1.4 充分条件与必要条件（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 知识点1 命题的概念判断 1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误，故选：B 2．（24-25高一上·新疆喀什·月考）下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.故选：C. 3．（23-24高一上·广西河池·月考）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题. 其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题.故选：B. 4．（23-24高一上·北京·月考）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【解析】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选：D 知识点2 命题的真假判断 1．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【解析】p为假，q为真,故选：B 2．（24-25高一上·广东普宁·月考）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【解析】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误，故选：B 3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错.故选：C. 4．下列命题为假命题的是（    ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【解析】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形； B是真命题，或能得到； C是真命题，因为当时，任意奇数， 所以一个奇数是两个整数的平方差； D是假命题，不满足． 知识点3 充分、必要、充要条件的判断 1．（24-25高一上·云南红河·期末）甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若甲不是冠军，则乙是冠军或丙是冠军； 若乙是冠军，则甲不是冠军， 所以“甲不是冠军”是“乙是冠军”的必要不充分条件.故选：C. 2．（24-25高一上·四川绵阳·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为， 所以不能推出，而由可以推出， 所以是的必要不充分条件.故选：B. 3．（24-25高一上·广东广州·月考）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，， 即“”是“” 必要不充分条件.故选：B. 4．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】集合， 因等价于，即或， 解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 知识点4 充分、必要、充要条件的探究 1．（24-25高一上·广东惠州·月考）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件.故选：B. 2．（24-25高一上·海南·月考）（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件.故选：AD. 3．（24-25高一上·广东中山·月考）（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求.故选：AD. 4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 所以是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知，D符合.故选：D 知识点5 由条件关系求参数的取值范围 1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法1  设，， 由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C； 若，则，故不成立，排除D． 2．（24-25高一上·吉林·月考）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因是的充分条件，则， 故，则.故选：D 3．（24-25高一上·北京·月考）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【解析】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 知识点6 充要条件的证明 1．证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】证明见解析 【解析】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 2．（24-25高一上·山东泰安·月考）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解析】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 3．（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【解析】充分性： 若，则，即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 4．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解析】必要性：设方程与的公共根为， 则，， 两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是，故选：A. 2．（24-25高一上·四川自贡·月考）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件.故选：C. 3．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 4．（24-25高一上·福建泉州·月考）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【解析】因为此数为小于5的正整数，故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2.故选：C 1．（23-24高一上·北京·月考）设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合， 当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确； 对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合， S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误； 对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合， 当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误； 对于D，灯泡L亮，开关S未必闭合，故p不是q的充分条件，D错误.故选：A. 2．（24-25高一上·重庆·月考）当时，定义运算：当时，；当时，；当时，，则“，或，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：当，或，时，，则，充分性成立； 必要性：当时，显然当时，，当时，，均不符合题意， 当时，，则，当时，，则，必要性成立； 所以“，或，”是“”的充分必要条件．故选：C. 3．（24-25高一上·江西·月考）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程，可得或1，得， 依题意，需使选项中的范围是区间的真子集， 故成立的一个充分不必要条件是．故选：D. 4．（24-25高一上·江西新余·月考）定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（   ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】如图，由于，故两个阴影部分均为， 于是，， 若，则IIV， 而，成立; 反之，若， 则由于，， . 故是的充要条件，故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 充分条件与必要条件 知识点1 命题的概念判断 1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 2．（24-25高一上·新疆喀什·月考）下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·广西河池·月考）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高一上·北京·月考）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 知识点2 命题的真假判断 1．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 2．（24-25高一上·广东普宁·月考）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 4．下列命题为假命题的是（    ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 知识点3 充分、必要、充要条件的判断 1．（24-25高一上·云南红河·期末）甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·四川绵阳·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·广东广州·月考）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点4 充分、必要、充要条件的探究 1．（24-25高一上·广东惠州·月考）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南·月考）（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东中山·月考）（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 知识点5 由条件关系求参数的取值范围 1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林·月考）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京·月考）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 知识点6 充要条件的证明 1．证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 2．（24-25高一上·山东泰安·月考）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 3．（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 4．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川自贡·月考）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·福建泉州·月考）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 1．（23-24高一上·北京·月考）设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·月考）当时，定义运算：当时，；当时，；当时，，则“，或，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江西·月考）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江西新余·月考）定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$