【暑假预习】微专题2 绝对值与相反数的代数与几何意义 2026-2027学年苏科版数学七年级上册暑假预习衔接讲练

微专题2 绝对值与相反数的代数与几何意义 题型一：绝对值的代数意义 【典例精讲1】（2026春•锦江区校级月考）﹣|﹣2026|的值为（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【典例精讲2】（2026•宁夏模拟）已知|a﹣2|＝2﹣a，则a的最大整数值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【典例精讲3】（2025秋•洪山区期末）a、b、c三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：|a﹣b|﹣|a+c|＝（　　） A．2a﹣b+c B．b﹣2a﹣c C．﹣b﹣c D．b+c 【典例精讲4】（2025秋•绥阳县期末）已知实数a，b，c，满足abc＝1，则的值为（　　） A．1 B．1或3 C．1或﹣3 D．﹣1或﹣3 【典例精讲5】（2026•桓台县校级模拟）若|a|＝2，|b|＝7，则|a+b|的值是（　　） A．5 B．9 C．5或9 D．±5或±9 【变式训练1】（2025秋•宜州区期末）已知a＞0，则化简代数式|a|+|1+a|的结果是（　　） A．2a+1 B．﹣2a﹣1 C．1 D．﹣1 【变式训练2】（2025秋•巢湖市期末）设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是（　　） A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2 【变式训练3】（2025秋•天元区期末）一个数的绝对值等于3，则这个数是（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D． 【变式训练4】（2025秋•芜湖期末）用符号语言表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（　　） A．|a|＝a B．|a|＝a（a＞0） C．|a|＝﹣a D．|a|＝﹣a（a＜0） 【变式训练5】（2025秋•潮南区期末）若abc≠0，则的取值不可能是（　　） A．0 B．1 C．3 D．﹣3 【变式训练6】（2025秋•牡丹江期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（　　） A．2a+2c﹣2b B．0 C．2c﹣2b D．2c 【变式训练7】（2025秋•河东区期末）若xy＞0，则值为（　　） A．3 或1 B．﹣1 或0 C．3或﹣1 D．﹣3或1 【变式训练8】（2026•滨州一模）|a|的意义是什么？ 【变式训练9】（2025秋•广丰区期中）已知|x|＝8，|y|＝2． （1）求x，y的取值； （2）当x＜y，求3x+y的值． 【变式训练10】（2025秋•恩施市月考）已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若x＞0，y＜0，求x，y的值； （2）若x＜y，求x，y的值． 【变式训练11】（2025秋•天津校级期中）已知|x|＝3，|y|＝2． （1）x＝　　 ，y＝　 　 ； （2）若x﹣y＜0，求x+2y的值． 【变式训练12】（2025秋•博山区期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【解决问题】 （1）当a＞0时，　 　 ，当a＜0时，　 　 ． （2）如果有理数a、b满足ab＜0时，则　 　 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足abc＜0，求的值． 题型二：绝对值的几何意义 【典例精讲1】（2025秋•肥东县期末）已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例精讲2】（2025秋•渝北区期末）如图，数轴上点A表示的数是2026，且A，B两点到原点O的距离相等，则点B表示的数是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【典例精讲3】（2025秋•鼓楼区校级期末）关于|1﹣a|的说法不正确的是（　　） A．1减去a的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【典例精讲4】（2025秋•肥城市期末）若|x﹣1|＝6，那么x的值为（　　） A．﹣5 B．7 C．﹣5或6 D．﹣5或7 【典例精讲5】（2025秋•让胡路区校级期末）下列判断正确的是（　　） A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若|a|＞|b|，则a＞b C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若|a|＝|b|，则a＝b 【变式训练1】（2025秋•东源县期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C． （1）填空：A，B之间的距离为　 　 ，B，C之间的距离为　 　 ； （2）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a|． 【变式训练2】（2025秋•扬州期末）已知c＜0＜a，ab＜0，|b|＜|a|＜|c|． （1）在数轴上对应的（　　）标出a，b，c的位置； （2）化简：|b|﹣2|c﹣a|+|b﹣c|． 【变式训练3】（2025秋•雁塔区校级期末）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　 　 ，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　　 　　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　 　 ，如果|AB|＝2，那么x是　 　　 ． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　 　． 【变式训练4】（2025秋•龙马潭区期末）【阅读理解】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，根据绝对值的定义，|a|表示数轴上表示数a的点与原点的距离，那么数轴上两点A、B表示的数为a、b，则点A与点B之间的距离为AB＝|a﹣b|．例如：|a﹣2|的几何意义是数轴上数a所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|a+1|＝|a﹣（﹣1）|，所以|a+1|的几何意义就是数轴上数a所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【问题解决】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）求AB的值； （2）若点M在A、B之间，求|m+4|+|m﹣8|的值； （3）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值． 【变式训练5】（2025秋•芜湖期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　 　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　 　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　 　　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　　 　　 ． 【变式训练6】（2025秋•呼兰区校级期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1； ∴|x+1|+|x﹣2|，通过以上阅读，解决问题： （1）直接写出|x+2025|的零点值是x＝　 　 ； （2）化简|x﹣4|+|x+7|； （3）直接写出|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为　 　 ． 【变式训练7】（2025秋•管城区校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示，|b﹣a|或|a﹣b|指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是　 　；表示数3和数﹣2的两个点之间的距离是　 　，数x与数﹣5表示的两个点之间的距离是　 　 ． （2）如果x表示一个有理数，则|x+4|+|x﹣4|＝10时，x＝　 　 ． （3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣4|是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【变式训练8】（2025秋•抚州校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；那么，表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ； （2）如果数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，并计算这些点表示的数的和． 【变式训练9】（2025秋•长宁县月考）【阅读】数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是　 　 ；式子|a+5|的几何意义是 　 　　 　　 　　 　　 　 ； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝ 　 　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值是 　 　 ． 【变式训练10】（2025秋•高新区校级月考）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|x﹣2|表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|x﹣1|+|x+2|可理解为在数轴上x对应的点分别到1和﹣2所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： （1）|x﹣3|可理解为　 　与　 　在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）请你结合数轴探究： ①|x﹣3|+|x+2|的最小值是　 　 ； ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值为　 　 ； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【变式训练10】（2025秋•广元校级月考）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． [尝试运用] （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么点A到点B的距离是 　 　 ，点A到点C的距离是 　 　 （直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 　 　（用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是 　 　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 　 　 ；当x的值在　 　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2，当x的值取3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是　 　 ； （4）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 题型三：相反数的代数意义 【典例精讲1】（2026春•武进区校级月考）2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 【典例精讲2】（2026•章丘区校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．﹣3是相反数 B．+3是相反数 C．﹣3不是3的相反数 D．﹣3与+3互为相反数 【典例精讲3】（2026•高碑店市模拟）若m与n互为相反数，则2（m+n）﹣3＝（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【典例精讲4】（2026•绵阳一模）若一个数的相反数是它本身．则这个数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定 【变式训练1】（2026•合肥校级一模）下列实数中，其相反数比本身大的是（　　） A．2026 B．0 C． D．﹣2026 【变式训练2】（2025秋•洪山区月考）已知（a﹣1）2与互为相反数，则（﹣3）a+2b的值为（　　） A．7 B．﹣1 C．1 D．﹣7 【变式训练3】（2025秋•邹城市期末）若a﹣2与b+3互为相反数，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式训练4】（2025秋•崇明区校级期中）若﹣[﹣（﹣a）]＝﹣1，a的相反数为　 　 ． 【变式训练5】（2025秋•乌拉特前旗校级月考）已知a与b互为相反数，b与c互为相反数，且c＝﹣4，则a＝　﹣4　 ． 【变式训练6】若a，b互为相反数，则5（a+b）﹣2的值为　 　 ． 题型四：相反数的几何意义 【典例精讲1】（2025秋•淮滨县期末）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C表示的数是　 　 ． 【典例精讲2】（2025秋•永川区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 　 　． 【典例精讲3】已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示，那么a,b,-a,-b的大小关系是 ．（用“＞”连接） 【变式训练1】（2025秋•泉州校级月考）若点A、点B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是8，点A在点B的左侧，则点A表示的数是　　 　 ． 【变式训练2】（2025秋•朝天区期中）如图，数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 【变式训练3】（2025秋•钱塘区期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点A，B，C． （1）若点A表示的数是﹣2，直接写出点B，C表示的数． （2）若点A，C所表示的数互为相反数，求出点B表示的数． （3）若点B与原点之间的距离为3，求出点C表示的数． 【变式训练4】（2025秋•平桥区月考）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是　 　 ，点C表示的数是　 　 ． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是　 　 ． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【变式训练5】（2025秋•西安校级月考）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　 　 ； （2）若t＝﹣2，求m+n的值． 【变式训练6】（2025秋•怀宁县期中）数轴上表示数a，b的点如图所示． （1）在数轴上分别用A，B两点表示﹣a，﹣b； （2）若表示数b与﹣b的点相距20个单位长度，则数b与﹣b分别是多少？ （3）在（2）的条件下，若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度，则数a与﹣a分别是多少？ 【变式训练7】（2024秋•馆陶县期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： （1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ （2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 【变式训练8】（2024秋•莘县校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题2 绝对值与相反数的代数与几何意义 题型一：绝对值的代数意义 【典例精讲1】（2026春•锦江区校级月考）﹣|﹣2026|的值为（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【分析】根据有理数的概念判断． 【解答】解：根据有理数的概念：﹣|﹣2026|＝﹣2026． 故选：B． 【典例精讲2】（2026•宁夏模拟）已知|a﹣2|＝2﹣a，则a的最大整数值是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0计算即可． 【解答】解：∵|a﹣2|＝2﹣a， ∴a﹣2≤0， ∴a≤2， ∴a的最大整数值是2， 故选：A． 【典例精讲3】（2025秋•洪山区期末）a、b、c三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：|a﹣b|﹣|a+c|＝（　　） A．2a﹣b+c B．b﹣2a﹣c C．﹣b﹣c D．b+c 【分析】由数轴得b＜a＜0＜c，|c|＞|a|，继而得出a﹣b＞0，a+c＞0，再化简绝对值即可． 【解答】解：由数轴得b＜a＜0＜c，|c|＞|a|， ∴a﹣b＞0，a+c＞0， ∴|a﹣b|﹣|a+c|＝a﹣b﹣（a+c）＝a﹣b﹣a﹣c＝﹣b﹣c， 故选：C． 【典例精讲4】（2025秋•绥阳县期末）已知实数a，b，c，满足abc＝1，则的值为（　　） A．1 B．1或3 C．1或﹣3 D．﹣1或﹣3 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：∵abc＝1， ∴abc三个都是正的或两个负的一个正的， ∴1+1﹣1＝1， 1﹣1+1＝1， 1﹣1﹣1＝﹣3， 1+1+1＝1， ∴的值为1或﹣3． 故选：C． 【典例精讲5】（2026•桓台县校级模拟）若|a|＝2，|b|＝7，则|a+b|的值是（　　） A．5 B．9 C．5或9 D．±5或±9 【分析】根据绝对值的定义求出a、b的值，然后计算|a+b|的值即可． 【解答】解：∵|a|＝2， ∴a＝±2， ∵|b|＝7， ∴b＝±7， 当a＝2，b＝7时，|a+b|＝|2+7|＝9； 当a＝2，b＝﹣7时，|a+b|＝|2﹣7|＝5； 当a＝﹣2，b＝7时，|a+b|＝|﹣2+7|＝5； 当a＝﹣2，b＝﹣7时，|a+b|＝|﹣2﹣7|＝9； 综上，|a+b|的值是5或9， 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•宜州区期末）已知a＞0，则化简代数式|a|+|1+a|的结果是（　　） A．2a+1 B．﹣2a﹣1 C．1 D．﹣1 【分析】根据已知条件判断绝对值内代数式的正负性，再利用绝对值的性质去绝对值符号，计算即可． 【解答】解：∵a＞0， ∴1+a＞0， ∴|a|＝a，|1+a|＝1+a， ∴|a|+|1+a| ＝a+（1+a） ＝a+1+a ＝2a+1． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•巢湖市期末）设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是（　　） A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2 【分析】根据有理数的加法，得a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．再根据绝对值的定义解决此题． 【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0， ∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0． 当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0， ∴1+1+1﹣1＝0． 当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0， ∴1﹣1+1+1＝0． 综上：0． 故选：A． 【变式训练3】（2025秋•天元区期末）一个数的绝对值等于3，则这个数是（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D． 【分析】根据绝对值的性质即可求得答案． 【解答】解：根据绝对值的性质，一个数的绝对值等于3， 则这个数是±3， 故选：B． 【变式训练4】（2025秋•芜湖期末）用符号语言表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（　　） A．|a|＝a B．|a|＝a（a＞0） C．|a|＝﹣a D．|a|＝﹣a（a＜0） 【分析】根据符号语言可知：a＞0，则可知：|a|＝a（a＞0）符合题意． 【解答】解：“|a|＝a（a＞0）”所表达的意思是正数的绝对值等于它的本身， 故B 符合题意，其他选项不符合题意， 故选：B． 【变式训练5】（2025秋•潮南区期末）若abc≠0，则的取值不可能是（　　） A．0 B．1 C．3 D．﹣3 【分析】分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【解答】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， 则：1+1+1＝3； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0， 则：1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时， 设a＞0，b＞0，c＜0， 则：1+1﹣1＝1； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则：1﹣1﹣1＝﹣3； 综上所述：的值为3或﹣1或1或﹣3． 故选：A． 【变式训练6】（2025秋•牡丹江期末）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（　　） A．2a+2c﹣2b B．0 C．2c﹣2b D．2c 【分析】直接利用绝对值的性质结合数轴分别化简，进而得出答案． 【解答】解：由数轴可得：b＜a＜0，c＞0，|a|＜c， ∴a+c＞0，b﹣c＜0，a﹣b＞0， 故原式＝a+c﹣（b﹣c）﹣（a﹣b） ＝a+c﹣b+c﹣a+b ＝2c． 故选：D． 【变式训练7】（2025秋•河东区期末）若xy＞0，则值为（　　） A．3 或1 B．﹣1 或0 C．3或﹣1 D．﹣3或1 【分析】先计算绝对值，再计算除法，最后相减即可求解． 【解答】解：∵xy＞0， ∴当x＞0，y＞0时，1+1+1＝3， 当x＜0，y＜0时，1﹣1+1＝﹣1， 故选：C． 【变式训练8】（2026•滨州一模）|a|的意义是什么？ 【分析】利用数轴，绝对值的定义求解即可． 【解答】解：根据绝对值的定义，|a|表示在数轴上表示数a的点到原点的距离． 即当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a，当a＞0时，|a|＝a． 【变式训练9】（2025秋•广丰区期中）已知|x|＝8，|y|＝2． （1）求x，y的取值； （2）当x＜y，求3x+y的值． 【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可； （2）由x＜y，可分为x＝﹣8，y＝2和x＝﹣8，y＝﹣2两种情况代入3x+y中求解即可． 【解答】解：（1）∵|y|＝2，|x|＝8， ∴y＝±2，x＝±8， 则x的取值为8或﹣8，y的取值为2或﹣2； （2）当x＜y时， x＝﹣8，y＝﹣2时，3x+y＝3×（﹣8）+（﹣2）＝﹣26， x＝﹣8，y＝2时，3x+y＝3×（﹣8）+2＝﹣22， 则3x+y的值为﹣22或﹣26． 【变式训练10】（2025秋•恩施市月考）已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若x＞0，y＜0，求x，y的值； （2）若x＜y，求x，y的值． 【分析】（1）根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可； （2）先根据绝对值的意义得到x＝±3，y＝±7，再由x＜y，可得x＝±3，y＝7． 【解答】解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7， ∴x＝±3，y＝±7， 又∵x＞0，y＜0， ∴x＝3，y＝﹣7； （2）∵|x|＝3，|y|＝7，x＜y， ∴x＝±3，y＝7． 【变式训练11】（2025秋•天津校级期中）已知|x|＝3，|y|＝2． （1）x＝　±3　 ，y＝　±2　 ； （2）若x﹣y＜0，求x+2y的值． 【分析】（1）根据绝对值的定义即可得解； （2）由x﹣y＜0，确定x，y的值，最后代入x+2y即可得解． 【解答】解：（1）∵|x|＝3，|y|＝2， ∴x＝±3，y＝±2， 故答案为：±3，±2； （2）∵x＝±3，y＝±2，而x﹣y＜0， ∴x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2， ∴x+2y＝﹣3+4＝1或x+2y＝﹣3﹣4＝﹣7， 答：x+2y的值为1或﹣7． 【变式训练12】（2025秋•博山区期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【解决问题】 （1）当a＞0时，　1　 ，当a＜0时，　﹣1　 ． （2）如果有理数a、b满足ab＜0时，则　0　 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足abc＜0，求的值． 【分析】解决问题：（1）根据绝对值的意义进行化简即可； （2）根据ab＜0得出a、b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，分别代入求出结果即可； 类比探究：分两种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【解答】解：解决问题：（1）当a＞0时，， 当a＜0时，， 故答案为：1，﹣1； （2）∵ab＜0， ∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0， 当a＜0，b＞0时，； 当a＞0，b＜0时，； 综上，当ab＜0时，， 故答案为：0； 类比探究：∵abc＜0， ∴a、b、c中有1个负数或三个都是负数， ∴当a、b、c均为负数时，不妨设a＜0，b＜0，c＜0， 则， 当a、b、c中有一个负数，两个正数时，不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 则， 综上，的值为0或﹣4． 题型二：绝对值的几何意义 【典例精讲1】（2025秋•肥东县期末）已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由绝对值的定义确定a、b的符号以及绝对值，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由于|a|＝﹣a，|b|＝b，即a为非正数，b为非负数， 又∵|a|＞|b|＞0， ∴a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， 在数轴上表示a、b大致如下： 故选：C． 【典例精讲2】（2025秋•渝北区期末）如图，数轴上点A表示的数是2026，且A，B两点到原点O的距离相等，则点B表示的数是（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 【分析】由题意易得数轴上A，B两数互为相反数，然后根据绝对值的意义可进行求解． 【解答】解：∵A，B两点到原点O的距离相等， ∴数轴上A，B两数互为相反数， 又∵数轴上点A表示的数是2026， ∴数轴上点A表示的数是2026，且A，B两点到原点O的距离相等，则点B表示的数是﹣2026， 故选：B． 【典例精讲3】（2025秋•鼓楼区校级期末）关于|1﹣a|的说法不正确的是（　　） A．1减去a的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【分析】根据绝对值的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．|1﹣a|表示1减去a的绝对值，因此选项A不符合题意； B．|1﹣a|表示数轴上表示数1的点，到表示数a的点之间的距离，因此选项B不符合题意； C．|1﹣a|也可以表示数轴上表示数a的点，到表示数1的点之间的距离，因此选项C不符合题意； D．|1﹣a|表示1与a的差的绝对值，不是相反数，因此选项D符合题意； 故选：D． 【典例精讲4】（2025秋•肥城市期末）若|x﹣1|＝6，那么x的值为（　　） A．﹣5 B．7 C．﹣5或6 D．﹣5或7 【分析】根据绝对值的性质得到x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6，解之即可． 【解答】解：根据绝对值的性质可知： x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6， ∴x＝7或x＝﹣5， 故选：D． 【典例精讲5】（2025秋•让胡路区校级期末）下列判断正确的是（　　） A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若|a|＞|b|，则a＞b C．若a＝b，则|a|＝|b| D．若|a|＝|b|，则a＝b 【分析】对于A、B，可结合a与b的正负性举出例子进行判断，选项C也可根据绝对值的性质来判断； 对于D，根据“两个数绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数”作出判断． 【解答】解：对于A选项，当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，但|a|＜|b|，所以A选项错误； 对于B选项，当a＝﹣2，b＝﹣1时，|a|＞|b|，但a＜b，所以B选项错误； 对于C选项，当a＝b时，|a|＝|b|，正确； 对于D选项，当a＝3，b＝﹣3时，|a|＝|b|，但a≠b，所以D选项错误． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•东源县期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C． （1）填空：A，B之间的距离为a﹣b ，B，C之间的距离为b﹣c ； （2）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a|． 【分析】（1）根据数轴得出c＜b＜0＜a，|a|＞|c|＞|b|，求出距离即可； （2）根据数轴得出c＜b＜0＜a，|a|＞|c|＞|b|，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）从数轴可知：c＜b＜0＜a，|a|＞|c|＞|b|， ∴A，B之间的距离为a﹣b；B，C之间的距离为b﹣c； 故答案为：a﹣b；b﹣c； （2）∵从数轴可知：a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0， ∴|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a| ＝a+b+（c﹣b）﹣2（c﹣a） ＝a+b+c﹣b﹣2c+2a ＝3a﹣c． 【变式训练2】（2025秋•扬州期末）已知c＜0＜a，ab＜0，|b|＜|a|＜|c|． （1）在数轴上对应的（　　）标出a，b，c的位置； （2）化简：|b|﹣2|c﹣a|+|b﹣c|． 【分析】（1）判断a、b、c的符号以及绝对值的大小即可在数轴上表示出来； （2）判断b，b﹣c，c﹣a的符号，再根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵c＜0＜a， ∴c是负数，a是正数， ∵ab＜0，a、b异号，而a是正数， ∴b是负数， ∵|b|＜|a|＜|c|， ∴c离原点较远， 在数轴上标注a、b、c如图所示： （2）由（1）可知，b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0， ∴|b|﹣2|c﹣a|+|b﹣c| ＝﹣b+2（c﹣a）+b﹣c ＝﹣b+2c﹣2a+b﹣c ＝﹣2a+c． 【变式训练3】（2025秋•雁塔区校级期末）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　3　 ，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　15　 ，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　45　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　|x+1|　 ，如果|AB|＝2，那么x是　1或﹣3　 ． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　4　 ． 【分析】（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离． （3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和，当x在﹣1和3之间的2时有最小值． 【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是|﹣20﹣（﹣5）|＝15．数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是|15﹣（﹣30）|＝45． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3． （3）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和， 当x在﹣1和3之间的2时有最小值是4． 故答案为：3，15，45；|x+1|，1或﹣3；4． 【变式训练4】（2025秋•龙马潭区期末）【阅读理解】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，根据绝对值的定义，|a|表示数轴上表示数a的点与原点的距离，那么数轴上两点A、B表示的数为a、b，则点A与点B之间的距离为AB＝|a﹣b|．例如：|a﹣2|的几何意义是数轴上数a所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|a+1|＝|a﹣（﹣1）|，所以|a+1|的几何意义就是数轴上数a所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【问题解决】如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． （1）求AB的值； （2）若点M在A、B之间，求|m+4|+|m﹣8|的值； （3）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法计算即可； （2）根据条件去掉绝对值化简； （3）分类讨论，去掉绝对值并解方程即可． 【解答】解：（1）AB＝|﹣4﹣8|＝12； （2）根据题意得， |m+4|+|m﹣8| ＝|m﹣（﹣4）|+|m﹣8| ＝m﹣（﹣4）+8﹣m＝12； （3）当m＜﹣4时，|m+4|+|m﹣8|＝﹣（m+4）+[﹣（m﹣8）]＝20， m＝﹣8； 当m＞8时，|m+4|+|m﹣8|＝（m+4）+（m﹣8）＝20， m＝12； ∴m＝﹣8或12． 【变式训练5】（2025秋•芜湖期末）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|， 例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是　6　 ． （2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　4或﹣2　 ． （3）|x+1|+|x﹣2025|的最小值为　2026　 ． （4）|x+1|+|x﹣2025|＝2029，则x的值为　﹣2.5或2026.5　 ． 【分析】（1）根据题中结论解答即可； （2）|x﹣1|＝3的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 再分x在﹣1和2025之间和x不在﹣1和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在﹣1的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可． 【解答】解：（1）由题得，|1﹣（﹣5）|＝|1+5|＝6， ∴数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是6． 故答案为：6； （2）由|x﹣1|＝3得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． ∴x＝4或x＝﹣2． 故答案为：4或﹣2； （3）|x+1|+|x﹣2025|表示x与﹣1两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（2025﹣x）＝2026； 当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于﹣1与2025两点的距离，又|﹣1﹣2025|＝2026， ∴当x不在﹣1和2025之间，|x+1|+|x﹣2025|的值大于2026； 综上可知，当x在﹣1和2025之间时，|x+1|+|x﹣2025|的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026； （4）由（3）知，若|x+1|+|x﹣2025|＝2029， 则数x在﹣1的左侧或在2025的右侧，即x＜﹣1或x＞2025， 当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2025|＝﹣（x+1）﹣（x﹣2025）＝﹣2x+2024， 由﹣2x+2024＝2029，解得x＝﹣2.5； 当x＞2025时，|x+1|+|x﹣2025|＝（x+1）+（x﹣2025）＝2x﹣2024， 由2x﹣2024＝2029，解得x＝2026.5； 综上可知，x的值为﹣2.5或2026.5． 故答案为：﹣2.5或2026.5． 【变式训练6】（2025秋•呼兰区校级期中）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1； ∴|x+1|+|x﹣2|，通过以上阅读，解决问题： （1）直接写出|x+2025|的零点值是x＝　﹣2025　 ； （2）化简|x﹣4|+|x+7|； （3）直接写出|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为　9　 ． 【分析】（1）求出x+2025＝0时x的值即可得到答案； （2）先求出所求式子的零点，再仿照题意求解即可； （3）先求出所求式子的零点，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【解答】解：（1）当x+2025＝0时，x＝﹣2025， ∴|x+2025|的零点值是x＝﹣2025； （2）当x﹣4＝0时，x＝4， 当x+7＝0时，x＝﹣7， 当﹣7≤x＜4时，|x﹣4|+|x+7|＝﹣（x﹣4）+x+7＝﹣x+4+x+7＝11； 当x＜﹣7时，|x﹣4|+|x+7|＝﹣（x﹣4）﹣（x+7）＝﹣x+4﹣x﹣7＝﹣2x﹣3； 当x≥4时，|x﹣4|+|x+7|＝x﹣4+x+7＝2x+3； 综上所述，， （3）当x﹣1＝0时，x＝1，当x+8＝0时，x＝﹣8， 当﹣8≤x＜1时，|x﹣1|﹣|x+8|＝﹣（x﹣1）﹣（x+8）＝﹣x+1﹣x﹣8＝﹣2x﹣7， 当x＜﹣8时，|x﹣1|﹣|x+8|＝﹣（x﹣1）+（x+8）＝﹣x+1+x+8＝9； ∴当x＝﹣8时，|x﹣1|﹣|x+8|的值最大，最大为﹣2×（﹣8）﹣7＝9； 当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+8|＝x﹣1﹣（x+8）＝x﹣1﹣x﹣8＝﹣9； ∵9＞﹣9， ∴|x﹣1|﹣|x+8|的最大值为9． 【变式训练7】（2025秋•管城区校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示，|b﹣a|或|a﹣b|指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是　2　 ；表示数3和数﹣2的两个点之间的距离是　5　 ，数x与数﹣5表示的两个点之间的距离是　|x+5|　 ． （2）如果x表示一个有理数，则|x+4|+|x﹣4|＝10时，x＝　5或﹣5　 ． （3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣4|是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，数3和数1的两个点之间的距离为|3﹣1|，数3和﹣2的两个点之间的距离为|3﹣（﹣2）|，数x与数﹣5的两个点之间的距离为|x﹣（﹣5）|； （2）|x+4|+|x﹣4|＝10表示数轴上表示x的点分别到数﹣4与数4表示的两个点的距离和，分三种情况讨论即可； （3）根据（2）可知，当数x位于数4和数﹣4之间时，|x+4|+|x﹣4|的值最小，求出取值范围即可； 【解答】解：（1）数3和数1的两个点之间的距离为|3﹣1|＝2； 数3和﹣2的两个点之间的距离为|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5； 数x与数﹣5的两个点之间的距离为|x﹣（﹣5）|＝|x+5|； 故答案是：2；5；|x+5|； （2）|x+4|+|x﹣4|＝10表示数轴上表示x的点分别到数﹣4与数4表示的两个点的距离和为10， 当数x位于数﹣4的左边，则， |x+4|+|x﹣4|＝﹣（x+4）+4﹣x＝10， ∴﹣2x＝10， x＝﹣5； 当数x位于数4的右边，则， |x+4|+|x﹣4|＝x+4+x﹣4＝10， ∴2x＝10， ∴x＝5； 当数x位于数4和数﹣4的中间，则， |x+4|+|x﹣4|＝x+4+4﹣x＝8≠10，舍去； 故答案是：5或﹣5； （3）存在，理由如下： 当数x位于数﹣4的左边，即x＜﹣4，则， |x+4|+|x﹣4|＝﹣（x+4）+4﹣x＝﹣2x＞8， 当数x位于数4的右边，即x＞4，则， |x+4|+|x﹣4|＝x+4+x﹣4＝2x＞8； 当数x位于数4和数﹣4上及中间，即﹣4≤x≤4，则， |x+4|+|x﹣4|＝x+4+4﹣x＝8； ∴当﹣4≤x≤4时，|x+4|+|x﹣4|有最小值8． 【变式训练8】（2025秋•抚州校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|；那么，表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ； （2）如果数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　6　 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，并计算这些点表示的数的和． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离列式计算即可； （2）先根据a的取值范围去掉绝对值号，然后进行计算即可； （3）分x＜﹣2、﹣2≤x≤5和x＞5三种情况，分别化简绝对值，由此可得出符合条件的整数点，再相加即可． 【解答】解：（1）∵数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|， ∴﹣3和2两点之间的距离是|﹣3﹣2|＝5， 答：﹣3和2两点之间的距离是5， 故答案为：5； （2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间， ∴a+4＞0，a﹣2＜0， ∴|a+4|+|a﹣2|＝a+4+2﹣a＝6， 故答案为：6； （3）根据题意，可分以下三种情况： ①当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣5|＝﹣x﹣2+5﹣x＝﹣2x+3＞7， ②当﹣2≤x≤5时，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+5﹣x＝7， ③当x＞5时，|x+2|+|x﹣5|＝x+2+x﹣5＝2x﹣3＞7， 则使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5， ∴﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12， 故这些点表示的数的和是12． 【变式训练9】（2025秋•长宁县月考）【阅读】数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是 　|2﹣（﹣3）|或|﹣3﹣2|　 ；式子|a+5|的几何意义是 　数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离；　 ； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝ 　5或﹣1　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值是 　7　 ． 【分析】（1）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可得，在数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离是3，进而求解即可； （3）根据题意得﹣2＜x＜5，再进行化简求解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|， ∴表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|或|﹣3﹣2|， ∴式子|a+5|的几何意义是数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离， 故答案为：|2﹣（﹣3）|或|﹣3﹣2|，数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； （2）∵|x﹣2|＝3的几何意义是在数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离是3， ∴x＝2+3＝5或x＝2﹣3＝﹣1， 故答案为：5或﹣1； （3）∵表示x的点在﹣2与5之间移动时， ∴﹣2＜x＜5， ∴|x﹣5|+|x+2|＝5﹣x+x+2＝7， 故答案为：7． 【变式训练10】（2025秋•高新区校级月考）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|x﹣2|表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|x﹣1|+|x+2|可理解为在数轴上x对应的点分别到1和﹣2所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： （1）|x﹣3|可理解为x 与　3　 在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）请你结合数轴探究： ①|x﹣3|+|x+2|的最小值是　5　 ； ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值为　8　 ； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【分析】（1）绝对值的几何意义，|x﹣a|表示x与a的差的绝对值，可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）|x﹣3|+|x+2|表示在数轴上x对应的点分别到3、﹣2所对应的点之间的距离之和，分别讨论x在﹣2的左侧、3的右侧或者﹣2和3中间时，距离之和的大小即可； （3）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为x，然后根据题目条件用x表示总成本，由（2）可得实验室建在A、C之间（包含A、C）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【解答】解：（1）|x﹣3|表示x与3的差的绝对值，可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：x，3． （2）①|x﹣3|+|x+2|表示在数轴上x对应的点分别到3、﹣2所对应的点之间的距离之和，当﹣2≤x≤3时，|x﹣3|+|x+2|的值为3﹣（﹣2）＝5，当x＜﹣2或x＞3时，|x﹣3|+|x+2|＞5，则|x﹣3|+|x+2|的最小值是5； 故答案为：5． ②|x+3|+|x+6|+|x﹣2|表示在数轴上x对应的点分别与﹣3、﹣6和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，当x＝﹣3时，|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的值为2﹣（﹣6）＝8，当x≠﹣3时，|x+3|+|x+6|+|x﹣2|＞8，则|x+3|+|x+6|+|x﹣2|的最小值是8； 故答案为：8． （3）以市民广场O为原点，A、B、C分别为﹣5、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， 总运输和包装成本为3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|，由（2）知﹣5≤x≤3时，总成本可能取到最小值， 当﹣5≤x≤1时，3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|＝20， 当1＜x≤3时，3|x+5|+2|x﹣1|+|x﹣3|＝4x+16， ∵1＜x≤3， ∴4x+16＞20． 则，当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份． 【变式训练10】（2025秋•广元校级月考）在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|． [尝试运用] （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数﹣5，﹣1，3，那么点A到点B的距离是 　4　 ，点A到点C的距离是 　8　 （直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣3，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 　|x+3|+|x﹣1|　 （用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足|x﹣3|+|x+1|＝8的x的所有值是 　5或﹣3　 ； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 　4　 ；当x的值在 　1≤x≤3　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2，当x的值取3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是 　4　 ； （4）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据数轴上两点距离的计算方法得到A、B之间的距离为|x+3|，A、C之间的距离为|x﹣1|即可； （3）①分x＜﹣1，x＞3，﹣1≤x≤3三种情况进行解答；②根据x的不同取值范围得出答案； （4）当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的值最小，最小值为1+3+5+…+97+99． 【解答】解：（1）由条件可知A到B的距离是|﹣5﹣（﹣1）|＝4，A到C的距离是|﹣5﹣3|＝8， 故答案为：4，8； （2）由条件可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|， 故答案为：|x+3|+|x﹣1|； （3）①当x＜﹣1时，|x﹣3|+|x+1|＝8即3﹣x﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣3， 当x＞3时，|x﹣3|+|x+1|＝8即x﹣3+x+1＝8，解得x＝5， 当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|表示﹣1，3在数轴上对应的两点之间的距离为4，不可能为8，则此情况不成立； 故满足的x的所有值是5或﹣3， 故答案为：5或﹣3； ②设|x﹣3|+|x+1|＝m，当﹣1≤x≤3时，m的值不变，且是m的最小值，最小值是3﹣（﹣1）＝4， 当x在1≤x≤3时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是|3﹣1|＝2， 当x的取值是3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是4， 故答案为：4，1≤x≤3，4； （4）当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值为． 题型三：相反数的代数意义 【典例精讲1】（2026春•武进区校级月考）2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：2026的相反数是﹣2026． 故选：A． 【典例精讲2】（2026•章丘区校级模拟）下列说法正确的是（　　） A．﹣3是相反数 B．+3是相反数 C．﹣3不是3的相反数 D．﹣3与+3互为相反数 【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：A、﹣3是3的相反数，故此选项错误； B、+3是﹣3的相反数，故此选项错误； C、﹣3是3的相反数，故此选项错误； D、﹣3与+3互为相反数，故此选项正确． 故选：D． 【典例精讲3】（2026•高碑店市模拟）若m与n互为相反数，则2（m+n）﹣3＝（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【分析】根据互为相反数的两数和为0，整体代入计算即可得到结果． 【解答】解：由题意得，m+n＝0， ∴2（m+n）﹣3＝2×0﹣3＝﹣3． 故选：B． 【典例精讲4】（2026•绵阳一模）若一个数的相反数是它本身．则这个数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：∵一个数的相反数是它本身． ∴这个数是0． 故选：C． 【变式训练1】（2026•合肥校级一模）下列实数中，其相反数比本身大的是（　　） A．2026 B．0 C． D．﹣2026 【分析】先根据题意推出符合条件的数是负数，再判断各选项的正负性即可得到答案． 【解答】解：设这个数为a， ﹣a＞a， 移项得﹣2a＞0， ∴a＜0即符合条件的数是负数． 2026＞0，不合题意； 0＝0，不合题意； 0，不合题意； ﹣2026＜0，合题意； 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•洪山区月考）已知（a﹣1）2与互为相反数，则（﹣3）a+2b的值为（　　） A．7 B．﹣1 C．1 D．﹣7 【分析】根据相反数的定义、偶次幂以及绝对值的非负性，得出a﹣1＝0，b﹣2＝0，求得a，b的值，代入代数式，即可求解． 【解答】解：∵（a﹣1）2与互为相反数， ∴， ∵（a﹣1）2≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴（﹣3）1+22＝1． 故选：C． 【变式训练3】（2025秋•邹城市期末）若a﹣2与b+3互为相反数，则a+b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据互为相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程a﹣2+b+3＝0，进而求解即可． 【解答】解：根据题意可知，a﹣2+b+3＝0， 解得：a+b＝﹣1． 故选：A． 【变式训练4】（2025秋•崇明区校级期中）若﹣[﹣（﹣a）]＝﹣1，a的相反数为　﹣1　 ． 【分析】先根据化简多重符合得a＝1，则可得a的相反数． 【解答】解：∵﹣[﹣（﹣a）]＝﹣1， ∴a＝1， ∴a的相反数为：﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式训练5】（2025秋•乌拉特前旗校级月考）已知a与b互为相反数，b与c互为相反数，且c＝﹣4，则a＝　﹣4　 ． 【分析】根据相反数的定义可得b＝4，再根据相反数的定义即可得． 【解答】解：∵a与b互为相反数，b与c互为相反数，且c＝﹣4， ∴b＝4， ∴a＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【变式训练6】若a，b互为相反数，则5（a+b）﹣2的值为　﹣2　 ． 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：由题意得，a+b＝0， 则5（a+b）﹣2＝0﹣2＝﹣2 故答案为：﹣2． 题型四：相反数的几何意义 【典例精讲1】（2025秋•淮滨县期末）如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C表示的数是　1　 ． 【分析】根据给出的条件可求得原点的位置，然后求C表示的数即可． 【解答】解：由点A，B表示的数互为相反数， 则数轴为： ， 所以由数轴可得，点C表示的数1． 故答案为：1． 【典例精讲2】（2025秋•永川区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 　﹣2　 ． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：4÷2＝2， 则这两个数是+2和﹣2． 故答案为：﹣2． 【典例精讲3】已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示，那么a,b,-a,-b的大小关系是 ．（用“＞”连接） 【分析】首先根据图形，可得a＜0＜b,且|a|＞|b|，再根据一对相反数在数轴上分别在原点的左右两边，并且到原点的距离相等的特点，可得出-a,-b在数轴上的位置，然后根据数轴上，右边的数总大于左边的数，可得出结果． 【解答】解：根据图形可知：|a|＞|b|，a＜0，b＞0， ∴-a＞b＞-b＞a. 【变式训练1】（2025秋•泉州校级月考）若点A、点B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是8，点A在点B的左侧，则点A表示的数是　﹣4或4　 ． 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【解答】解：由A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是8，点A在点B的左边，得点A、B表示的数是﹣4，4， 故答案为：4或﹣4． 【变式训练2】（2025秋•朝天区期中）如图，数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 【分析】根据数轴上各点到原点的距离估计出各数的值，再根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：由数轴上各点到原点的距离的大小可知各点所表示的数大致为： A、﹣3.8； B、﹣2.2； C、﹣0.8； D、0.8； E、2.2． 故互为相反数的数有B和E；C和D两组． 【变式训练3】（2025秋•钱塘区期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点A，B，C． （1）若点A表示的数是﹣2，直接写出点B，C表示的数． （2）若点A，C所表示的数互为相反数，求出点B表示的数． （3）若点B与原点之间的距离为3，求出点C表示的数． 【分析】（1）根据数轴上点的表示方法即可求解； （2）先确定原点的位置，即可得到点B表示的数； （3）分情况讨论，点B在原点左侧或右侧，即可求出点C表示的数． 【解答】解：（1）点B表示的数是4，点C表示的数是6． （2）点B表示的数是2． （3）若点B与原点左侧之间的距离为3，点C表示的数是﹣1； 若点B与原点右侧之间的距离为3，点C表示的数是5． 【变式训练4】（2025秋•平桥区月考）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． （1）若原点落在点B处，则点A表示的数是　﹣9　 ，点C表示的数是　3　 ． （2）若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是　3　 ． （3）用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【分析】（1）根据原点位置结合AB＝9，BC＝3，即可解答； （2）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； （3）先表示出A，B，C三点表示的数，求和即可． 【解答】解：（1）∵原点落在点B处，BC＝3，AB＝9， ∴点C表示的数是0+3＝3， 点A表示的数是0﹣9＝﹣9， 故答案为：﹣9，3； （2）∵BC＝3，AB＝9， ∴AC＝AB+BC＝12， ∵A，C表示的数互为相反数， ∴点C表示的数是6，点A表示的数是﹣6， ∴此时点B表示的数是6﹣3＝3， 故答案为：3； （3）∵将原点从点B向左移动2个单位： ∴点B表示的数是2， ∵BC＝3，AB＝9， ∴点A表示的数是2﹣9＝﹣7，点C表示的数是3+2＝5， ∵P表示A，B，C三点表示的数之和， ∴若将原点从点B向左移动2个单位，则P＝﹣7+2+5＝0． 【变式训练5】（2025秋•西安校级月考）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　﹣1　 ； （2）若t＝﹣2，求m+n的值． 【分析】（1）根据点M和点N之间的距离为6个单位长度，m与n互为相反数，得出m＝﹣3，n＝3，根据点M和点T之间的距离为2个单位长度，即可得出答案； （2）先根据t＝﹣2，点M和点T之间的距离为2个单位长度，T与N之间的距离为4个单位长度，求出m、n的值，然后再求和即可． 【解答】解：（1）根据数轴可知：MN＝6， ∵m与n互为相反数， ∴m＝﹣3，n＝3， ∵点M和点T之间的距离为2个单位长度，且点T在点M的右边， ∴t＝﹣3+2＝﹣1； （2）∵t＝﹣2，点M和点T之间的距离为2个单位长度，T与N之间的距离为4个单位长度， ∴m＝t﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4，n＝t+4＝﹣2+4＝2， ∴m+n＝﹣4+2＝﹣2． 【变式训练6】（2025秋•怀宁县期中）数轴上表示数a，b的点如图所示． （1）在数轴上分别用A，B两点表示﹣a，﹣b； （2）若表示数b与﹣b的点相距20个单位长度，则数b与﹣b分别是多少？ （3）在（2）的条件下，若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度，则数a与﹣a分别是多少？ 【分析】（1）根据相反数的几何意义，以及有理数与数轴关系画图即可； （2）根据表示数b与﹣b的点相距20个单位长度，得到表示数b与﹣b的点到原点的距离，进而即可得到数b与﹣b分别表示的有理数； （3）根据题意得到表示数a的点到原点的距离，进而即可求出数a与﹣a分别表示的有理数． 【解答】解：（1）分别用A，B两点表示﹣a，﹣b，如图所示： （2）由条件可知数b与﹣b的点到原点的距离均为20÷2＝10个单位长度． 所以数b是﹣10，数﹣b是10． （3）∵表示﹣b的点到原点的距离为10个单位长度，表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度， ∴表示数a的点到原点的距离为10﹣5＝5个单位长度． ∴数a是5，数﹣a是﹣5． 【变式训练7】（2024秋•馆陶县期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： （1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ （2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可． 【解答】解：（1）点C表示的数是﹣1； （2）点C表示的数是0.5，D表示的数是﹣4.5． 【变式训练8】（2024秋•莘县校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b； （2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b表示的数； （3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a表示的数． 【解答】解：（1）如图，； （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10， 所以b表示的数是﹣10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为5， 所以a表示的数是5 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $