3.1平方根（讲义，4个知识点8大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“平方根”核心知识点，从正方形面积求边长的实际情境切入，系统梳理平方根与算术平方根的定义、符号表示及性质，构建“概念理解—性质应用—运算推理—实际解决”的学习支架，明确被开方数非负性与双重非负性等关键要点。 资料通过“易错提醒+随学随练”强化概念辨析，如区分平方根与算术平方根，结合双重非负性求值题型培养推理意识，实际问题（如正方体边长计算）发展应用意识。课中辅助教师突出重难点，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第三章 实数 3.1 平方根 课标要点 1.结合正方形面积求边长的实际情境，理解平方根、算术平方根的定义，掌握平方与开平方互为逆运算的关系。 2.会正确读写平方根、算术平方根的符号，明确被开方数≥0的取值要求。 3.能依据平方运算，熟练求出非负数的平方根与算术平方根，区分正数有两个互为相反数的平方根、0的平方根是0、负数没有平方根。 4.掌握算术平方根的非负性，能利用双重非负性进行简单求值推理。 5.能运用平方根知识解决正方形边长、面积相关实际问题，建立平方与开方互逆运算的逻辑。 学习重难点 重点：1.平方根、算术平方根的概念与符号书写。 2.熟练求正数、0的平方根与算术平方根。 难点：1.区分平方根与算术平方根，避免漏写正负号、多写符号等错误。 2.理解被开方数非负、算术平方根非负的双重非负性，并用于求值计算。 3.结合方程、实际几何问题综合运用平方根求解。 知识点 平方根的定义（重点） 1.定义：如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根，也叫二次方根。 2.表示方法：正数a的平方根记作，读作“正负根号a”。 易错提醒 只有非负数才有平方根，负数不存在平方根；做题时不要遗漏负的平方根，容易只写算术平方根。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 【答案】A 【分析】根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根，据此解答即可． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）5的平方根是__________． 【答案】 【详解】根据平方根的定义，若，则称为的平方根，正数有两个平方根，且互为相反数． 因为， 所以的平方根是． 知识点 平方根的性质（重点） 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 2.0只有一个平方根，就是0本身； 3.负数没有平方根。 特别提醒 若一个正数的平方根为m和n，则满足m+n=0，常以此出求值类题型。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江·单元复习）下列说法中正确的个数是（    ） ①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：①的平方根是，原说法错误； ②当时，有平方根，原说法错误； ③非负数a的平方根可以是负数，原说法错误； ④负数没有平方根，说法正确； ⑤0的平方根等于本身，原说法错误； 正确的为④， 故选A． 2．（2026七年级上·浙江·专题练习）一个正数的两个平方根是和，则_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的计算及性质，根据一个正数的两个平方根互为相反数，和为零即可求解，掌握平方根的计算方法即性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得，， 故答案为：． 知识点 算术平方根（重点、难点） 1.定义：正数a的正平方根叫做a的算术平方根，记作；0的算术平方根是0。 2.双重非负性： ①被开方数非负：a≥0； ②算术平方根结果非负：≥0。 易错提醒 仅表示算术平方根，结果一定是非负数；区分、、三者含义。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，利用非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分必须为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，且 ， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：2 知识点 开平方运算及其简单应用 1.定义：求一个数平方根的运算叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。 2.基础应用：已知平方数求平方根、已知平方根求原数。 教材延伸 1.非负性综合题型：若+|b|=0，则a=0且b=0，是考试高频大题； 2.拓展：算术平方根增大，对应的被开方数同步增大，可用于无理数大小估算。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）一个正方体的表面积为，则这个正方体的边长为（   ） A．10 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，几何体的表面积，正确计算是解题的关键．正方体的表面积由6个相同的正方形面组成，已知表面积，可通过除以6再开平方求边长． 【详解】解：设正方体的边长为 ， ∵表面积公式为 ， ∴， ∴ （）． 故选：D． 2．（2026七年级上·浙江·专题练习）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为个单位长度）． 【答案】图中阴影正方形面积为， 边长为 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键．先计算出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：图中阴影正方形面积为：， 阴影正方形边长为． 题型 求一个数的平方根 ▌例1 （26-27八年级·江苏·暑假作业）16的平方根是_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若一个数的平方等于 ，则就是 的平方根，据此求解即可． 【详解】解：， 的平方根是． 解题贴士 一个正数有两个互为相反数的平方根，一正一负。 ▌对点练1-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）的平方根是______． 【答案】 【分析】先计算出的值，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． ▌对点练1-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，即可得出81的平方根是； （2）根据，即可得出的平方根是； （3）根据，即可得出的平方根是； 【详解】（1）解：∵ ∴81的平方根是； （2）解：∵ ∴的平方根是； （3）解：∵ ∴的平方根是； 题型 求一个数的算术平方根 ▌例2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化为假分数，再算即可． 【详解】解：∵， 又∵算术平方根的结果为非负数， ∴． 解题贴士 计算带分数的算术平方根时，必须先把带分数化为假分数，再开方，不能直接拆分整数与分数部分分别开方。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、 ，符合题意； B、表示81的平方根，结果为 ，原式错误，不符合题意； C、 ，不符合题意； D、 ， ， ，不符合题意． ▌对点练2-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）81的算术平方根是_______． 【答案】9 【详解】解：81的算术平方根是9． 题型 算术平方根的双重非负性 ▌例3 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则的平方根________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x与y的值是解题的关键． 根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到，，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 解题贴士 初中三类常见非负数：算术平方根、平方m2、绝对值|n|。 ▌对点练3-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方根和平方的和为零，则每个部分均为零，从而求出 和 的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为，且 ，， 所以 且 ， ，即 ， ，即 ， ， ． 故选B． ▌对点练3-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，为有理数且，则的平方根为_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及平方根的定义，根据算术平方根的定义得到被开方数为非负数，即可确定的值，再求的值，进而确定的平方根．掌握算术平方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 故答案为：． 题型 估算算术平方根的取值范围 ▌例4 （25-26七年级上·浙江·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ， 比较接近整数5， 故选：C． 解题贴士 找到被开方数左右两边最近的两个完全平方整数，写出不等式： 若a2 < n < b2，则 a<<b。 ▌对点练4-1 （2026七年级下·浙江·专题练习）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究：；问题解决：方法①；方法②；比较分析用②的形式求的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． ▌对点练4-2 （26-27八年级·江苏·暑假作业）阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【详解】（1）解：，与最接近， 的最初近似值为； 的二级近似值是； （2）解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 题型 求算术平方根的整数部分与小数部分 ▌例5 （2026·浙江嘉兴·二模）若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先找出与11相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可对应得到整数的值． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 又∵，为整数， ∴． 解题贴士 无理数=整数部分+小数部分，因此小数部分=无理数-整数部分。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）的小数部分是a，则a的值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 的整数部分是3，小数部分为， 故选：B． ▌对点练5-2 （2026·浙江·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到的取值范围即可； （2）仿照示例作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵m是的整数部分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6， 所以可以取，则， 则． 题型 已知一个数的平方根，求这个数 ▌例6 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知某数的一个平方根为，求这个数和它的另一个平方根． 【答案】这个数是11，另一个平方根是 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的意义解答即可． 【详解】解：∵某数的一个平方根为， ∴这个数是． ∴11的另一个平方根为． 解题贴士 1.若两个平方根是含字母的代数式，利用“互为相反数，相加为0”列方程求解字母； 2.求原数：将已知平方根整体平方，得到这个正数。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】16 【分析】本题考查平方根，涉及相反数、解一元一次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 则一个平方根为，另一个平方根为， 故这个正数为， 故答案为：16． ▌对点练6-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 题型 算术平方根的实际应用 ▌例7 （26-27七年级·浙江·暑假作业）学校小会议室的面积为，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖，正好是50块．求每块地板砖的边长． 【答案】每块地板砖的边长为米 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据实际意义平方根取正是解答本题的关键． 根据18平方米正好用了50块地板砖求得每块地板砖的面积，再利用算术平方根即可解答． 【详解】解：面积为，正好用了50块正方形地板砖， 每块地板砖的面积为：， 每块地板砖的边长为米． 解题贴士 长度、面积类实际问题中，边长不能为负数，只取算术平方根（正数结果），舍去负根。 ▌对点练7-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）一个正方形鱼池的边长是，另一个正方形鱼池的面积比它大．求较大鱼池的边长． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键． 根据求得大鱼池的面积，利用算术平方根解决此题． 【详解】解：一个正方形鱼池的边长是，其面积为， 另一个正方形鱼池的面积比它大， 另一个正方形鱼池的面积为， 较大的鱼池的边长． 答：较大鱼池的边长为． ▌对点练7-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握算术平方根的定义； 将已知下降高度代入给定公式，通过求解算术平方根得到下降时间，再精确到1秒即可选出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得（负值已舍）， ∴， 故选：A． 