第08讲 平方根（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（浙教版2024）

第08讲 平方根（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.平方根 2.算术平方根 题型巩固 一、平方根概念理解 二、求一个数的平方根 三、已知一个数的平方根，求这个数 四、求一个数的算术平方根 五、利用算术平方根的非负性解题 六、估计算术平方根的取值范围 七、求算术平方根的整数部分和小数部分 八、与算术平方根有关的规律探索题 九、平方根的应用 十、算术平方根的实际应用 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.平方根 1.平方根 平方根 内容 示例 概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二次方根。 因为(±2)²=4 ，所以±2 是4的平 方根。 表示方法 一个正数a的正平方根用“ ”表示（读作“根号a”）；a 的负平方根用“−”表示（读作“负根号a ”），因此，一个正数a 的平方根就用“± ”表示（读作“正、负根号a”），其中a 叫作被开方数。 是5的正平方 根，− 是5的负平方根，5的平方根是± 。 事实 （1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； （2）零的平方根是零； （3）负数没有平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方。 注意：开平方时，被开方数必须是非负数。 知识点2.算术平方根 1.算术平方根 算术平方根 内容 示例 概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 因为3²=9 ，所以9的算术平方根是3。 表示方法 一个数a(a≥0) 的算术平方根记作“ ”。 的算术平方根是 ，即= 。 性质 （1）被开方数a 是非负数，即a≥0 ； （2）算术平方根 本身是非负数，即≥0 。 2.平方根和算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数 一个正数的算术平方根只有一个。 一个正数的平方根有两个。 表示方法 正数a 的算术平方根表示为 。 正数a的平方根表示为±。 取值范围 正数的算术平方根一定是正数。 正数的平方根为一正一负，它们互为相反数。 联系 （1）平方根包含算术平方根，一个正数的正平方根就是它的算术平方根； （2）只有非负数才有平方根和算术平方根； （3）0的平方根与算术平方根均为0。 辨析： 与 的区别 含义 a 的算术平方根的平方。 a²的算术平方根。 a 的取值范围 a≥0 。 a 为任意数。 运算顺序 先开方，再平方。 先平方，再开方。 运算结果 =a(a≥0) 。 题型巩固 题型一、平方根概念理解 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）用符号表示“的平方根是”正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）若，则 ． 3．先读懂题目，再仔细计算： 规定：一个数的平方等于a，我们就把这个数叫做a的平方根. 比如，3的平方等于9，3就是9的平方根，-3的平方也等于9，-3也是9的平方根，所以9的平方根是±3. 问题①：4的平方是16， 的平方也是16，所以16的平方根是 ； 问题②：已知x是4的平方根，则x= ,y是-4的平方，则y= ； 求-x2-2y的值. 题型二、求一个数的平方根 4．（22-23七年级上·浙江·期中）16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数9的平方根是 ． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 题型三、已知一个数的平方根，求这个数 7．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为 ． 9．已知，． (1)若x的算术平方根为3，求a的值． (2)若一个正数的两个不同的平方根分别为x，y，求这个正数． 题型四、求一个数的算术平方根 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若一个自然数的算术平方根为，则比这个自然数大的数可以表示为（      ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，，则 ． 12．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 题型五、利用算术平方根的非负性解题 13．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则 15．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 题型六、估计算术平方根的取值范围 16．估计37的算术平方根在哪两个整数之间（    ） A．36与38 B．4与5 C．5与6 D．6与7 17．已知一个正方形的面积为24，那么与它的边长最接近的整数是 ． 题型七、求算术平方根的整数部分和小数部分 18．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 19．的小数部分是 . 20．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 题型八、与算术平方根有关的规律探索题 21．我们知道有一些整数的算术平方根是有理数，如，，，…已知n＝1，2，3，…，99，100，易知中共有10个有理数，那么中的有理数的个数是（　　） A．20 B．14 C．13 D．7 22．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 题型九、平方根的应用 23．一个正数x，的平方根分别是3a+2与4-a,则这个正数x的值为（  ） A．3 B．7 C．9 D．49 24．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 题型十、算术平方根的实际应用 25．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）如图在长方形内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B．1 C． D． 26．（23-24七年级上·浙江·期中）若如图所示的阴影部分面积为，则图中长方形的周长为 ． 27．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 强化训练 一、单选题 1．下面各数没有平方根（    ） A．55 B． C．0 D． 2．4的算术平方根是（   ） A． B． C．2 D． 3．已知是整数，当取最小值时，的值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 4．下列式子中，计算正确的是(　　) A．－＝－0.6 B．＝－13 C．＝±6 D．－＝－3 5．观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 6．若a是（-4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a＋b的值为（  ） A．8 B．0 C．8或0 D．4或－4 7．若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 8．(－3)2的平方根是(　　) A．－3 B．3 C．3或－3 D．9 9．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题 10．的算术平方根是 ． 11．若一个数的算术平方根是，则这个数是 ． 12．已知，一个非负数的平方根为和，则 ． 13．若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是 ． 14．代数式的最大值为 15．一个实数的两个平方根分别是和，则这个实数是 ． 16．若的平方根是，则的平方根是 . 三、解答题 17．计算下列各式的值： （1）；（2）；（3）． 18．求下列各数的算术平方根.   (1)0.062 5；          (2)(-3)2；         (3)；              (4)108. 19．求下列各式中的x： （1）；（2）． 20．物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度，它的计算公式为，其中，，求第一宇宙速度（经过精确到0.1km/s）． 21．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 22．已知：，求代数式的平方根． 23．如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是___________； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为？ 24．数组中，a，b，c为三个互不相等的正整数，若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数，则称这个数组为“完美数组”．例如，数组，经过计算可知，，，所以数组为“完美数组”． (1)请你判断______“完美数组”，______“完美数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 平方根（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.平方根 2.算术平方根 题型巩固 一、平方根概念理解 二、求一个数的平方根 三、已知一个数的平方根，求这个数 四、求一个数的算术平方根 五、利用算术平方根的非负性解题 六、估计算术平方根的取值范围 七、求算术平方根的整数部分和小数部分 八、与算术平方根有关的规律探索题 九、平方根的应用 十、算术平方根的实际应用 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.平方根 1.平方根 平方根 内容 示例 概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二次方根。 因为(±2)²=4 ，所以±2 是4的平 方根。 表示方法 一个正数a的正平方根用“ ”表示（读作“根号a”）；a 的负平方根用“−”表示（读作“负根号a ”），因此，一个正数a 的平方根就用“± ”表示（读作“正、负根号a”），其中a 叫作被开方数。 是5的正平方 根，− 是5的负平方根，5的平方根是± 。 事实 （1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； （2）零的平方根是零； （3）负数没有平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方。 注意：开平方时，被开方数必须是非负数。 知识点2.算术平方根 1.算术平方根 算术平方根 内容 示例 概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 因为3²=9 ，所以9的算术平方根是3。 表示方法 一个数a(a≥0) 的算术平方根记作“ ”。 的算术平方根是 ，即= 。 性质 （1）被开方数a 是非负数，即a≥0 ； （2）算术平方根 本身是非负数，即≥0 。 2.平方根和算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数 一个正数的算术平方根只有一个。 一个正数的平方根有两个。 表示方法 正数a 的算术平方根表示为 。 正数a的平方根表示为±。 取值范围 正数的算术平方根一定是正数。 正数的平方根为一正一负，它们互为相反数。 联系 （1）平方根包含算术平方根，一个正数的正平方根就是它的算术平方根； （2）只有非负数才有平方根和算术平方根； （3）0的平方根与算术平方根均为0。 辨析： 与 的区别 含义 a 的算术平方根的平方。 a²的算术平方根。 a 的取值范围 a≥0 。 a 为任意数。 运算顺序 先开方，再平方。 先平方，再开方。 运算结果 =a(a≥0) 。 题型巩固 题型一、平方根概念理解 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）用符号表示“的平方根是”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的概念，根据正数由两个平方根进行解答，即可得到答案． 【详解】解：“的平方根是”的表示法为， 故选：D． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．先读懂题目，再仔细计算： 规定：一个数的平方等于a，我们就把这个数叫做a的平方根. 比如，3的平方等于9，3就是9的平方根，-3的平方也等于9，-3也是9的平方根，所以9的平方根是±3. 问题①：4的平方是16， 的平方也是16，所以16的平方根是 ； 问题②：已知x是4的平方根，则x= ,y是-4的平方，则y= ； 求-x2-2y的值. 【答案】-4，±4，±2，16，-x2-2y=-36. 【知识点】平方根概念理解 【分析】问题①：根据平方根的定义直接求出16的平方根即可． 问题②：先根据平方根和平方的概念求出x，y的值，再代入求出-x2-2y的值即可． 【详解】解：问题①：4的平方是16，-4的平方也是16，所以16的平方根是±4； 问题②：已知x是4的平方根，则x=±2，y是-4的平方，则y=16． ∴-x2-2y=-4-2×16=-4-32=-36． 故答案为-4，±4，±2，16，-x2-2y=-36. 【点睛】本题主要考查了平方根的定义（如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根），注意一个正数有两个平方根． 题型二、求一个数的平方根 4．（22-23七年级上·浙江·期中）16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：16的平方根是， 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数9的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． 根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：实数9平方根是． 故答案为：． 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． （1）根据开平方，可得答案； （2）根据开平方，可得答案； （3）根据开平方，可得答案； （4）先求出，再根据开平方，可得答案； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）∵， ∴的平方根是； 题型三、已知一个数的平方根，求这个数 7．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据一个正数的平方根有两个，且是互为相反数，可求出 的值，进而求出的值． 【详解】解：由平方根的意义可得， ， 解得，， 当时，，， ∴这个正数的平方根是， ， 故选：D． 【点睛】本题考查平方根的意义，掌握一个正数的平方根的特征是正确解答的关键． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了实数平方根问题的解决能力，根据正数的两个平方根互为相反数进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， 故答案为：9． 9．已知，． (1)若x的算术平方根为3，求a的值． (2)若一个正数的两个不同的平方根分别为x，y，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，熟练掌握算术平方根，平方根的定义是解题的关键． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， ， ， ； （2）根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 题型四、求一个数的算术平方根 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若一个自然数的算术平方根为，则比这个自然数大的数可以表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据算术平方根的概念及题意可直接求解． 【详解】解：由一个自然数的算术平方根是a，则有这个自然数是，所以比这个自然数大1的数是； 故选D． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题关键．将变形为，再进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2) 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． 题型五、利用算术平方根的非负性解题 13．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，根据几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0，求出m和n的值，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则 【答案】2030 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 整理得：， 两边同时平方得：， 那么， 原式 ， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【知识点】绝对值非负性、有理数四则混合运算、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据题意代入计算即可； （2）①由非负数的性质即可得到答案；②先求出，由得到． 此题考查新定义运算，非负数的性质、有理数的混合运算，读懂题意，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； ∴， 当时，． ∴， 故答案为：， （2）①∵．， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型六、估计算术平方根的取值范围 16．估计37的算术平方根在哪两个整数之间（    ） A．36与38 B．4与5 C．5与6 D．6与7 【答案】D 【分析】找出37在哪两个完全平方数之间即可得出结果． 【详解】解：∵36<37<49， ∴6<<7， ∴37的算术平方根在6和7之间． 故选：D 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练的掌握以上知识点是解题的关键． 17．已知一个正方形的面积为24，那么与它的边长最接近的整数是 ． 【答案】5 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根的故事，根据正方形面积计算公式可得该正方形的边长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵一个正方形的面积为24， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴， ∴该正方形的边长最接近的整数是5， 故答案为：5． 题型七、求算术平方根的整数部分和小数部分 18．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 19．的小数部分是 . 【答案】-3 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【详解】∵9<13<16, ∴3<<4, ∴的整数部分是3，小数部分是-3. 故答案为：-3. 20．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 题型八、与算术平方根有关的规律探索题 21．我们知道有一些整数的算术平方根是有理数，如，，，…已知n＝1，2，3，…，99，100，易知中共有10个有理数，那么中的有理数的个数是（　　） A．20 B．14 C．13 D．7 【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】在2，4，6，…，198，200的这组数据中，找出完全平方数即可． 【详解】解：∵是有理数， ∴2n是完全平方数， ∵n＝1，2，3，…，99，100， ∴2n＝2，4，6，…，198，200， ∴在2，4，6，…，198，200的这组数据中，完全平方数有2，8，18，36，64，100，144，196， ∴中的有理数的个数是7， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数和无理数的区别，解答关键是找出全部完全平方数． 22．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 题型九、平方根的应用 23．一个正数x，的平方根分别是3a+2与4-a,则这个正数x的值为（  ） A．3 B．7 C．9 D．49 【答案】D 【知识点】平方根的应用 【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出这个正数x． 【详解】解：由题意得，3a＋2＋4−a＝0， 解得：a＝−3， 则3a＋2＝−7， 故这个正数x为（−7）2＝49． 【点睛】本题考查了平方根的知识，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数． 24．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 题型十、算术平方根的实际应用 25．（22-23七年级上·浙江衢州·期中）如图在长方形内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】由两个小正方形的面积分别为1、2，得出其边长分别为和，则阴影部分的长等于，宽等于的长方形，从而可得答案． 【详解】解：面积为2的正方形的边长为：，面积为1的正方形的边长为：， 则阴影部分面积为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大． 26．（23-24七年级上·浙江·期中）若如图所示的阴影部分面积为，则图中长方形的周长为 ． 【答案】/24厘米 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用； 由图得，图中长方形的长是宽的2倍，阴影部分的面积和等于以长方形的宽为边长的正方形的面积，据此可求出长方形的宽，然后得出长方形的长，进而计算即可． 【详解】解：由图得，图中长方形的长是宽的2倍，阴影部分的面积和等于以长方形的宽为边长的正方形的面积， ∴图中长方形的宽为， ∴图中长方形的长为， ∴图中长方形的周长为， 故答案为：． 27．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)拼成的正方形的面积为5，边长为 (2)边长为 (3)面积为10，边长为 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及算术平方根的应用，正确利用算术得出边长是解题关键． （1）根据五个边长为1的小正方形组成的图形直接得出图形面积和边长即可； （2）利用勾股定理直接得出即可； （3）仿照图1的做法得出边长和面积即可． 【详解】（1）解：5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是：， 边长； （2）解：如图所示；边长为； （3）解：能，如图所示：边长为：． 强化训练 一、单选题 1．下面各数没有平方根（    ） A．55 B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键． 【详解】解：，， ∵负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选：D． 2．4的算术平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：4的算术平方根是2， 故选：C． 3．已知是整数，当取最小值时，的值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、估计算术平方根的取值范围 【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论． 【详解】解：∵，∴， 且与最接近的整数是5，∴当取最小值时，的值是5， 故选A． 【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键． 4．下列式子中，计算正确的是(　　) A．－＝－0.6 B．＝－13 C．＝±6 D．－＝－3 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根 【详解】A选项中，因为，所以，故A中计算错误； B选项中，因为，所以B中计算错误； C选项中，因为，所以C中计算错误； D选项中，因为，所以D中计算正确； 故选D. 5．观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 根据题意得到在之间，得到在之间，即可得到答案． 【详解】解：， 在之间， 在之间， 故选：C． 6．若a是（-4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a＋b的值为（  ） A．8 B．0 C．8或0 D．4或－4 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【详解】试题解析∵a是（-4）2的平方根， ∴a=±4， ∵b的一个平方根是2， ∴b=4, ∴a+b=8或0. 故选C. 7．若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 8．(－3)2的平方根是(　　) A．－3 B．3 C．3或－3 D．9 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【分析】根据平方的意义先计算(－3)2，再根据平方根的定义进行求解即可得. 【详解】因为(－3)2＝9，＝±3， 所以(－3)2的平方根是3或－3， 故选C. 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键. 9．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、算术平方根的实际应用 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 二、填空题 10．的算术平方根是 ． 【答案】// 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查算术平方根的定义，由题意根据算平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．若一个数的算术平方根是，则这个数是 ． 【答案】11 【知识点】求一个数的算术平方根 【详解】∵一个数的算术平方根是， ∴这个数是11. 故答案为11. 12．已知，一个非负数的平方根为和，则 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，是解此题的关键．根据一个非负数的平方根互为相反数，得出，根据绝对值及算术平方根的非负性计算出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵一个非负数的平方根为和， ∴， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 13．若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是 ． 【答案】±3 【知识点】求代数式的平方根、利用平方根解方程 【分析】根据 和有意义得出a＝5，b＝﹣4，再代入求解即可． 【详解】∵ 和有意义，则a＝5， 故b＝﹣4， 则， ∴a﹣b的平方根是：±3． 故答案为：±3． 【点睛】本题考查了求平方根的问题，掌握平方根的性质以及解法是解题的关键． 14．代数式的最大值为 【答案】－3 【知识点】算术平方根的实际应用 【详解】∵≥0，∴－≤0， ∴－3－≤－3， ∴最大值为－3， 故答案为－3. 15．一个实数的两个平方根分别是和，则这个实数是 ． 【答案】36 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个实数的两个平方根的和等于零是解题的关键． 根据一个实数的两个平方根的和等于零列方程可求出m的值，然后求出这个实数即可． 【详解】解：∵一个实数的两个平方根分别是和， ∴，解得， ∴， ∴这个实数是． 故答案为：36． 16．若的平方根是，则的平方根是 . 【答案】 【知识点】平方根概念理解、求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】利用算术平方根的定义可以得x+2=4，解得x=2，再代入求2x+5的值，从而求其平方根． 【详解】解：∵x+2的平方根是±2， ∴x+2=4， 解得x=2， ， ∴的平方根是 故答案为 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由开平方和平方是互逆运算，用平方的方法求这个数的平方根． 三、解答题 17．计算下列各式的值： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】根据平方根和算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，根据定义内容计算是解题关键． 18．求下列各数的算术平方根.   (1)0.062 5；          (2)(-3)2；         (3)；              (4)108. 【答案】(1)0.25；  (2)3；  (3)；  (4)104 【知识点】求一个数的算术平方根 【详解】试题分析：根据算术平方根的定义进行解答即可． 试题解析： 解：（1）∵0.252＝0.0625， ∴0.0625的算术平方根是0.25， 即＝0.25； （2）(－3)2＝9， 9的算术平方根是3， ∴(－3)2的算术平方根是3， 即＝3； （3）∵＝， ∴的算术平方根是， 即＝； （4）∵(104)2＝108， ∴108的算术平方根是104， 即＝104． 19．求下列各式中的x： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求一个数的平方根、利用平方根解方程 【分析】（1）由平方根的定义即可求出x的值； （2）先移项，再求平方根，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了利用平方根的解方程，以及平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． 20．物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度，它的计算公式为，其中，，求第一宇宙速度（经过精确到0.1km/s）． 【答案】第一宇宙速度约为7.9km/s． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】把g与R的值代入计算公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：． 则第一宇宙速度约为7.9km/s． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 21．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、求代数式的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 22．已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 23．如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是___________； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为？ 【答案】（1）；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形，理由详见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】（1）根据已知得到大正方形的面积为400，求出算术平方根即为大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积列得，求出，得到，由此判断不能裁出符合条件的大正方形. 【详解】（1）∵用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形， ∴大正方形的面积为400， ∴大正方形的边长为 故答案为：20cm； （2）设长方形纸片的长为，宽为， ， 解得：， ， 答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为的大长方形. 【点睛】此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键. 24．数组中，a，b，c为三个互不相等的正整数，若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数，则称这个数组为“完美数组”．例如，数组，经过计算可知，，，所以数组为“完美数组”． (1)请你判断______“完美数组”，______“完美数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2) 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，理解并掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“完美数组” ∵，不是整数， ∴不是“完美数组”； （2）∵为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20， ∴为正整数， 当时：，解得：， 此时：，符合题意； 当时：，解得：（不符合题意，舍去）； 故． 学科网（北京）股份有限公司 $