1.1 集合的概念（教学设计）数学人教A版2019必修第一册

第1章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 教学设计 1.教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”中的1.1节“集合的概念”。内容包括集合的含义、元素与集合的关系、集合的表示方法（列举法和描述法）、集合元素的特性（确定性、互异性、无序性）以及常用数集及其记法。 2.内容解析 集合是现代数学的基础概念，集合语言能够简洁、准确地表达数学内容。学生在初中阶段已经接触过一些集合的初步知识，如自然数集合、有理数集合等，但对集合的系统学习还是首次。集合的概念较为抽象，需要通过具体实例帮助学生理解。本节课的重点是让学生理解集合的含义，掌握集合的表示方法，难点在于理解集合元素的特性以及如何用集合语言描述具体问题。 3.教学重点与难点 教学重点：集合的含义，元素与集合的关系，集合的表示方法。 教学难点：集合元素的特性，用集合语言描述具体问题。 一、教学目标 (1) 了解集合的含义，理解元素与集合的关系，掌握集合的表示方法（列举法和描述法）。 (2) 经历集合概念的形成过程，体会从具体到抽象的思维方法，掌握集合元素的特性（确定性、互异性、无序性）。 (3) 在学习集合的过程中，发展数学抽象思维，培养逻辑推理能力和数学表达能力。 二、目标解析 1. 学生要能准确识别一个对象是否能构成集合，明确集合的定义和集合中元素的特性。在掌握集合的表示方法方面，学生应能熟练运用列举法和描述法表示集合，并且理解每种表示方法的适用场景和优缺点，能准确无误地完成集合的表示，得出正确答案。 2. 学生在学习过程中，要通过具体实例和生活中的例子，自主发现集合的特征，归纳出集合的定义和元素的特性。在学习集合的表示方法时，明白如何将具体的对象抽象为集合，并用合适的表示方法表达出来，感受数学抽象的作用，提高分析问题和解决问题的能力。 3. 学生在反复练习集合的表示和元素特性的过程中，提高数学表达的准确性和逻辑性，培养严谨认真的学习态度。学生要能从实际生活情境中抽象出集合模型，运用所学知识解决实际问题，增强对数学知识实用性的认识。 1. 学生在学习本节课之前，已经具备了初中阶段对集合的初步认识，包括自然数集合、有理数集合等基本概念，这为学习集合的系统知识奠定了一定基础。但学生可能会受到初中直观、具体数学知识的影响，在理解集合的抽象概念时，容易陷入思维定式，尤其是在处理集合元素的特性（确定性、互异性、无序性）时，可能会出现理解偏差。另外，对于如何用集合语言描述具体问题，部分学生可能存在困难，因为这需要较强的抽象思维和数学表达能力。 2. 在理解集合元素的特性时，学生可能会混淆确定性、互异性和无序性的具体含义，导致在判断某些对象是否能构成集合时出现错误。因此，在教学过程中应加强对比练习，给出一系列包含不同特性的集合实例，让学生通过练习强化理解，并且引导学生总结规律，加深对集合元素特性的理解。 3. 在教学过程中多引入贴近学生生活实际的案例，如统计班级学生的身高、成绩等，引导学生逐步分析集合中的元素特征，找出集合的共同属性，列出集合的表示形式。同时，鼓励学生小组合作交流，共同探讨分析解决问题的方法，培养学生的合作能力和思维能力。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：充分理解集合元素的特性，并能准确用集合语言描述具体问题。 （一）温故知新 1. 回顾初中知识： 提问：在初中，我们学过哪些集合？（如自然数集合、有理数集合等） 提问：什么是方程的解集？（如一元一次方程的解集） 1. 引入新课： 提问：集合在数学中有什么作用？（引入集合的概念，说明集合是数学的基础语言） 3.“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语 解释为:许多的人或物聚在一起. 康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集合论创始人.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 　　在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？ （设计意图：通过回顾已有的知识，激活学生的记忆，为学习新知识做好铺垫。引导学生思考集合在数学中的重要性，激发学习兴趣。） （教学建议：教师提问，指定学生代表回答。引导学生思考集合与方程解集之间的联系，为后续学习集合的表示方法奠定基础。） （二）情景引入 1. 军训通知： 展示军训通知：“9月1日8:00，高一年级学生到操场集合进行军训。” 提问：这个通知的对象是全体高一学生还是个别学生？（引出集合的概念） 1. 生活实例： 提问：在日常生活中，我们经常提到“集合”，如“开会集合” “队伍集合”等，这些“集合”是什么意思？（引导学生从具体实例中抽象出集合的概念） （设计意图：通过贴近生活的实例，帮助学生从具体情境中抽象出集合的概念，增强对集合的理解。引导学生思考集合在生活中的应用，激发学习兴趣。） （教学建议：教师引导学生分析通知和生活实例中的共同点，总结集合的含义。鼓励学生举出更多生活中的集合实例，加深对集合概念的理解。） 探究点1：集合的含义 1. 实例分析： 展示实例：1～10以内的所有偶数；立德中学今年入学的全体高一学生；所有正方形；到直线L的距离等于定长d的所有的点；方程的所有实数根；地球上的四大洋。 提问：这些实例中，每组对象的全体能否组成集合？为什么？（引导学生总结集合的含义） 1. 定义集合： 定义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称集）。 表示方法：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。 （设计意图：通过具体实例，引导学生自主归纳集合的定义，培养学生的抽象思维能力。引导学生理解集合的表示方法，为后续学习打下基础。） （教学建议：教师引导学生通过观察、类比，自行归纳得到集合的定义，培养学生主动参与、合作交流、归纳总结的意识。强调集合的表示方法，引导学生注意符号的规范使用。） （四）探究点2：集合元素的特性 1. 确定性： 提问：给定一个集合，如何判断一个元素是否属于这个集合？（引出集合元素的确定性） 定义：集合的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一。 1. 互异性： 提问：集合中的元素是否可以重复？（引出集合元素的互异性） 定义：集合中的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的。 1. 无序性： 提问：集合中的元素是否有先后顺序？（引出集合元素的无序性） 定义：集合中的元素没有先后顺序，即集合与其中元素的排列顺序无关。 （设计意图：通过对比和实例分析，帮助学生理解集合元素的三个特性，避免理解偏差。引导学生通过具体实例，自主发现集合元素的特性，培养学生的抽象思维能力。） （教学建议：教师通过对比练习，引导学生总结规律，加深对集合元素特性的理解。引导学生举出更多实例，巩固对集合元素特性的理解。） （五）探究点3：集合的表示方法 1. 列举法： 定义：将集合中的元素一一列举出来，并用大括号{}括起来的方法叫做列举法。 实例：地球上的四大洋组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。 注意事项：元素间用逗号隔开，元素不重复，元素无顺序。 1. 描述法： 定义：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。 实例：不等式x-7<3的解集可以表示为{x∈Rx<10}。 注意事项：弄清元素所具有的形式，描述法具有抽象性、概括性、普遍性的特点。 （设计意图：通过具体实例，帮助学生理解集合的两种表示方法，掌握其适用场景和优缺点。引导学生通过对比和练习，掌握集合表示方法的规范使用。） （教学建议：教师通过实例讲解，引导学生理解列举法和描述法的区别和联系。引导学生通过练习，掌握集合表示方法的规范使用，避免常见错误。） （六）探究点4：常用数集及其记法 1. 常用数集： · 自然数集：全体非负整数组成的集合，记作N。 · 正整数集：全体正整数组成的集合，记作N*或N+。 · 整数集：全体整数组成的集合，记作Z。 · 有理数集：全体有理数组成的集合，记作Q。 · 实数集：全体实数组成的集合，记作R。 1. 实例： · 提问：0是否属于自然数集N？（属于） · 提问：-1是否属于整数集Z？（属于） · 提问：是否属于有理数集Q？（不属于） （设计意图：通过具体实例，帮助学生理解常用数集的定义和范围，避免混淆。引导学生通过判断实例，加深对常用数集符号的记忆和理解。） （教学建议：教师通过提问和实例讲解，引导学生理解常用数集的定义和范围。引导学生总结常用数集的符号和定义，帮助学生记忆。） （七）典例分析 例题1：用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么. （2）设方程所有实数根组成的集合为B，那么. 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成等. 注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，②用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。 例题2：试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解：（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为. 方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为. （2）设，则x一个整数，即，且.因此，用描述法表示为. 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19， 因此，用列举法表示为. （设计意图：通过具体例题，帮助学生掌握列举法的使用方法，理解列举法的规范性。引导学生通过练习，掌握集合表示方法的规范使用，避免常见错误。） （教学建议：教师通过板书和讲解，引导学生理解列举法的步骤和注意事项。引导学生通过练习，掌握列举法的规范使用，避免重复和遗漏。） 1.下列几组对象可以构成集合的是（    ） A．充分接近π的实数的全体 B．善良的人 C．世界著名的科学家 D．某单位所有身高在1.7m以上的人 【答案】D 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】研究是否能组成集合，只需观察描述的对象没有一个明确的标准，再逐一检验即可． 【详解】解：选项，，所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合， 选项的标准唯一，故能组成集合． 故选：D． 【点睛】本题考查了集合的概念，属于基础题． 2.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法表示集合 【分析】通过解方程求得集合. 【详解】依题意：， 由解得或或， 所以. 故选：D 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案. 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即. 故选:C. 4. 设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素. 【详解】集合，集合， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. 综上. 故选：C 【点睛】本题考查集合的含义与表示，属于基础题. 5.若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 【答案】A 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据，分，，讨论求解. 【详解】因为， 当时，集合为，不成立； 当时，集合为，成立； 当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立； ∴或. 6.已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【解析】由集合元素的特性和2属于集合A，直接计算判断求解即可得出答案. 【详解】由集合，可得，则得，，又因为可得，解得，即C选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题. （教学建议：教师通过提问和讲解，引导学生分析每个选项，理解集合的定义和元素特性。引导学生总结判断集合的标准，帮助学生掌握集合的基本概念。） 7.已知集合，且是中的一个元素，则（    ） A． B．或3 C． D．或 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】集合，且. ①当时，，此时，，集合中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去； ②当时，（舍）或. 若，则，此时集合，符合题意， 综上所述，. 故选：A. 8.（多选题）下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合间的关系逐一判断即可. 【详解】解：对于A，0是自然数，则，故A正确； 对于B，不是整数，则，故B错误； 对于C，是整数，则，故C错误； 对于D，是无理数，则，故D正确. 故选：AD. 9.（多选题）设集合，则下列表述不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】判断元素与集合的关系 【解析】求出集合，，利用元素与集合的关系能判断正确结果． 【详解】解：集合，， ，，，，． ∴AC选项均不正确，BD选项正确． 故选：AC． 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 10.用列举法表示集合　　. 【解析】根据,且可得: 时,时,时,; 时,时,时,; 故. （设计意图：通过练习题，帮助学生巩固对集合定义和集合元素特性的理解。引导学生通过判断实例，加深对集合概念的理解。） （设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。） （教学建议：教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。） 1.必做题：教材第5页 --- 习题1.1 --- 第2题 2.探究性作业：教材第5页 --- 习题1.1 --- 第2题 1.1集合的概念 1.集合的含义： 元素：研究对象 集合：元素的总体 表示方法：大写字母A、B、C等 2.集合元素的特性： 确定性：元素是属于集合是明确的 互异性：集合中的元素互不相同 无序性：元素的顺序不影响集合 3.集合的表示方法： 列举法：将元素一一列举，用大括号括起来 描述法：用元素的共同特征表示集合 4.常用数集及其记法： 自然数集：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 设计意图： 通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 教学建议： 教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 学科网（北京）股份有限公司 $$