题型 与算术平方根有关的规律探索题 ▌例8 （26-27七年级·浙江·暑假作业）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 解题贴士 被开方数的小数点每向左/右移动 2 位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动1位。 ▌对点练8-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，，则______，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位．被开方数是把的小数点向左移动2位后得到的，则的值是把的值小数点向左移动1位；62400是把小数点向右移动4位，则是将的值向右移动2位得到． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：；． ▌对点练8-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）“”的意义表达正确的是（   ） A．的平方根是4 B．的算术平方根是4 C．16的平方根是4 D．16的算术平方根是4 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据平方根和算术平方根的定义，判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、的平方根是，故本选项错误，不符合题意； B、的算术平方根是2，故本选项错误，不符合题意； C、16的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D、16的算术平方根是4，故本选项正确，符合题意； 故选：D 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．熟练掌握概念是解题关键； 先计算16的算术平方根，再求该结果的平方根． 【详解】∵， 又 ∵ 4的平方根是， ∴的平方根是． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，此选项符合题意； B．，此选项不符合题意； C．，此选项不符合题意； D．，此选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）小明在学习《平方根》一课后，知道“如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根”．他发现，则2025的平方根是（   ） A．45 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 由可知，2025的平方根是． 【详解】解：， 根据平方根的定义，2025的平方根是． 故选：C． 5．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江·单元复习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 25 根据以上规律，若，则（    ） A． B．379 C．12 D．120 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 7．（2026·浙江温州·三模）计算：______． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的运算法则求解即可． 【详解】解：． 8．（2026七年级上·浙江·专题练习）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是___________ 【答案】25 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)1是1的平方根． (2)1的平方根是1． (3)的平方根是． (4)的平方根是． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)错误，理由见解析 (3)正确，理由见解析 (4)错误，理由见解析 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据平方根的定义求解判断即可． 【详解】（1）解：1是1的平方根，正确； （2）解：1的平方根是，原说法错误； （3）解：的平方根是，原说法错误； （4）解：没有平方根，原说法错误． 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根：； (2)算术平方根：；平方根：； (3)算术平方根：；平方根：； (4)算术平方根：；平方根：； (5)算术平方根：；平方根：； (6)算术平方根：；平方根：． 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键． （1）针对，根据算术平方根（非负数的正平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果； （2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根； （3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根； （4）针对，依据质数的开方性质，确定其算术平方根与平方根的表达式； （5）针对，通过二次根式化简的方法，得到它的算术平方根与平方根； （6）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：算术平方根：；平方根：； （5）解：算术平方根：；平方根：； （6）解：算术平方根：；平方根：． 12．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求算术平方根，求平方根，熟练计算是解题的关键． 依据题意，根据算术平方根和平方根的定义，逐个进行化简与计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44，求这个数． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 【分析】本题考查平方根，熟练计算一个数的平方根是解题的关键． （1）计算196的算术平方根即可； （2）计算的算术平方根的相反数即可； （3）计算1.44的算术平方根及其相反数． 【详解】解：（1）一个正数的平方等于196 ； （2）一个负数的平方等于 ； （3）一个数的平方等于1.44 ． 14．（26-27七年级·浙江·暑假作业）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 【答案】王叔叔没有超速，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，熟练应用平方根的性质计算是解题的关键．根据题意，将代入，求出速度，即可解答． 【详解】解：王叔叔没有超速．理由如下： 将代入，得． ， ， 是正数， ． ， 王叔叔没有超速． 素养提升 15．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 16．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 17．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）若，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性求解，求一个数的算术平方根，根据开方数是非负数得出关于x的不等式组，求出x的值， 再根据式子求出y的值，最后代入求出的算术平方根即可． 【详解】解：由被开方数是非负数，得 解得：， ∴， ∴． ∴ 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？ （2）已知，是实数，且，求的平方根． 【答案】（1）25（2） 【分析】（1）本题考查的是平方根的含义，由正数的两个平方根互为相反数建立方程求解即可； （2）本题考查的是算术平方根的非负性的应用，绝对值非负性的应用，由非负数的性质建立方程求解，再求解及其平方根即可． 【详解】解：（1）∵某正数的平方根为和， ∴， 解得：， ∴这个数是． （2）∵， ∴，， ∴，， ∴=， ∴的平方根为． 19．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【答案】(1) (2)小正方形的面积为，边长为 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用 （1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）根据图形可得大正方形的边长为，用大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出小正方形的面积，进而求得其边长． 【详解】（1）小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：根据图形可得大正方形的边长为， ∴小正方形的面积为 ∴小正方形的边长为． 迁移创新 20．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，正确理解新定义的含义．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．根据的定义，将式子按的值分组，每组内符号交替，分别计算每组和再求和． 【详解】解：，， 、这个数等于1， ，， 到有个数等于2， ，， 到共有个数等于3， ， ，， 到之间工有个数等于44， ． 故选：C． 21．（25-26七年级上·浙江金华·期中）根据下表回答下列问题： x (1)若介于与之间，则满足条件的整数n有 个； (2) ； (3)的平方根是 ； (4)若这个数的整数部分为m，则 ； 【答案】(1)4 (2)171 (3) (4) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的概念及无理数整数部分的确定，解题的关键是结合表格中的平方数信息进行对应运算． （1）求与，确定的范围后数整数个数； （2）将29241转化为表格中平方数的倍数形式，找到对应； （3）根据表格找316.84对应的，再写其平方根；（4）确定的整数部分，代入式子计算． 【详解】（1）解：由表得，， 则， 满足的整数为310、311、312、313，共4个． 故答案为：4． （2）解：， 则． 故答案为：171． （3）解：由表得， 则316.84的平方根是． 故答案为：． （4）解：由表得， 又∵， 则的整数部分，代入得． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数 3.1 平方根 课标要点 1.结合正方形面积求边长的实际情境，理解平方根、算术平方根的定义，掌握平方与开平方互为逆运算的关系。 2.会正确读写平方根、算术平方根的符号，明确被开方数≥0的取值要求。 3.能依据平方运算，熟练求出非负数的平方根与算术平方根，区分正数有两个互为相反数的平方根、0的平方根是0、负数没有平方根。 4.掌握算术平方根的非负性，能利用双重非负性进行简单求值推理。 5.能运用平方根知识解决正方形边长、面积相关实际问题，建立平方与开方互逆运算的逻辑。 学习重难点 重点：1.平方根、算术平方根的概念与符号书写。 2.熟练求正数、0的平方根与算术平方根。 难点：1.区分平方根与算术平方根，避免漏写正负号、多写符号等错误。 2.理解被开方数非负、算术平方根非负的双重非负性，并用于求值计算。 3.结合方程、实际几何问题综合运用平方根求解。 知识点 平方根的定义（重点） 1.定义：如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根，也叫二次方根。 2.表示方法：正数a的平方根记作，读作“正负根号a”。 易错提醒 只有非负数才有平方根，负数不存在平方根；做题时不要遗漏负的平方根，容易只写算术平方根。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）5的平方根是__________． 知识点 平方根的性质（重点） 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 2.0只有一个平方根，就是0本身； 3.负数没有平方根。 特别提醒 若一个正数的平方根为m和n，则满足m+n=0，常以此出求值类题型。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江·单元复习）下列说法中正确的个数是（    ） ①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026七年级上·浙江·专题练习）一个正数的两个平方根是和，则_______________． 知识点 算术平方根（重点、难点） 1.定义：正数a的正平方根叫做a的算术平方根，记作；0的算术平方根是0。 2.双重非负性： ①被开方数非负：a≥0； ②算术平方根结果非负：≥0。 易错提醒 仅表示算术平方根，结果一定是非负数；区分、、三者含义。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）若实数x，y满足：，则的值为___． 知识点 开平方运算及其简单应用 1.定义：求一个数平方根的运算叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。 2.基础应用：已知平方数求平方根、已知平方根求原数。 教材延伸 1.非负性综合题型：若+|b|=0，则a=0且b=0，是考试高频大题； 2.拓展：算术平方根增大，对应的被开方数同步增大，可用于无理数大小估算。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）一个正方体的表面积为，则这个正方体的边长为（   ） A．10 B．6 C． D． 2．（2026七年级上·浙江·专题练习）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为个单位长度）． 题型 求一个数的平方根 ▌例1 （26-27八年级·江苏·暑假作业）16的平方根是_____． 解题贴士 一个正数有两个互为相反数的平方根，一正一负。 ▌对点练1-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）的平方根是______． ▌对点练1-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 题型 求一个数的算术平方根 ▌例2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）的值等于（     ） A． B． C． D． 解题贴士 计算带分数的算术平方根时，必须先把带分数化为假分数，再开方，不能直接拆分整数与分数部分分别开方。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）81的算术平方根是_______． 题型 算术平方根的双重非负性 ▌例3 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则的平方根________． 解题贴士 初中三类常见非负数：算术平方根、平方m2、绝对值|n|。 ▌对点练3-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 ▌对点练3-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，为有理数且，则的平方根为_____． 题型 估算算术平方根的取值范围 ▌例4 （25-26七年级上·浙江·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解题贴士 找到被开方数左右两边最近的两个完全平方整数，写出不等式： 若a2 < n < b2，则 a<<b。 ▌对点练4-1 （2026七年级下·浙江·专题练习）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． ▌对点练4-2 （26-27八年级·江苏·暑假作业）阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 题型 求算术平方根的整数部分与小数部分 ▌例5 （2026·浙江嘉兴·二模）若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 解题贴士 无理数=整数部分+小数部分，因此小数部分=无理数-整数部分。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）的小数部分是a，则a的值是（    ） A．4 B． C．3 D． ▌对点练5-2 （2026·浙江·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 题型 已知一个数的平方根，求这个数 ▌例6 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知某数的一个平方根为，求这个数和它的另一个平方根． 解题贴士 1.若两个平方根是含字母的代数式，利用“互为相反数，相加为0”列方程求解字母； 2.求原数：将已知平方根整体平方，得到这个正数。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． ▌对点练6-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 题型 算术平方根的实际应用 ▌例7 （26-27七年级·浙江·暑假作业）学校小会议室的面积为，小亮数了一下地面铺的正方形地板砖，正好是50块．求每块地板砖的边长． 解题贴士 长度、面积类实际问题中，边长不能为负数，只取算术平方根（正数结果），舍去负根。 ▌对点练7-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）一个正方形鱼池的边长是，另一个正方形鱼池的面积比它大．求较大鱼池的边长． ▌对点练7-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 题型 与算术平方根有关的规律探索题 ▌例8 （26-27七年级·浙江·暑假作业）嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 解题贴士 被开方数的小数点每向左/右移动 2 位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动1位。 ▌对点练8-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，，则______，______． ▌对点练8-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江金华·期中）“”的意义表达正确的是（   ） A．的平方根是4 B．的算术平方根是4 C．16的平方根是4 D．16的算术平方根是4 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）小明在学习《平方根》一课后，知道“如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根”．他发现，则2025的平方根是（   ） A．45 B． C． D．不存在 5．（26-27七年级·浙江·暑假作业）下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级上·浙江·单元复习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 25 根据以上规律，若，则（    ） A． B．379 C．12 D．120 7．（2026·浙江温州·三模）计算：______． 8．（2026七年级上·浙江·专题练习）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是___________ 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)1是1的平方根． (2)1的平方根是1． (3)的平方根是． (4)的平方根是． 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．（26-27七年级·浙江·暑假作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）一个正数的平方等于196，求这个数． （2）一个负数的平方等于，求这个数． （3）一个数的平方等于1.44，求这个数． 14．（26-27七年级·浙江·暑假作业）在驾车行驶过程中，若司机发现前方道路有异常，从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．小智收集的实验数据：制动距离（单位：）与行驶速度（单位：）满足关系式．某天王叔叔开车在公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，王叔叔的刹车制动距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断王叔叔是否超速，并说明理由． 素养提升 15．（26-27七年级·浙江·暑假作业）如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 16．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，求的平方根． 17．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）若，求的值． 18．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？ （2）已知，是实数，且，求的平方根． 19．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 迁移创新 20．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·浙江金华·期中）根据下表回答下列问题： x (1)若介于与之间，则满足条件的整数n有 个； (2) ； (3)的平方根是 ； (4)若这个数的整数部分为m，则 ； 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $