1.1集合的概念（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

1.1集合的概念教学设计 课题 集合的概念 单元 第一章集合与常用逻辑用语 学科 高中数学 （人教版） 年级 高一 学习目标 1、通过生活实例抽象出集合的定义，分清元素与集合的从属关系，理解集合元素三大基本特征. 2、熟练掌握集合表示方法，熟记自然数集、整数集、实数集等常用数集符号，能根据集合类型选择恰当方式书写集合. 3、会利用集合元素性质判断元素归属、求解简单含参问题，发展逻辑推理与数学运算核心素养. 教材 分析 本节课是人教版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》的第1节内容，是高中数学的起始章节。集合是现代数学的基础语言，也是高中数学中描述函数、数列、不等式等各类数学对象的重要工具。 教材通过情境引入，揭示"明确研究对象与研究范围"的必要性，自然地引出集合的概念。随后从具体例子抽象出元素与集合的定义，建立与的记号，归纳集合元素三大性质，介绍常用数集符号，最后系统讲解三种集合表示方法。 本节内容具有基础性、工具性和建模性，学习效果直接影响后续函数、集合运算等内容的学习。 学情 分析 学生在初中阶段已初步接触过集合的相关概念，对"一组数"或"一类图形"的整体描述有一定的直觉认识，但尚未形成严格的数学定义意识。本节学生面临的主要障碍： 1、混淆元素的"确定性"与"互异性"，在构造含参集合时容易遗漏验证互异性。 2、对描述法中"代表元素"与"共同特征"的位置关系理解不清，书写格式不规范。 3、习惯用自然语言表达，切换为符号语言需要适应过程。 教学策略：创设具体情境引发认知冲突，通过"问题链+追问"推动学生主动建构，辅以"辨析训练"突破易错点。 教学 重点 集合基本概念，元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法 教学 难点 元素与集合的关系，集合中元素的三个特性的应用 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 激发思考】 教师呈现两个问题： 问题1：方程在有理数范围内是否有解？在实数范围内呢？ 问题2：到定点的距离等于定长的所有点，在平面上构成什么图形？在空间中呢？ 教师引导：上述两个问题的答案因"研究范围"不同而不同。数学研究需要明确研究对象和研究范围，而"集合"正是描述这种范围的数学语言。 【历史文化 点燃兴趣】 简介集合论的创立者康托尔，以及罗素、希尔伯特对集合论的高度评价，激发学生对集合语言价值的认同感。 设计意图：通过数学情境揭示集合语言的必要性，以数学史料提升学习兴趣，为新概念的引入做好认知铺垫。 1、 独立思考两道数学问题，举手口头作答，对比不同取值范围下答案的差异； 2、跟随教师讲解，记录集合论相关数学史料，思考统一研究范围的意义； 3、思考自己生活中 “一类事物整体” 的例子，初步感知集合的作用。 新知 探究 · 探究一：集合的概念 【活动一：直观感知——什么是集合？】 教师展示6组研究对象： （1）1—10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线距离等于定长的所有点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 学生活动：观察以上对象，发现它们的共同特点。 教师追问：每个对象中，某个特定元素"是否属于"该对象，能否给出确定答案？ 师生共同归纳： ⭐元素（）：研究对象统称为元素，一般用小写字母表示。 ⭐集合（）：一些元素组成的总体叫做集合，一般用大写字母表示。 1、小组合作，观察6组实例，小组内交流讨论每组对象的共同特征； 2、针对教师追问，小组推选代表发言，判断任意对象能否明确判断是否在整体内； 3、跟随教师板书，在笔记本上记录元素、集合定义与对应符号； 4、自主举例，写出2组生活或数学中可看作集合的实例，同桌互相检查。 新知 探究 【活动二：探究——集合元素的三大性质】 教师提出三个思考问题（PPT逐步呈现）： 思考1：（1）"…之间的所有偶数"是确定的集合吗？ （2）"较小的数"能组成集合吗？ 思考2：集合与集合是同一个集合吗？ 思考3：1,2,1,3,4这五个数能组成集合吗？集合中有几个元素？ 学生讨论、教师点拨，师生共同归纳： ⭐确定性：集合中的元素必须是确定的（要么在，要么不在）； ⭐互异性：集合中的元素互不相同（同一元素只能出现一次）； ⭐无序性：集合中的元素没有顺序之分（）。 【即时辨析：集合确定性的判断】 题目：下列元素的全体是否能构成集合？ （1）大于2小于14的偶数； （2）某班身高在1.7m以上的同学； （3）不大于3的所有实数； （4）全体很大的自然数； （5）中国著名的数学家。 学生独立判断，教师讲评，重点分析（4）（5）不能构成集合的原因。 【活动三：元素与集合的关系——与】 以集合为例，师生共同建立： ⭐若是集合的元素，记作，读作"属于"； ⭐若不是集合的元素，记作，读作"不属于"。 学生练习：判断元素与集合的关系。 【常用数集介绍】 教师展示常用数集符号表：（自然数集）、或（正整数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集） 学生通过练习（辨析题2、辨析题3）熟悉与的使用，巩固数集概念。 设计意图：以"问题链+思考"驱动概念建构，三大性质通过反例自然浮现，符合认知规律；即时辨析及时检验学习效果。 1、独立思考三道思考题，小组开展讨论，分别总结三组问题背后的规律； 2、全班交流展示，每组派代表分享思考结论，提炼三大性质关键词； 3、独立完成确定性辨析题，逐题写出判断理由，同桌互改，重点标注（4）（5）错误原因； 4、结合集合实例，口头练习 “属于、不属于” 文字表述与符号书写； 5、背诵常用数集符号与含义，完成配套填空辨析，上台板演符号填空题目。 新知 探究 · 探究二：集合的表示 【过渡提问】 教师：除了用自然语言描述集合，还有什么方式可以表示集合呢？ 【活动一：列举法的引入与规范】 追问1：（1）地球上的四大洋组成的集合如何表示？ ——可以一一列举，用花括号{}括起来：{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 列举法定义：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号"{}"括起来表示集合的方法。 注意：元素之间用","隔开；列举时与元素次序无关（满足无序性）。 （2）方程的所有根组成的集合如何用列举法表示？ ——解方程得或，则解集为。 【活动二：描述法的引入与规范】 追问2：不等式的解集该如何用列举法表示？（发现无法穷举） 教师引导：当元素无法一一列举时，可以抓住元素的"共同特征"来描述。 描述法定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，写成{代表元素|共同特征}的形式。 例：不等式的解集描述为； 追问3：你能选用适合的方法描述由奇数组成的集合吗？ ——奇数集描述为}。 【三种表示方法小结对比】 表示方法 定义 注意事项 例如 自然语言 文字叙述的形式描述集合 注意叙述清楚 “地球上的四大洋”组成的集合 “1—10之间的所有偶数”组成的集合 列举法 把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法 元素之间用“，”隔开，列举时与元素的次序无关. {太平洋，大西洋，印度洋、北冰洋}； 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 写成的形式 {│为地球上的四大洋} 1、跟随教师提问，尝试口头写出四大洋集合、方程根集合，自主总结列举法书写要点； 2、尝试列举不等式解集，发现局限性，主动思考替代表示方法； 3、模仿例题，独立书写不等式解集、奇数集的描述法形式，同桌互相检查竖线、代表元素书写是否规范； 4、自主梳理集合表示方式的适用场景，整理对比笔记。 新知 探究 【活动三：文氏图（韦恩图）简介】 追问4：有没有其他直观方式表示集合？ 教师介绍图法（文氏图）：用一条封闭曲线的内部表示集合，直观形象。 展示四大洋集合的文氏图示意。 设计意图：通过具体情境逐步揭示各种表示方法，追问式推进使学生主动建构，对比表格帮助学生形成结构化认知。 5、动手在草稿纸上画出四大洋集合的文氏图，再自主画出小于 10自然数集合的示意图； · 典例精讲 例1：用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合. 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为， 那么 （2）设方程的所有实数根组成的集合为,那么B={0,1}. 例2：试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合. 解：(1)设,则是一个实数，且.因此，用描述法表示为 方程有两个实数根，因此，用列举法表示为 (2)设,则是一个整数，即且因此，用描述法表示为 大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此用列举法表示为 教师在讲例题的同时，补充以下注意事项： ⭐列举法：元素较少或有规律的无限集时使用；{}不可省略；用","分隔；顺序无关。 ⭐描述法：代表元素明确（是数还是点还是其他元素）；特征写在竖线"|"之后。 · 课堂练习 【题型1：集合概念的判断】 1、用下列所给对象能构成集合的是(            ) A、3的近似数  B、所有小于0的实数 C、某校高一(1)班的游泳小能手 D、全体很大的自然数 【答案】 2、下列说法正确的是(            ) A、某校爱好足球的同学组成一个集合　　　　　　　 B、{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合 C、集合{1,2,3,4,5}和{5,3,2,4,1}表示同一集合　　　　 D、组成的集合有7个元素 【答案】 【题型2：元素与集合的关系】 1、用符号“”或“”填空： (1)设为所有亚洲国家组成的集合，则中国　　，美国　　，印度　　， 英国　　； (2)若，则－1　　； (3)若，则3　　； (4)若，则8　　，9.1　　; (5) 　　, 3.7 　　, 3.14　　, 　　. 【答案】(1)，，，，（2），（3），（4），，， 2、集合是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. 、 、 、1 、 【答案】 1、例题阶段：先独立动笔解题，再对照教师板书订正，标注列举法、描述法易错书写点； 2、独立完成选择题，举手说明每个选项能否构成集合的依据； 3、独立完成符号填空，基础薄弱学生上台板演，其余学生纠错； 课堂 练习 【题型3：集合的表示法】 1、用适当的方法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）一次函数与图象的交点组成的集合； （3）不等式的解集. （4）二次函数的函数值组成的集合. （5）反比例函数的自变量的取值组成的集合. 【答案】（1），（2），（3），（4） （5） 【题型4：含参综合问题】 1、集合，若，则的值为？ 解：当时，，此时满足题意； 当时，， 当时，满足题意， 当时，不满足集合互异性. 所以，的取值集合为. 2、已知集合中含有两个元素和且，则的值为？ 解：∵，而中含有两个元素1和 ∴(1)若=1，则集合,不符合集合元素的互异性； (2)若，则=1（舍去）或， 当时集合，符合. 综上，的值为0. 3、已知，，若集合,则的值为 【答案】−1 4、 完整书写、5 道集合表示小题，区分数集、点集、取值范围集合的代表元素； 5、自主完成含参大题，做题时主动检验互异性，小组交流参数取舍理由，核对答案； 6、错题整理：将练习中确定性、互异性、描述法格式错题整理到错题本。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、集合的核心概念 ·集合与元素的定义；常用记号（大写字母表示集合，小写字母表示元素） ·元素与集合的关系：（属于）、（不属于） 二、集合元素的三大性质 ·确定性→判断元素能否构成集合 ·互异性→含参问题的检验标准 ·无序性→集合相等的判断依据 三、常用数集符号：（自然数集）、或（正整数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集） 四、集合的三种表示方法 ·自然语言法（文字描述） ·列举法（适用于有限集或有规律的无限集） ·描述法（适用于无限集或不便列举的集合） 教师强调：学习集合语言，关键是培养精确表达数学对象的意识——"是就是，不是就不是"，没有模糊地带。 1、 跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点，分模块复述； 2、 独立绘制简易思维导图，梳理概念、性质、符号、表示方法； 3、 主动举手分享本节课易错点（互异性检验、描述法代表元素、确定性判断）； 作业 布置 1、P5书后练习 2、P5习题1.11,2,3 板书 设计 第一章1.1集合的概念与表示 一、集合与元素 定义、记法： 关系：（属于）（不属于） 二、元素的三大性质：确定性、互异性、无序性 三、常用数集：、或、、、 四、集合的表示方法 ①自然语言法②列举法：③描述法： 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $