，而，显然小球A在数轴上位于与3对应的点之间符合题意； 当时，小球在3的右边时，∴，解得， 当时，小球在的左边时，，解得：， ∴数轴上有一小球A，小球到点，的距离之和小于，此时； （5）当时，∴， 当时，∴， ∴此时，当， ∴，∴此时， 当时，∴， ∴此时，当时， ∴， ∴此时，当时，∴，∴此时， 综上：当时，取最小值． 【典例3】（25-26七年级上·江苏南京·期中）数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ；若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】（2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】（3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； （4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ． 【答案】（1）4，3，；（2）7；（3）见解析；（4）3或5 【详解】解：（1）若，则； 若，则； 一般地，；故答案为：4，3，； （2）当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值7，故答案为：7； （3）当时，由（2）可知当时，的最值为， ∵当时，有最小值0，∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时，的最值为7， ∵当时，有最小值0，∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时，的最值为， ∵当时，有最小值0，∴当时，有最小值，最小值为； （4）， 当时，由（2）可知的最小值为7， 当时，由（2）可知的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∵代数式（m为常数）的最小值为8，∴，∴； 当时，同理可得当时，有最小值，不符合题意； 当时，同理可得当时，的最小值为，解得； 综上所述，m的值为3或5． 模型5. 型或型最值模型 【模型提炼与证明】 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·成都·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是_________； （2）当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】 3 1 2 【详解】解：（1）∵，，， ∴，∴，∴，故答案为：3； （2）∵，∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2，故答案为：1，2． 【典例2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）若为有理数，式子存在最大值，则这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【详解】解：∵，∴∴．故选：A． 【典例3】（25-26七年级上·江苏·期中）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0(2)1， 【详解】（1）解：根据题意得：，仅当时，即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：，，仅当时，即， ，当时，有最大值，这个最大值为2025. 【典例4】（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，即的最小值是，故（1）正确； ，，当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误；的最大值是，故（4）正确；．故选：B． 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 ‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】如图，数轴上，点A，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)(2)①；②或(3) 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为，故答案为：； ②代数式的最小值是，，解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，， 设表示的数为，距离之和为，则， 由题意得：当在线段上，即时， ， 所以，即在点时，取得最小值1200； 当在线段上，即时， ， 所以，即在点时，取得最小值1200； 当在线段上时，即时， ，所以，即在点时，取得最小值1400； 综上，在点时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 【典例2】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）时，式子有最小值为6，见解析；（4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为，故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为，故答案为：； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东湛江·期中）【阅读理解】数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点M，N在数轴上分别对应的数为m，n，则M，N两点间的距离表示为． 的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离：就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和、下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1 如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1 ∴a到1和2的距离之和最小值是1 【问题解决】根据以上知识解题：(1)类比得出的最小值是_____． (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是_____． (3)如图：数轴上A、B、C三点分别表示的数为、4、7，点P表示的数为x，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10． (4)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)3(2)；(3)经过秒或秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10 (4)的最大值为10，最小值为 【详解】（1）解：根据题意可知，的几何意义是x这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，如图，x在3的左边，从图中很明显可以看出x到3和6的距离之和大于3， 如图，x在3和6之间（包括在3，6上），可以看出x到3和6的距离之和等于3， 如图，x在6的右边，从图中很明显可以看出x到3和6的距离之和大于3， ∴x到3和6的距离之和最小值是3，故答案为：3； （2）解：∵，∴表示到和的距离之和为4， ∵到之间的距离为，∴当在和之间（包括端点）时，距离之和恒为， ∴的最小值是，最大值是，故答案为：，； （3）解：设运动的时间为t秒，∵点P表示的数为x，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，∴t秒后点P表示为，∴，， 分情况讨论：当在左侧时（）：，， ∴和为，解得（符合条件）； 当在B、C之间时（）：（不等于10，排除）； 当P在右侧时（）：，， ∴和为，解得（符合条件）． 综上所述，经过秒或秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10； （4）解：由题意可得，的最小值为（），的最小值为（）， ∵，∴，， ∴最大值为：当取最大，取最小时，； 最小值：当取最小，取最大时，． 综上所述，的最大值为10，最小值为． 【典例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】（1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】（1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时，，解得； 当点在右边时，，解得，综上，或；故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为，故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为，在时，取最小值为， ， ，，， ，，，的最大值为； [实际应用]解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小，设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为：， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为：， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值，在时，取最小值， 的最小值为，综上，距离之和最小值为． 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·北京·期中）数组是由个互不相等的整数组成，我们把数组中任意两个整数差的绝对值的最大值称为数组的距离系数． 例如，对于数组：，因为，，，所以是数组的距离系数． (1)对数组：，是______；(2)对数组：，，，若，求的值； (3)从正整数中选取个互不相同的整数组成数组，若，则满足条件的数组有_____个． (4)已知（是大于等于的整数）个连续整数中，从中选取个（是大于等于的整数）不同的整数组成数组，则的最大值为_____． 【答案】(1)(2)或(3)(4) 【详解】（1）解：∵，，，∴，故答案为：； （2）解：当是三个数中最大的数时，∵，∴，解得； 当是三个数中最小的数时，∵，∴，∴；综上，的值为或； （3）解：∵，∴当最小的数为，最大的数为，中间的数可以为，共有组； 当最小的数为，最大的数为，中间的数可以为，共有组； 同理当最小的数为，，时，可得也分别有组；∴满足条件的数组共有个，故答案为：； （4）解：设个连续整数中最小的数为，则最大的数为。 要使从中选取的个整数的距离系数最大，所选取的数中必须包含这个连续整数中的最小数和最大数。因此，的最大值为。，故答案为：． 【典例2】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）阅读下列两则材料： 材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的个数：，，，，，称为数列：，，，，，其中为整数且， 定义：， 例如数列：，，，，，则 材料2：有理数，在数轴上对应的两点，之间的距离是；反之，表示有理数，在数轴上对应点，之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学求的最小值时，利用绝对值的几何意义表示在数轴上对应点到和对应点的距离之和，当时，取到它的最小值，即为和对应点之间的距离． 根据以上材料，回答下列问题：(1)已知数列：，，，求；(2)已知数列：，，，，其中，，，为个互不相等的整数，且，，，直接写出数列：______； (3)已知数列：，，，，若，求的值； (4)已知数列：，，，，，个数均为非负整数，且，则的最小值是______． 【答案】(1)(2)，，，(3)的值为或(4)或 【详解】（1）解：数列：，，，； （2）解：由题意得：，则当，时满足上述相等关系， 数列可以是：，，，，故答案为：，，，； （3）解：由题意得：，即， 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：（不合题意，舍去）； 当时，，解得：，符合题意；综上所述，的值为或； （4）解：由题意知，， 因此，当各数之间的跨度最小时，取最小值， 个数均为非负整数，且， 若为的整数倍，则当这个数都相等时，的最小值是； 若不能被整除，则分以下情况（为非负整数）： 当时，则当数列中第一个数为，其余的数为时，的最小值是， 当时，则当数列中第一个和第二个数为，其余的数为时，的最小值是， 当时，则当数列中的前三个数为，其余的数为时，的最小值是， 当时，则当数列中的前四个数为，其余的数为时，的最小值是， 综上所述，当为能被整除时，的最小值是；当不能被整除时，的最小值是， 故答案为：或． 【典例3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】（1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】（2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值；②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】（3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 【答案】（1）（2）①或；②（3）的值为：，，， 【详解】解：（1）∵，， ∴数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为． （2）①∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，关于点的“完美距离” ∴当时，则，解得：（不符合题意舍去）， 当时，则，解得：（不符合题意舍去），综上：或． ②∵，如图， ∴的中点对应的数为，∴当表示时， 关于点的“完美距离”取最大值，最大值为． （3）∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；结合（2）可得：当为的中点时， ， ∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为，∴， 同理可得：，∴， ∵均是整数，∴的值为：，，，． 模型常见易错点 1）混淆和模型与差模型的最值属性； 2）偶数个定点时，误以为只有中间点取最值； 3）未排序定点，直接判断中间点； 4）去绝对值符号符号出错； 5）忽略参数题型的双解； 6）认为所有绝对值最值都需要分段讨论。 解题方法总结 1）绝对值距离和最值解题模板 适用题型： 步骤1：排序：将常数从小到大数轴排序；步骤2：判奇偶：数定点个数；步骤3：定取值：奇数个取中间点，偶数个取中间区间；步骤4：算最值：代入对应x（或区间任意数）计算最小值； 2）绝对值距离差最值解题模板 适用题型： 步骤1：定定点：确定两个定点左右位置，标注a＜b；步骤2：直接写结论：最大值=（x≤a时取得）；最小值=（x≥b时取得）；步骤3：验算：特殊值代入验证，避免符号错误。 注意：所有绝对值最值问题，优先几何意义（数轴），次选代数分段讨论；综合题型中，可结合“零点分段法”辅助验证模型结论。 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）代数式的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【详解】解：∵表示到，的距离和∴当时，有最小值， ∴当时，故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【详解】解：∵的最小值为3，∴到的距离与到的距离的和的最小值为3， ∵，∴，∴， ∴，故选：C． 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离， 就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离， ∴当x的取值范围是时，取的最小值．故选：C． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ． 【答案】或8 【详解】∵可以看作数轴上表示x的点距离表示的点的距离之和，且的最小值是7， ①当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得： ②当时，即，则时，原式有最小值，此时，故不合题意； ③当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得：； 综上，m的值为或8，故答案为：或8． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）当式子取得最大值时，x的最大整数值是 ． 【答案】 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离， 当x在左边（包含）时，的值即为到3的距离，即为， 当x在3的右边（包含3）时，的值即为， 当x在和3之间时，的值一定小于8， 综上所述，当时，取得最大值，此时x的最大值为，故答案为：． 6．（24-25七年级上·浙江·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．(2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1)(2)1或(3)5， 【详解】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为；故答案为：． （2）  或， 或；  故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．  故答案为：5；． 7．（24-25七年级上·浙江·期中）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________；(2)当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】(1)3(2)1，2 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴，故答案为：； （2）∵∴当时，最小，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是，故答案为：1，． 8．（25-26七年级上·四川眉山·阶段练习）当x为m时，有最大值n，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∴当时，的最大值，∴；故答案为： 9．（24-25七年级上·江西南昌·期中）当式子取最小值时，则 ． 【答案】 【详解】解：，，当式子取最小值时，，， 解得，，，故答案为：． 10．（25-26七年级上·福建宁德·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______；（2）当取最小值时，x可以取整数_______； （3）最大值为_______； 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．    【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；（2），0，1，2，3；（3）4；（4）便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值，即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值，的最大值是：． （4）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时，取得最小值，此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 11．（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 12．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)，1，3.5；(2)，或2；(3)；(4)；(5)1，9． 【详解】（1）解：如图， 点与点即为所求，点表示的数是，点表示的数是1， ，两点之间的距离是，故答案为：，1，3.5； （2）由题意得和之间的距离可表示为， ，两点之间的距离为3，，解得：或2，故答案为：，或2； （3）与的值相等，则所对应的点到的距离，与所对应的点与2所对应的点的距离相等， 可得，，故答案为：； （4）要使取得最小值，则所对应的点在所对应的点和2所对应的点之间（包含端点）， 的取值范围是． （5）表示在数轴上点 所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和． 当时，的值最小，最小值为9， 当时，的值最小，最小值为0，所以当时，的值最小， 最小值为9．故答案为：1，9． 13．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)表示和2两点之间的距离是_______；(2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当_____时，的值最小，最小值是______． (5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值． 【答案】(1)5(2)或0(3)12(4)1，8(5)，最小值为 【详解】（1）解：，∴表示和2两点之间的距离是．故答案为： （2）解：∵表示数a和的两点之间的距离是2，∴， ∴或，解得：或．故答案为：或0 （3）解：当时，原方程为，解得：（舍去）； 当时，原方程为，成立； 当时，原方程为，解得：（舍去）； 故满足的整数为：，，0，1，2，3，4，5， 这些数的和为．故答案为：12 （4）解：当时，原式； 当时，原式，这时； 当时，原式； 当时，原式； 故当时，的值最小，最小值是8，故答案为：1，8 （5）解：由（4）可得，当时，的值最小， ∴． ∴表示的有理数在时，有最小值． 14．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算.有如下结论： ①依次输入5，6，7，8，则最后输出的结果是2； ②若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最大值是4； ③若将5，6，7，8这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果中最小值是0； ④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，则k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：根据题意可以得出：，，，故①符合题意； 对于5，6，7，8，按如下次序输入：5，7，8，6，可得：，， 全部输入完毕后显示的结果的最大值为6，最小值是0，故③符合题意； 按如下次序输入：5，7，6，8，可得：，， 全部输入完毕后显示的结果的最大值为4，故②符合题意； ④∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，k的最大值为10，∴设b为较大数字，当时，，，解得：， 故此时任意输入后得到的最小数为：，， 设b为较大数字，当时，，， 则，即，则， 故此时任意输入后得到的最小数为：，， 综上所述：k的最小值为6．故④符合题意．故选：D． 15．（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则；②若，则； ③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当时，则：， ∴，∴；故①正确； 当时，则；故②错误； 当时，则：，解得：，故③错误； ， ∴当在和之间时，有最小值为：；故④正确；故选C． 16．（25-26七年级上·湖北黄石·阶段练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4，∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5（2）或9（3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵，∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7，∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为，所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 17．（25-26七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求；(4)求的最小值． 【答案】(1)；或(2)(3)或(4) 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ，或，或．故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间，，故答案为：． （3），数的点位于的左边或的右边，或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，， 当接近时，取得最小值接近为； 当时，， 当接近时，取得最小值接近；综上可得，式子的最小值为．故答案为：． 18．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： 【初步应用】（1）数轴上表示4的点与表示有理数的点之间的距离为_____________； （2） 若，则x的值为_____________； （3）当x为_____________时， 式子有最小值． 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧， 右侧， 右侧．A小区有居民1000人， B 居民区有居民2000人， C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室 P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 试说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）实验室P建在C，B之间（包含C，B）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【详解】解：（1）数轴上表示4的点与表示有理数的点之间的距离为：； （2）如图，当时， ∵，∴， 如图，当时， ∵，∴，解得：， 如图，当时， ∵，∴，解得：， 综上：当时，或． （3）表示数轴上表示x的点到表示的点、表示x的点到表示的点与表示x的点到表示1的点距离之和最小，结合（2）的探究可得： ∴x应该在处，如图， 且当时，最小，最小值为到1的距离为7； （4）如图，A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x， 使总运输和包装成本最低，即最小， 即的值最小， 结合（2），（3）的探究可得： 当时，的值最小，即最小， ∴最小值为（元）， ∴实验室P建在C，B之间（包含C，B）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 19．（25-26七年级上·北京海淀·阶段检测）如图，在数轴上点所对应的数是．对于关于的代数式，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为之间（包括点、）的任意一点时，代数式取得所有值的最大值小于等于，最小值大于等于，则称代数式是线段的封闭代数式． 问题： (1)关于的代数式，当有理数在数轴上所对应的点为之间（包括点、）的任意一点时，取得的最大值和最小值分别是___________和___________．所以代数式|___________（填是或不是）线段的封闭代数式． (2)以下关于的代数式：①；②；③；是线段的封闭代数式是___________，并证明（只需要证明是线段的封闭代数式的式子）． (3)关于的代数式是线段的封闭代数式，则有理数的最大值是________．最小值是_______． 【答案】(1)，，不是(2)③，证明见解析(3)， 【详解】（1）解：当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， 的最大值大于，不是线段的封闭代数式，故答案为：，，不是； （2）解：①，，， 的最小值为，不满足最小值大于等于，不是线段的封闭代数式； ②当时， 代数式取得最大值，不满足最大值小于等于， 不是线段的封闭代数式； ③当时，； 当时，，此时，； 当时，； 综上所述，，满足最大值小于等于，最小值大于等于， 是线段的封闭代数式；故答案为：③； （3）解：由题意得，且，， ，，． 要使上式式子一定成立，则必须大于或等于的最大值，同时小于或等于的最小值． ，当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为，取得最大值为，的最小值是； 同理，取得最小值为，的最大值是； 综上所述，的最大值为，最小值为，故答案为：，． 20．（24-25七年级上·上海·期中）求的最小值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和，∵（偶数）， ∴当为第2475、2476项所对应的数时，有最小值． 经计算：且，∴当取得最小值， 原式 ． 21．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 【答案】(1)或6(2)(3) 【详解】（1）解：∵，∴，，解得：，， ∴A为10，B为40由题意可得：当时，P为，Q为， ∵，∴，即，解得或6． （2）解：由题意可得：、的中点E、F，，A为10， ∴P为，E为， Q为，F为，则，， ∴，设，∴， ∵k为定值，∴且，∴，综上，． （3）解：∵ 而， ∴总共25个零点，25为奇数，则在第13个零点取最小，此时．∴， ∵P为t，Q为，M为，而为的中点，∴，解得：； 22．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是，故答案为：； （）∵，∴或，∴或，故答案为：或； （）当时，，解得； 当时，，此时方程无解； 当时，，解得； 综上，的值为或，故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为，故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 23．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【答案】(1)3(2)(3)4(4)或(5)5，(6)3 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是．故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为．故答案为：； （3）当时，则．故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或．故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为； 当时，， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5．故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为，而， 即时，，，所以的最大值为3．故答案为：3． 24．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】代数式的几何意义是______（选择A或B），代数式最小值为_____； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】若，则________； (3)【拓展延伸】已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)B，6(2)或5(3)最大值为8，最小值为． 【详解】（1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：，故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立；故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 25．（25-26七年级上·河北保定·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)1和2关于0的“美好关联数”为__________；和5关于2的“美好关联数”为__________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于21的“美好关联数”为1，…则的最小值为__________． 【答案】(1)3，8；(2)6或0.(3) 【详解】（1）解：根据定义可得：1和2关于0的“美好关联数”为：； 和5关于2的“美好关联数”为：；故答案为：3，8； （2）解：∵，∴，∴， ∴或，解得：或∴的值为6或0. （3）解：由已知得：， ∵，，∴的最小值；， ∵，，∴的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值；……； ∴，的最小值是， ∴的最小值为.故答案为：． 26．（25-26七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上，①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 【答案】(1)①0，2；②或(2)①4；②的最小值为2，此时或． 【详解】（1）解：①， 故答案为：0，2； ②∵，∴，即，∴，解得：或， ∴或，故答案为：或； （2）解：①∵，，，∴，解得：， 设B为上一点，记为，∴，∴， ∴当时，即时，有最大值4，∴， ②根据题意，得， 当5位于线段的中点时，的值最小， 当时，，∴，∴； 当时，，，此时无法取最小值，故舍去； 当时，，∴， 综上， 的最小值为2，此时或． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $