01讲 有理数的加法与减法 预习讲义 2026-2027学年新版人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、运算律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法）及混合运算步骤，构建从基础法则到实际应用的学习支架。 资料以“知识点-考点-应用”为主线，融入出租车行程、游客人数统计等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过变式练习和拆项法等简便运算，提升运算能力与推理意识，课中辅助教师分层教学，课后作业含中考模拟题助力学生查漏补缺。

第二章 有理数的运算 01讲 有理数的加法与减法 目录 【知识点1. 有理数的加法法则与运算律 1】 【知识点2. 有理数的减法法则与加减混合运算 2】 【考点1. 有理数的加法运算 4】 【考点2. 有理数加法的实际应用 5】 【考点3. 有理数的减法运算 7】 【考点4. 有理数减法的实际应用 8】 【考点5. 有理数加减法的混合运算 10】 【考点6. 有理数加减法的简便运算 12】 【考点7. 有理数加减法混合运算的应用 14】 【课后作业 17】 知识清单：有理数的加法法则与运算律 1、有理数的加法法则 1） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 数学表示：若a>0、b>0，则a+b= |a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b= -(|a|+|b|)； 2） 异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值； 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|，则a+b= |a|-|b|； 若a>0、b<0，且|b|>|a|，则a+b= -(|b|-|a|)； 3） 一个数同0相加，仍得这个数。 2、运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 巩固基础 1．计算的结果是__． 2．计算：（1）=______；（2）=______． 3．计算： （1）______（______）＝______； （2）______（______）＝______． 4．计算： （1）_____； （2）_____=_____． 5．计算：（1）______； （2）______． 知识清单：有理数的减法法则与加减混合运算 1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 如： 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 2、有理数的混合运算步骤： 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 3．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 巩固基础 1．计算：___________． 2．计算：____________． 3．计算：________． 4．计算：_________． 5．计算：______． 6．计算的结果是_________． 7．计算：． 解：原式_____ __________ _____（_____）_____． 8．计算：． 解：原式（_____） （_____） _____ _____． 直击考点 【考点1：有理数的加法运算】 例1.计算： (1)； (2) 例2.计算： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 变式1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式2.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4.计算：． 变式5.计算： (1)； (2)； (3)． 【考点2：有理数加法的实际应用】 例1.为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，．问：若出车地记为，则最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ 例2.一名足球守门员练习折返跑 ，从球门线出发 ，向前跑记作正数 ，向后跑记作负数 ，他的记录如下 ：（单位 ：米），，，，，，． (1)在练习过程中 ，守门员离开球门最远距离是多少米 ？ (2)守门员全部练习结束后 ，他共跑了多少米 ？ 变式1.世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：+10，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)若守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一段时间内，对方球员有几次挑射破门的机会? 变式2.借助数轴来探讨有理数的加法：一个物体向东西方向运动，我们规定向西运动为负，向东运动为正． (1)第一次向东走20米，第二次向东走30米，最后运动的结果是什么？ (2)第一次向西走20米，第二次向西走30米，最后运动的结果是什么？ (3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，最后运动的结果是什么？ (4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，最后运动的结果是什么？ 变式3.2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【考点3：有理数的减法运算】 例1.__________． 例2.（1）______； （2）_______； （3）_______． 变式1.计算_______． 变式2.计算：______． 变式3.计算：_______． 变式4.计算：__________． 变式5.填空： （1）____________； （2）____________； （3）____________； （4）____________． 【考点4：有理数减法的实际应用】 例1.国庆期间，无数游客相聚在荷兰花海庆华诞、赏美景、品美食，万千繁花，人气爆棚的热闹景象被央视新闻点赞报道．为统计国庆期间荷兰花海的游客人数，将万人作为基数，超过万人的部分记作正数，不足万人的部分记作负数．下表是荷兰花海10月1日至7日每天的游客人数（单位：万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数 (1)这七天中，游客人数最多的一天比最少的一天多多少万人？ (2)已知荷兰花海的门票价格是50元/张，求国庆七天荷兰花海门票总收入是多少钱？ 例2.江津青花椒闻名重庆，小宇把自家种的青花椒放到网上销售，计划每天销售200千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小宇第一周青花椒的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 青花椒销售超过或不足计划情况（单位：千克） (1)小宇第一周销售青花椒最多的一天比最少的一天多销售_____千克； (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是多少千克？ (3)若小宇按45元/千克进行青花椒销售，平均运费为5元/千克，每天需支出销售费用100元，则小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入多少元？ 变式1.2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为__________万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人． (3)请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 变式2.小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“” 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)在这七天中，最远与最近路程差是多少千米？ (2)若行驶需用汽油升，汽油价格为元升，请计算小明家这天的汽油费用是多少元？ 变式3.新能源汽车作为环保型汽车，采用非常规的车用燃料作为动力来源，能够减少二氧化碳等温室气体的排放，深受大众喜爱，越来越走进千家万户．某运输公司为了响应环境保护的号召，购置了一批新能源汽车，其中编号为01的车辆连续7天的行驶路程如下表（单位：）（以为标准，多于记为正，低于为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 (1)这七天里路程最多的一天行驶了 ，比最少的一天多 ； (2)已知该新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.6元，求该新能源汽车这7天的充电总费用． 【考点5：有理数加减法的混合运算】 例1.计算： (1) (2) 例2.计算∶ (1) ； (2) 变式1.计算： (1)； (2)． 变式2.计算： (1)； (2)； (3) (4)； 变式3.计算 (1) (2) 变式4.计算： (1) (2) (3) (4) 变式5.计算： (1) (2) 【考点6：有理数加减法的简便运算】 例1.阅读下列材料： 对于，可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，请仿照上面的方法计算： (1)______； (2)． 例2.李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 变式1.阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 变式2.例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 变式3.阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【考点7：有理数加减法混合运算的应用】 例1.某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． (1)该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ (2)盈利（或亏损）了多少元 ？ 例2.小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 变式1.某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下．（单位：米）： ，，，，，，，，，，． (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，5名队员在全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气升，他们共使用了氧气多少升？ 变式2.做游戏，学数学．其乐无穷，游戏规则是： （1）每人每次抽取4张卡片，如果抽到椭圆卡片，那么减去卡片上的数：如果抽到长方形卡片．那么加上卡片上的数． （2）比较两人所抽取4张卡片的计算结果，结果大的为胜者． 小彬依次抽到了如图1所示的4张卡片：小丽依次抽取到了如图2所示的4张卡片；问获胜的是谁？并说明理由． 变式3.科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ 变式4.某儿童服装店老板以每件元的价格购进一批连衣裙，针对不同的顾客，件连衣裙的售价不完全相同，若售价以每件元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负；售出件数以5件为标准，超过的件数记为正，不足的件数记为负．销售情况记录结果如下表： 售价与标准价的差额（元） -5 +5 0 售出件数与标准件数的差额（件） -4 0 (1)根据记录可知，每件最高售价比最低售价高多少元？ (2)该服装店本次购进连衣裙多少件？ (3)求该服装店售完这批连衣裙所获的利润． 课后作业 1．（2026·河北·一模）魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北廊坊·一模）如图，这是某市2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最小的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 3．（2026·天津红桥·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·广东深圳·月考）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），则她当天微信零钱的最终收支应表示为（    ） 转账-来自小明 微信红包-发给小红 A． B． C． D． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 7．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是2026年2月某天哈尔滨、拉萨、石家庄、海口四个城市的天气情况，则日温差最大的城市是（    ） A．哈尔滨 B．拉萨 C．石家庄 D．海口 8．（25-26七年级下·北京·期中）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 9．（2026·河北沧州·模拟预测）某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 10．（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在水平放置的数轴上从左到右依次有A、B两点，若点A表示的数为，，则点B表示的数为______． 13．（2026·广东广州·一模）如图，数轴上的两点，分别表示的数为，，则，之间的距离为______． 14．（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）已知数轴上点表示的数是，点B到点A距离为3，则点B表示的数是______． 15．（25-26七年级下·重庆·自主招生）公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 16．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）计算： ______． 17．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 18．（2026·北京石景山·一模）某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G；②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 19．（2026·北京·一模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 20．（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 21．（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 22．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 23．（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算： 24．（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 25．（25-26七年级上·广东汕尾·期末）计算：． 26．（25-26七年级上·全国·期末）计算： 27．（25-26七年级上·云南·期末）计算：． 28．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）计算 (1)； (2)． (3) (4) 29．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 30．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 31．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 01讲 有理数的加法与减法 目录 【知识点1. 有理数的加法法则与运算律 1】 【知识点2. 有理数的减法法则与加减混合运算 3】 【考点1. 有理数的加法运算 7】 【考点2. 有理数加法的实际应用 12】 【考点3. 有理数的减法运算 16】 【考点4. 有理数减法的实际应用 18】 【考点5. 有理数加减法的混合运算 22】 【考点6. 有理数加减法的简便运算 27】 【考点7. 有理数加减法混合运算的应用 35】 【课后作业 37】 知识清单：有理数的加法法则与运算律 1、有理数的加法法则 1） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 数学表示：若a>0、b>0，则a+b= |a|+|b|； 若a<0、b<0，则a+b= -(|a|+|b|)； 2） 异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值； 数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|，则a+b= |a|-|b|； 若a>0、b<0，且|b|>|a|，则a+b= -(|b|-|a|)； 3） 一个数同0相加，仍得这个数。 2、运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 巩固基础 1．计算的结果是__． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数加法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．计算：（1）=______；（2）=______． 【答案】 -2024 【分析】根据有理数加法中“一个数与相加，仍得这个数”的规则来计算．本题主要考查有理数的加法法则，熟练掌握“一个数与相加，仍得这个数”是解题的关键． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． 3．计算： （1）______（______）＝______； （2）______（______）＝______． 【答案】 / / 【分析】本题考查有理数的加法运算， （1）直接根据有理数加法法则运算即可； （2）直接根据有理数加法法则运算即可； 解题的关键是掌握有理数加法法则：同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得；一个数同相加仍得这个数． 【详解】解：（1）， 故答案为：；；； （2）， 故答案为：；；． 4．计算： （1）_____； （2）_____=_____． 【答案】 0 0 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：0； （2）， 故答案为：，0． 5．计算：（1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 知识清单：有理数的减法法则与加减混合运算 1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 如： 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 2、有理数的混合运算步骤： 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 3．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 巩固基础 1．计算：___________． 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数减法法则进行计算即可． 【详解】解：． 2．计算：____________． 【答案】7 【详解】解：． 3．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，即可解答． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，掌握去括号法则“括号外面是减号括号里面每一项都要变号”是解题关键．根据去括号法则先去括号，然后再进行加法运算． 【详解】解： 故答案为：． 5．计算：______． 【答案】 【分析】可根据有理数减法法则，将减法转化为加法，再进行计算. 【详解】解： . 故答案为：. 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练运用有理数减法法则将减法转化为加法，再利用加法运算律简化计算. 6．计算的结果是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算， 先将分数化成小数，再根据有理数的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式 . 7．计算：． 解：原式_____ __________ _____（_____）_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，根据有理数混合运算的计算法则从左往右依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：，，，，，． 8．计算：． 解：原式（_____） （_____） _____ _____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法转化为加法，再利用加法运算律计算即可，掌握有理数的加减运算法则和加法运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：，，，． 直击考点 【考点1：有理数的加法运算】 例1.计算： (1)； (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2.计算： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值； （2）同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加； （3）任何数与0相加都等于该数本身； （4）互为相反数的两数和为0． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：故答案为：； （3）解： 故答案为：； （4）解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 变式1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) (5)0.7 (6) 【分析】（1）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （2）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （3）互为相反数两个数之和为0. （4）一个数同0相加仍得这个数. （5）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （6）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【点睛】本题考查了有理数的加法法则，解决本题的关键是熟练掌握有理数加法法则. 变式2.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，即可作答． （2）根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，即可作答． （3）根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，即可作答． （4）根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 变式3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减法． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）先通分，再计算即可； （3）先通分再计算加法即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 变式4.计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的加法运算律，先将原式中的分数化为小数，得，再结合加法交换律和结合律进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 变式5.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3)120 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （2）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可； （3）利用有理数加法运算律将原式整理为，然后根据有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【考点2：有理数加法的实际应用】 例1.为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，．问：若出车地记为，则最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ 【答案】千米 【详解】解：， ∴送完最后一名老师后，在出车地点的西边千米处． 答：小王距出车地点的距离是千米． 例2.一名足球守门员练习折返跑 ，从球门线出发 ，向前跑记作正数 ，向后跑记作负数 ，他的记录如下 ：（单位 ：米），，，，，，． (1)在练习过程中 ，守门员离开球门最远距离是多少米 ？ (2)守门员全部练习结束后 ，他共跑了多少米 ？ 【答案】(1) 在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是12米； (2) 守门员全部练习结束后，他共跑了米． 【分析】本题考查了有理数的加减的应用，绝对值的意义； （1）分别计算出每次离球门线的距离后即可求得答案； （2）对各数据的绝对值求和即可． 【详解】（1）解：第1次：（米）， 第2次：（米）， 第3次：（米）， 第4次：（米）， 第5次：（米）， 第6次：（米）， 第7次：（米）， 即在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是12米． （2）解：依题意，： (米)． 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 变式1.世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：+10，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)若守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．请问在这一段时间内，对方球员有几次挑射破门的机会? 【答案】(1)守门员最后回到球门线上； (2)守门员离开球门线的最远距离达米； (3)对方球员有3次挑射破门的机会． 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数的大小比较，理解题意是解题关键． （1）将守门员的跑动情况记录相加，即可得到答案； （2）分别求出每次跑动距离球门的距离，比较大小后取最大值即可； （3）结合（2）的结果，找出守门员离开球门线的距离超过10米的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 即守门员最后回到球门线上； （2）解：第一次跑动：， 第二次跑动：， 第三次跑动： 第四次跑动： 第五次跑动： 第六次跑动： 第七次跑动： 第八次跑动：， 守门员离开球门线的最远距离达米； （3）解：由（2）可知，在这一时间段内，守门员离开球门线的距离超过10米的情况有3次， 则对方球员有3次挑射破门的机会． 变式2.借助数轴来探讨有理数的加法：一个物体向东西方向运动，我们规定向西运动为负，向东运动为正． (1)第一次向东走20米，第二次向东走30米，最后运动的结果是什么？ (2)第一次向西走20米，第二次向西走30米，最后运动的结果是什么？ (3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，最后运动的结果是什么？ (4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，最后运动的结果是什么？ 【答案】(1)位于原来位置的东边50米处 (2)位于原来位置的西边50米处 (3)位于原来位置的西边10米处 (4)位于原来位置的东边10米处 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）向东走用正数表示，求出两次所走的距离之和，结果为正，则在原位置的东边，据此求解即可； （2）向西走用负数表示，求出两次所走的距离之和，结果为负，则在原位置的西边，据此求解即可； （3）根据题意，求出两次所走的距离之和，结果为负，则在原位置的西边，据此求解即可； （4）根据题意，求出两次所走的距离之和，结果为正则在原位置的东边，据此求解即可． 【详解】（1）解：米， ∴最后运动的结果是位于原来位置的东边50米处； （2）解：米， ∴最后运动的结果是位于原来位置的西边50米处； （3）解：米， ∴最后运动的结果是位于原来位置的西边10米处； （4）解：米， ∴最后运动的结果是位于原来位置的东边10米处． 变式3.2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【答案】(1)5.9 (2)4，6.8，1，1.2 (3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客 【分析】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法计算是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）分别计算2日到7日的游客人数即可判断； （3）将1日到7日的游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月3日的接待游客人数为万人次， 故答案为：； （2）解：因为10月2日的游客人次：（万） 10月3日的游客人次：（万） 10月4日的游客人次：（万） 10月5日的游客人次：（万） 10月6日的游客人次：（万） 10月7日的游客人次：（万） ∴国庆假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6.8万人次；游客人数最少的是10月1日，达到1.2万人次， 故答案为：4，6.8，1，1.2； （3）解：（万） 答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客． 【考点3：有理数的减法运算】 例1.__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和有理数的减法计算，先计算绝对值，再进行有理数减法运算． 【详解】解：， 故答案为：． 例2.（1）______； （2）_______； （3）_______． 【答案】 12 15 42 【分析】此题考查有理数的减法和加法运算，根据有理数的减法运算法则求解即可； 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴． 故答案为：12，15，42． 变式1.计算_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2.计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据有理数的加减法可以解答本题． 【详解】解：， 故答案为：． 变式3.计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法计算，掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式4.计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先去括号，再通分计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式5.填空： （1）____________； （2）____________； （3）____________； （4）____________． 【答案】 12 17 6 【分析】本题考查了有理数的减法法则，解题的关键是掌握“减去一个数等于加上这个数的相反数”这一转化方法． （1）根据有理数减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，将转化为加法运算，再计算结果． （2）依据减法法则，减去一个正数等于加上它的相反数，把转化为加法后计算． （3）按照法则，减去一个正数等于加上其相反数，将转化为加法运算再求解． （4）根据有理数减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，把转化为加法后计算结果． 【详解】解：（1）根据有理数减法法则． 故答案为：． （2）由减法法则可得． 故答案为：． （3）按照法则． 故答案为：． （4）根据法则． 故答案为：6． 【考点4：有理数减法的实际应用】 例1.国庆期间，无数游客相聚在荷兰花海庆华诞、赏美景、品美食，万千繁花，人气爆棚的热闹景象被央视新闻点赞报道．为统计国庆期间荷兰花海的游客人数，将万人作为基数，超过万人的部分记作正数，不足万人的部分记作负数．下表是荷兰花海10月1日至7日每天的游客人数（单位：万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数 (1)这七天中，游客人数最多的一天比最少的一天多多少万人？ (2)已知荷兰花海的门票价格是50元/张，求国庆七天荷兰花海门票总收入是多少钱？ 【答案】(1)游客人数最多的一天比最少的一天多万人 (2)总收入是2245万元 【分析】本题考查了正负数的意义和有理数的运算，解题关键是明确正负数的意义． （1）找到游客人数最多的一天和最少的一天的人数，然后两者作减法即可； （2）求出总人数，然后再乘以单价即可． 【详解】（1）解： 万人 答：游客人数最多的一天比最少的一天多万人． （2）解：万人 万元 答：总收入是2245万元． 例2.江津青花椒闻名重庆，小宇把自家种的青花椒放到网上销售，计划每天销售200千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小宇第一周青花椒的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 青花椒销售超过或不足计划情况（单位：千克） (1)小宇第一周销售青花椒最多的一天比最少的一天多销售_____千克； (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是多少千克？ (3)若小宇按45元/千克进行青花椒销售，平均运费为5元/千克，每天需支出销售费用100元，则小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)小宇第一周实际销售青花椒的总量是1416千克 (3)小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入55940元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）表格中的最大值减去最小值即可得出结果； （2）计划每天销量乘以天数，再加上表格中的数据之和，即可得出结果； （3）用总售价减去总运费减去总的销售费用，进行计算即可． 【详解】（1）解：（千克）； 故答案为：22； （2）（千克）； 答：小宇第一周实际销售青花椒的总量是1416千克； （3）（元）； 答：小宇第一周销售青花椒除去运费与销售费用后一共收入55940元． 变式1.2012年中秋、国庆两大节日喜相逢，全国放假八日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．其中，闻名于世的黄山风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为__________万人． (2)八天假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人．游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人． (3)请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 【答案】(1) (2)，，， (3)万人 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算的应用． （1）根据题意列式将9月30日的游客人数为万人依次加上10月1日到10月3日变化人数即可； （2）分别计算出10月1日到10月7日每天的人数，继而得到本题答案； （3）根据（2）的结论列式，再计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意列式：（万人）， ∴10月3日的人数为万人． （2）解：10月1日人数：（万人）， 10月2日人数：（万人）， 10月3日人数：（万人）， 10月4日人数：（万人）， 10月5日人数：（万人）， 10月6日人数：（万人）， 10月7日人数：（万人）， ∴游客人数最多的是10月2日，达到万人，游客人数最少的是10月7日，达到万人． （3）解：（万人）， ∴黄山风景区在这八天内一共接待了万人游客． 变式2.小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“” 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)在这七天中，最远与最近路程差是多少千米？ (2)若行驶需用汽油升，汽油价格为元升，请计算小明家这天的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)最远与最近路程差是千米； (2)小明家这天的汽油费用是元． 【分析】本题主要考查了有理数的减法、乘法，正数和负数的意义，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义． （）由小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程的最大值减去最小值即可求解； （）先计算出这七天中小明家共行驶的路程，再利用乘法进行运算即可． 【详解】（1）解：这七天中，最远与最近路程差是（千米）， 答：最远与最近路程差是千米； （2）解：这七天中小明家共行驶： （千米）， ∴小明家这天的汽油费用是（元）， 答：小明家这天的汽油费用是元． 变式3.新能源汽车作为环保型汽车，采用非常规的车用燃料作为动力来源，能够减少二氧化碳等温室气体的排放，深受大众喜爱，越来越走进千家万户．某运输公司为了响应环境保护的号召，购置了一批新能源汽车，其中编号为01的车辆连续7天的行驶路程如下表（单位：）（以为标准，多于记为正，低于为负）． 天数 一 二 三 四 五 六 七 路程 (1)这七天里路程最多的一天行驶了 ，比最少的一天多 ； (2)已知该新能源汽车平均每千米耗电0.2度，每度电的价格为0.6元，求该新能源汽车这7天的充电总费用． 【答案】(1)，27 (2)该新能源汽车这7天的充电总费用为元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用： （1）用标准值加上表格中的最大数值，求出最多行驶的路程，用表格中的最大数减去最小数求出最多一天比最少一天多的路程即可； （2）求出总路程乘以每千米的电耗再乘以每度电的价格进行计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，27； （2）（元）； 答：该新能源汽车这7天的充电总费用为元． 【考点5：有理数加减法的混合运算】 例1.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 例2.计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 变式1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2.计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 变式3.计算 (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 变式4.计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可； （2）根据有理数加减运算法则求解即可； （3）首先将带分数化为假分数，再运用加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，再根据有理数减法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式5.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）直接根据有理数的减法法则计算即可； （2）先把减法运算化为加法运算，再将带分数化为假分数，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【考点6：有理数加减法的简便运算】 例1.阅读下列材料： 对于，可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，请仿照上面的方法计算： (1)______； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用拆项法变形后，利用有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，结合题意将各式进行正确的变形是解题的关键． 例2.李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考出来简便运算，解题的关键是∶ （1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1.阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 变式2.例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 变式3.阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点7：有理数加减法混合运算的应用】 例1.某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． (1)该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ (2)盈利（或亏损）了多少元 ？ 【答案】(1) 盈利 (2) 盈利了37元 【分析】本题考查正数和负数，有理数四则运算的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． （1）所得的正负数相加，然后计算出总售价，再与进价相比较即可得到答案； （2）用总售价减去进价即可． 【详解】（1）解：∵， ∴总售价为：（元）， ∵， ∴该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利了； （2）解：由（1）可知总售价为397元，总进价为360元， ∴（元）， ∴盈利了37元． 例2.小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 变式1.某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下．（单位：米）： ，，，，，，，，，，． (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，5名队员在全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气升，他们共使用了氧气多少升？ 【答案】(1)他们最终没有登上顶峰，他们离顶峰还差米 (2)他们共使用了氧气升 【分析】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际含义． （1）将题目中的数据加在一起与进行比较即可解答本题； （2）题目中所有数据的绝对值相加即每个人走的路程，再乘以5乘以即可解答本题． 【详解】（1）解：（米， （米， 即此时他们没有登上顶峰，离顶峰还差米； （2）解：（米， （升 即他们共使用氧气升． 变式2.做游戏，学数学．其乐无穷，游戏规则是： （1）每人每次抽取4张卡片，如果抽到椭圆卡片，那么减去卡片上的数：如果抽到长方形卡片．那么加上卡片上的数． （2）比较两人所抽取4张卡片的计算结果，结果大的为胜者． 小彬依次抽到了如图1所示的4张卡片：小丽依次抽取到了如图2所示的4张卡片；问获胜的是谁？并说明理由． 【答案】小彬获胜，理由见详解． 【分析】本题考查有理数的加减运算，由题意列出正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算后再比较大小即可． 【详解】解：小彬获胜，理由如下： 小彬依次抽到了如图1所示的4张卡片， 小彬所抽取4张卡片的计算结果如下： 小丽依次抽取到了如图2所示的4张卡片， 小丽所抽取4张卡片的计算结果如下： ， 小彬获胜． 变式3.科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西边处； (2)出租车共消耗天然气立方米． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出几个数的和，根据符号判断出位置； （2）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量． 【详解】（1）解：， ∴小李在九洲体育馆门口西边处； （2）解：， ∴共消耗天然气：（立方米）， 答：共消耗天然气立方米． 变式4.某儿童服装店老板以每件元的价格购进一批连衣裙，针对不同的顾客，件连衣裙的售价不完全相同，若售价以每件元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负；售出件数以5件为标准，超过的件数记为正，不足的件数记为负．销售情况记录结果如下表： 售价与标准价的差额（元） -5 +5 0 售出件数与标准件数的差额（件） -4 0 (1)根据记录可知，每件最高售价比最低售价高多少元？ (2)该服装店本次购进连衣裙多少件？ (3)求该服装店售完这批连衣裙所获的利润． 【答案】(1)元 (2)件 (3)元 【分析】本题考查正负数的理解，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别求出最高售价和最低售价，求差值即可． （2）由题目已知即可得到答案． （3）分别求出每种情况的单价，利润和数量，然后求解即可． 【详解】（1）解：最高售价：（元） 最低售价：（元） 最高售价比最低售价高：（元） 答：每件最高售价比最低售价高15元． （2）解：该服装店本次购进连衣裙30件． （3）售价为元的连衣裙售出件， 售价为元的连衣裙售出件， 售价为元的连衣裙售出件， 售价为元的连衣裙售出5件， 售价为元的连衣裙售出件， 总利润为：． 答：该服装店售完这批连衣裙所获的利润为元． 课后作业 1．（2026·河北·一模）魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，可得图2表示的计算过程是． 2．（2026·河北廊坊·一模）如图，这是某市2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最小的一天是（   ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】C 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵， ∴日温差最小的一天是星期三． 3．（2026·天津红桥·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算即可得到结果. 【详解】解：． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 5．（25-26九年级下·广东深圳·月考）手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），则她当天微信零钱的最终收支应表示为（    ） 转账-来自小明 微信红包-发给小红 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负数表示收支的规则，计算所有收支的和即可得到最终结果． 【详解】解：根据题意，收入记为正，支出记为负， 将所有收支相加得 因此最终收支结果表示为． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 【答案】B 【分析】设上周日水位为初始值，根据每天的水位变化量依次计算出本周每天的水位，再比较大小即可得出水位最低的一天． 【详解】解：设上周日的水位为， 依次计算本周每天的水位： 周一水位：， 周二水位：， 周三水位：， 周四水位：， 周五水位：， 周六水位：， 周日水位：， ∵ ∴， ∴周四的水位最低． 7．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是2026年2月某天哈尔滨、拉萨、石家庄、海口四个城市的天气情况，则日温差最大的城市是（    ） A．哈尔滨 B．拉萨 C．石家庄 D．海口 【答案】B 【分析】用最高温度减去最低温度即可求出温差，然后比较大小即可． 【详解】解：A、温差为：； B、温差为：； C、温差为：； D、温差为：． ， ∴B符合题意． 8．（25-26七年级下·北京·期中）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 9．（2026·河北沧州·模拟预测）某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数轴上的长和直尺上的长，可求出数轴上一个单位长度在直尺上的长度是，再根据直尺上的长可求出数轴上的长，据此可得答案． 【详解】解：数轴上，直尺上，． ∴数轴上一个单位长度在直尺上的长度是， ∵直尺上，． ∴数轴上， ． ∴点对应的数是． 10．（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的点与刻度尺的位置对应关系，关键是找出刻度尺刻度与数轴上数的数量关系． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的3，对应数轴上的0，数轴的单位长度是， ∴刻度尺上的刻度值与数轴上对应的数的和为3， ∴刻度尺上对应数轴上的数为； 故选：D． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减混合运算．数轴上点的移动规律是“左减右加”，蜗牛从数轴上表示的点出发，移动规律为：奇数次向正方向移动，移动距离为移动次数；偶数次向反方向移动，移动距离为移动次数．根据向正方向移动的加，向反方向移动的减，列式计算第次（奇数次）移动后的位置． 【详解】解： ． 故选：A． 12．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在水平放置的数轴上从左到右依次有A、B两点，若点A表示的数为，，则点B表示的数为______． 【答案】3 【分析】结合B点在A点的右侧，且点A表示的数为，，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点B表示的数为． 13．（2026·广东广州·一模）如图，数轴上的两点，分别表示的数为，，则，之间的距离为______． 【答案】 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴，之间的距离为． 14．（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）已知数轴上点表示的数是，点B到点A距离为3，则点B表示的数是______． 【答案】或 【分析】分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别列式计算即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点到点的距离为， 当点在点右侧时，点表示的数为， 当点在点左侧时，点表示的数为， 综上：点B表示的数是或． 15．（25-26七年级下·重庆·自主招生）公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 【答案】8 【分析】根据循环小数的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意得，第二个循环点必然是小数最后一位数字， ∵要使得到的循环小数最小，应使循环节的起始数字尽可能小， ∴将第一个循环点放在数字上，得到的循环小数最小，即， ∴二者之和为． 16．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）计算： ______． 【答案】1 【分析】根据有理数减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数，进行计算即可． 【详解】解： ． 17．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 18．（2026·北京石景山·一模）某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G；②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 【答案】 22 C，E，G 【分析】本题考查统筹优化问题，解题思路是根据题目给出的前置限制，分别对多人合作和两人合作的情况安排工作顺序，计算最短总时间，确定甲需要完成的工作。 【详解】（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为B：分钟，G还要7分钟，则G这路需要（分钟）， 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为D：分钟，H还要2分钟，则H这路需要（分钟）， 且工作的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要分钟； （2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为的方案： 甲先做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长分钟，满足要求， 乙做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长，满足所有前置限制， 因此甲除以外，还需完成C，E，G． 19．（2026·北京·一模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 【答案】 42 【分析】根据表格中的数据计算出按的先后顺序制作时间即可； 要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给道具制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造，再按照或分类讨论即可． 【详解】解：（1）甲先制作用10分钟， 然后乙再给包装8分钟，这8分钟甲可以给制作，（分）， 还剩下的时间制作2分钟，这时还需要（分）， 乙开始给包装又花了8分钟，这8分钟甲给制作，还留有（分）， 这1分钟甲给制作，在乙完成的包装时甲给制作还需要（分），这分钟乙同时可以包装完， 综上，按照的顺序制作，等甲做完且乙包装完， 需要（分）， 最后，甲制作完之后，乙再给包装花费（分） 所以总时长为（分）； （2）要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给产品制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造， 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）； 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）， 所以按照的顺序制作所需总时间最短． 20．（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】19 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先求绝对值，再根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】解： ． 21．（25-26七年级上·广西崇左·期末）解答题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）先去括号将减法转化为加法，再利用加法结合律把正数与正数、负数与负数分别结合，简化计算； （2）先计算绝对值，再将小数化为分数，利用加法结合律把同分母分数结合，快速计算； （3）利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的项分别结合，通过抵消或合并简化运算； （4）先去括号转化为加法，再利用加法结合律把同分母的项分别结合，或通分后计算，简化运算过程． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 22．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数加法运算律计算即可． 【详解】解： 23．（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加法、减法计算法则是做题关键，注意同级运算从左往右依次运算．根据有理数的加减法计算法则先去括号，然后从左到右依次计算． 【详解】解：原式 ． 24．（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，掌握相关运算法则 解题的关键． 先根据有理数的加减运算法则化简，再用有理数的加法运算律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 25．（25-26七年级上·广东汕尾·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则，是解题的关键．根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 26．（25-26七年级上·全国·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减．根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： 27．（25-26七年级上·云南·期末）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，利用减法法则化为加法，计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 28．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 29．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 30．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 【答案】(1)180，90 (2)五，一 (3)660千克 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）对表格中所有数据求和再加200即可解答； 【详解】（1）解：根据表格可知，星期四运进大米180千克，运出大米90千克； （2）解：根据表格可知，星期五只运出大米，而没有运进大米；星期一运出的大米和运进的大米同样多． （3）解： 千克， 答：如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余660千克大米． 31．（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 (1)10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； (2)通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】(1)，， (2)少万人 【分析】分别计算出各天的人数即可求解． 【详解】（1）解：∵日：； 日：； 日：； ∴； ∴月日的客流量比月日的客流量少万人； 日：； 日：； 日：； 日：； 日：； ∵， ∴日的客流量最多，日的客流量最少； 故答案为：， （2）解：∵， ∴月日的客流量比月日的客流量少万人． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $