专题07 角度中的五类动态模型（几何模型讲义）数学人教版2024七年级上册

专题07. 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 16 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 29 模型4.旋转中的分类讨论模型 41 模型5.旋转中的新定义模型 41 17 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴，∴， ∴是的，∴是的新生线，故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，，∴． ∴，∴． ∵平分，∴； 当时，如图所示， 同理，，∴， ∵平分，∴；综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，，∴， ∴当追上的时间为：，解得：； 当追上的时间为：，解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分，∴． ∵， 当时，∴，解得：； 当时， ，∴，解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时，∵， ∴，∴，解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时，∵， ∴，∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时，∵， ∴， ∵，∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时，∴，解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． （24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____． 【答案】(1)(2)(3)①或；② 【详解】（1）解：如图2，当秒时，， ，，； （2）解：平分，，， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，，解得：，故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， ，分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时，解得：； 综上所述，或； ②，理由如下： 分两种情况：当在异侧时，如图：由题意得：， ， ； 当在同侧时，如图：由题意得：， ， ；综上所述，． 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值；(2)如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值． (3)知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求___________． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ∴，， ∴，， ∴， ∵，∴； （2）解：设旋转时间为，则，， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：设运动时间为，点M、N速度分别为，则，， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 例2（24-25七年级上·广东江门·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上． (1)如图1，点在直线的同侧，若，则的度数为_____________； (2)如图2，点在直线的同侧，若平分平分，求的度数； (3)如图3，绕点旋转三角板，使点在直线的异侧，当时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）∵且 ∴；故答案为：； （2）∵是的平分线，是的平分线， ∴∴ ∵∴ ∴ ∴； （3）∵∴ 又，且，∴ ∴，∴ 例3（24-25七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②，，， 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ，，， 平分，，． （2）①∵， ∴； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当在上方，第一次平分时，，即，解得； 当在下方，第二次平分时，，即，解得； 当第二次平分时，，即，解得：． 综上，的值为，，，． 模型2.旋转中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点．(1)若线段，，求的长．(2)若，，由此可以猜想______（用、表示）．(3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)的度数不变，恒为 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵点、点分别是，的中点，∴，， ，∴； （2）解：∵，，∴， ∵分别是的中点，∴，， ， ，故答案为：； （3）解：的度数不变，恒为 ∵，，∴， ∵分别平分和，∴， ， ∴；综上，的度数不变，恒为． 例2（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)，(2)见解析(3)正确，； 【详解】（1）解：， ，故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵,∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，，． 例3（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)选择A: ；选择B：∠EOF的度数是或 【详解】（1）解：，，， ，分别是和的角平分线， ，，； （2）解：选择题．，分别是和的角平分线， ，， ；故答案为：； 选择题．①射线，只有1个在外面，如图3①，      ． ②射线，个都在外面，如图3②， ． 故的度数是或． 例2（24-25七年级上·天津河北·期末）如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数；(2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值；(3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）．． （2）如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：．． 如图所示，设当边旋转到时，恰好平分，则 旋转的角度为：．． （3）由题意可知： ∵， ，得． 例3（24-25七年级上·贵州黔西·期末）如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图．运动停止时，直接写出______；请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)；(2)小田的发现是正确的，这个定值是； (3)；当时，；当时，． 【详解】（1）如图，∵，，三点共线，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）小田的发现是正确的，这个定值是，理由，如图， ∵，设，则， ∴，， ∴，∴小田的发现是正确的，这个定值是； （3）如图，∵，∴，， 设运动时间为，则，则， 运动停止时，即时，如图，旋转的角度为， ∴，故答案为：； 当点，，三点共线时，； ∴当时，，，∴； 当时，，，∴， 综上，当时，；当时，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒．(1)当秒时，求出的度数．(2)在运动过程中，当达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)的值为秒或秒或秒(3)存在，的值为秒或秒或秒 【详解】（1）解：当时，，，则； （2）解：当秒时，，解得； 当秒时，；解得； 当秒时，，解得； 综上所述，的值为秒或秒或秒； （3）解：存在． 当秒时，平分，，解得； 当秒时，平分，，解得； 当秒时，平分，，解得． 综上所述，的值为秒或秒或秒． 例2（24-25七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)(2)当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析 (3)能，秒；30秒；90秒 【详解】（1）解∶∵，是的内半角，∴， ∵，∴，；故答案∶； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： 由旋转得：，∴ ， ∵∴，， ∵是的内半角，∴，∴，解得：﹔ （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的内半角，， ∴，∴，解得：， 如图2，∵是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 如图3，是的内半角，， ∴，∴，解得：，， 模型5.旋转中的新定义模型 例1（24-25七年级上·广东·期末）【概念提出】已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．（1）若，则 ；（2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】（3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，． 【答案】（1）1或；（2）见解析；（3）① 2 ；② 75 【详解】（1）解：若射线在的内部，则， ； 若射线在的外部，则， ；综上所述，或．故答案为：1或． （2）解：，，， 若射线在下方，此时， ，即（不符合题意，舍去）； 若射线在内部，此时， ，，即射线为的三等分线， 由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去； 若射线在上方，此时， ，，如下图，则射线即为所求： （3）解：①当旋转时间为45秒时，，， 射线位于内部或边上，下面分2种情况讨论： 当，此时， ， 由图可知，，； 当，此时， ；综上所述，的最小值为2．故答案为：2． ②当射线在内部或边上时，则有， 此时，不符合题意， 射线不能在内部或边上，即的两边都在的外部，设旋转时间为秒， 当射线从图2的位置旋转至，则， 当射线从图2的位置旋转至，则，； 当时，如图， 则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意，在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图，则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意，在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图， 当，由①中的结论有：，符合题意； 当，此时有或， 令，则或，解得：或， 射线位于内部或边上，或， 当时，， 当时，， 当时，．故答案为：75． 例2（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则________； (2)如图2，若，是的内余角，平分，平分．的大小是否随着的变化而改变？若不变，求出的度数； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以5度/秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒．当，同时射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，求出的值． 【答案】(1)(2)不变，是定值(3)9秒或63秒 【详解】（1）∵，，是的内余角， ∴，故答案为：； （2）的大小不随着的变化而改变，理由如下： ∵，是的内余角，∴ ∴ ∵平分，平分．∴ ∴； （3）根据题意，分是的内余角、是的内余角两种情况分析， ①如图，若是的内余角， ∴，，∴，解得； ②如图：若是的内余角， ∴，， ∴，解得； ∴射线，，，构成内余角时，为9秒或63秒． 1．（24-25七年级上·浙江·培优）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 【答案】5，45，135，175 【详解】解：设t秒时，射线构成内半角，分情况讨论． 如图①：当，由旋转的性质可得：， ∴， ∵，∴，解得：； 如图②：当,由旋转的性质可得：， ∴，， ∵，∴，解得：； 如图③：当,由旋转的性质可得：， ∴，， ∵，∴，解得：； 如图④：当,由旋转的性质可得：， ∴， ∵，∴，解得：． 综上，旋转时间为5，45，135，175．故答案是：5，45，135，175． 2．（24-25七年级上·绵阳·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【详解】解：当点C在上方时，如图， ，，平分， ，； 当点在下方时，如图，同理可得，， ，故答案为：或． 3．（24-25七年级上·云南保山·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分，如图．    (1)如图甲，若，求的度数；(2)如图乙，若平分，求的度数；(3)如图丙，若旋转前，绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，请探究和之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)当时，；当时， 【详解】（1）解：，， 是直角，，， 平分，，； （2）解：平分，平分，，， ，，； （3）解：①时，由题意得旋转后：，       ，； ②时，由题意得旋转后：， ，． 综上所述：当时，；当时，． 4．（24-25七年级上·河北衡水·期中） 点O为直线上一点，过点O作射线，使，一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图 1，将三角板的一边与射线重合时，则 (2)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，当恰好是 的角平分线时，求的度数；(3)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转旋转α度，始终在的内部，在旋转的过程中，能否使?若不能，说明理由；若能，直接写出α的度数． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵，与射线重合， ∴，故答案为：； （2）解：∵是的角平分线，∴， ∵，∴； （3）解：分以下两种情况：当是内时，， ，， ∵，∴，解得：； ②当在外时，，，，， ∵，∴，解得：． 综上所述，α的度数为或． 5．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数．(2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）．(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1)(2)(3)①．理由见解析；②， 【详解】（1）解：，， 平分，， 是直角，即，； （2）解：，， 平分，， 是直角，即，，故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时，设，则， 平分，， ，，即， ，， ，； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分，，又，， ，由（2）知，若，则， ，，即； 在图2中，．理由如下： 平分，，又， ，即，由①知，， ，，， 将代入，得，整理得． 6.（24-25七年级上·广东珠海·期末）综合探究：如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，． (1)如图1，______；(2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由；(3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______；当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)135 (2)是的平分线；理由见解析(3)125；25；；理由见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴；故答案为：135； （2）解：是的平分线；理由如下： 落在的平分线上，， ， ； ，即是的平分线． （3）解：当时，，∴；故答案为：125； 当时，，∴；故答案为：； ；理由如下：，又， ． 7.（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】计算：；判断：当时，，当时，；操作： 【详解】解：计算∵，平分，∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转，∴．∴t的值为2.25． 判断 当时，如图1，据题意，得，∴， ∵，∴，∴， 当时，如图2，据题意，得，∴， ∵，∴，∴； 操作 ∵，，∴， ∴， ∵，∴，则． 8．（24-25七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ；(2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ；当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)是的平分线；(3)，，，见解析． 【详解】（1）解：,， ，，故答案为：； （2）解：是的平分线，理由如下： 落在的平分线上，，， ，， ， ，平分； （3）解：当时，， ，； 当时，， ；猜想：， ，又， 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动．①当 秒时，；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【详解】（1）解：∵，平分， ∴，∴， ∵，，∴； （2）解：，∵，∴， ∵，∴， （3）解：①∵，，∴ ∴或，解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴，∴． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧．(1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 【答案】(1)①；②；(2)或(3)秒或20秒 【详解】（1）解：①． 故答案为：； ② ．故答案为：； （2）解：由题意可知 当与相遇时，由题意得，解得， 当旋转到射线上时，由题意得，解得， 当与相遇前，时，，∴； 当与相遇后，时，，∴． 综上为或； （3）解：设运动时间为x， 当与相遇时，解得， 当旋转一周时，，解得， 当与相遇前，时， 射线是，两条射线组成的角的平分线，，解得； 此时，不成立； 当与相遇后，时， 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，，解得； 当射线是，两条射线组成的角的平分线时，，解得． 综上：运动时间为秒或20秒时，射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线． 10．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图①，，为外的一个锐角，且．(1)若平分，平分（如图②），求的度数； (2)射线从处绕着点O在外旋转，平分，平分， （ⅰ）如图③，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． （ⅱ）如图④，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． (3)如图⑤，射线从处以/分的速度绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转，平分，平分，请直接写出多少分钟时，的度数是？[注：本题所涉及的角都是小于的角]      【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）(3)3或25分钟 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴； （2）解：（ⅰ）∵射线绕着点O逆时针旋转，∴， ∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴；故答案为：； （ⅱ）∵射线绕着点O逆时针旋转，∴， ∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴；故答案为：； （3）解：设x分钟时，的度数是，依题意有：， ∵平分，平分，∴，， ①延长到，若射线在内部旋转，如图，      ，即：，解得：； ②若射线在外部旋转，如图，    ，即：，解得：； 综上，3或25分钟时，的度数是． 11．（24-25七年级下·四川资阳·开学考试）如图1，点，，依次在直线上，将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转（如图2），设旋转时间为（，单位秒）． (1)当时，______°．(2)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1)(2)存在，或(3)或 【详解】（1）解：当时，，， 点，，依次在直线上，．故答案为：． （2）解：存在，理由如下： ①旋转一周的时间为（秒），，即已经旋转的位置， 若平分且，位置如图1：此时， ，， 平分，，，解得； ②若平分且，位置如图2：此时， ，超过的部分就是，， 平分，，，解得； （3）解：①如图3，当第一次达到时，比多转了， 得：，解得， ②如图4，当第二次达到时，比多转了， 得：，解得， ③如图5，当第三次达到时，比多转了， 得：，解得，不符合题意． 综上所述，当时，或． 12．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数；(2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)的大小不会变化，理由见详解． 【详解】（1）解： ，； （2）射线分别为的平分线， （3）的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 13．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)108，24 (2)或 【详解】（1）解：设，则， ，则，解得：， ， ∵绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转， （秒），故答案为： 108，24 ． （2）解：当在内部，如图所示， 设，，， 平分，， ，，即； 当时，在的外部（时，重合）， ，， ∵平分，， ， ，即， 综上所述：或． 14．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数；(2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方．①当，求的度数；②时，求旋转角α的值． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1），，  ，   平分，  ； （2）①，，，  ，   平分，  ；   ②，平分，  ，   ，  ，   ，  与互为余角，  ． 15．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果）；(3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”；②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 【答案】(1)是(2)或或(3)①或或；②或 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”；故答案为：是 （2）∵， 当是的角平分线时，∴； 当是三等分线时，较小时，∴； 当是三等分线时，较大时，∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”，∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为．∴． 当时，如图所示：，解得；    当时，如图所示： ，解得； 当时，如图所示：  ，解得． ∵或或均在的范围内，∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部，∴，， 当时，如图所示：  ，解得（不是整数，舍去）； ②当时，如图所示：  ，解得； ③当时，如图所示：，解得． ∴当射线是的“巧分线”时整数的值为或． 16．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是_________，的大小是_________；②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立； 【问题拓展】（3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 【答案】（1）①，；②；（2）证明见解析；（3）的大小为，， 【详解】解：（1）①∵，∴，， 又∵，∴， ∵平分，∴； ∵， 又∵平分，∴， ∴，故答案为：，； ②； （2）证明：∵，，平分，平分， ∴， ， ∴， ∴； （3）设，分三种情况讨论：①如下图， ∵，，平分，平分， ∴， ， ∵，∴，解得，即； ②如下图，∵， ， ∵，∴，解得，即； ③如下图，∵ ， ， ∵，∴，解得，即． 综上所述，的大小为，，． 17．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数；(2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？(3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 【答案】(1)(2)(3)5秒或10秒 【详解】（1）已知，．​ 因为点 B 在 内部，且 按逆时针排列，所以． （2） 平分，故； 平分，故． （3）射线旋转角度：度，射线 旋转角度：度． 初始时，t秒后： ． 令，则或，解得或． 验证：OP 到达 OC 需 15 秒 （秒），和均在范围内． 18．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知如图，． (1)若，则____；(2)如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系；②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 【答案】(1)或(2)①或；②的值为或或 【详解】（1）解：①如图，当在内部， ∵，，∴， ∴； ②如图，当在外部， ∵，，∴， ∴；综上所述，或，故答案为：或； （2）∵为外部的一条射线，，，∴， ①分两种情况：第一种情况：当在内时， 设，则，∴，， ∴，，∴，即； 第二种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴，即； 综上所述，和之间的数量关系为或； ②∵，， 又∵射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止，旋转时间为秒， ∴，，， 第一次平分：如图，∵，， 又∵平分，∴，∴，解得：； 第二次平分：如图，∵，， ∴， ∵所在直线平分，∴平分，∴，∴，解得：； 第三次平分：如图，∵，， ∵平分，∴，∴，解得：； 综上所述，的值为或或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07. 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 16 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 29 模型4.旋转中的分类讨论模型 41 模型5.旋转中的新定义模型 41 17 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． （24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____． 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值；(2)如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值． (3)知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求___________． 例2（24-25七年级上·广东江门·期末）如图，三角板的直角顶点在直线上． (1)如图1，点在直线的同侧，若，则的度数为_____________； (2)如图2，点在直线的同侧，若平分平分，求的度数； (3)如图3，绕点旋转三角板，使点在直线的异侧，当时，求的度数． 例3（24-25七年级上·四川达州·期末）如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由．(2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值．②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 模型2.旋转中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点．(1)若线段，，求的长．(2)若，，由此可以猜想______（用、表示）．(3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 例2（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 例3（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 例2（24-25七年级上·天津河北·期末）如图①，点为直线上一点，，将一直角三角板的角的顶点放在店处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方． (1)在图①中，求和的度数；(2)将图①中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，边恰好平分，第秒时，边在的平分线上，请分别求出的值；(3)将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转至图②，使边在的内部，边在的外部，请研究：与之间的数量关系，并说明理由． 例3（24-25七年级上·贵州黔西·期末）如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°； (2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图．运动停止时，直接写出______；请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒．(1)当秒时，求出的度数．(2)在运动过程中，当达到时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 例2（24-25七年级上·福建福州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 模型5.旋转中的新定义模型 例1（24-25七年级上·广东·期末）【概念提出】已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）．（1）若，则 ；（2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】（3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，． 例2（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则________； (2)如图2，若，是的内余角，平分，平分．的大小是否随着的变化而改变？若不变，求出的度数； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以5度/秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒．当，同时射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，求出的值． 1．（24-25七年级上·浙江·培优）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 2．（24-25七年级上·绵阳·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 3．（24-25七年级上·云南保山·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分，如图．    (1)如图甲，若，求的度数；(2)如图乙，若平分，求的度数；(3)如图丙，若旋转前，绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，请探究和之间的数量关系． 4．（24-25七年级上·河北衡水·期中） 点O为直线上一点，过点O作射线，使，一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图 1，将三角板的一边与射线重合时，则 (2)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，当恰好是 的角平分线时，求的度数；(3)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转旋转α度，始终在的内部，在旋转的过程中，能否使?若不能，说明理由；若能，直接写出α的度数． 5．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数．(2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）．(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 6.（24-25七年级上·广东珠海·期末）综合探究：如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，． (1)如图1，______；(2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由；(3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______；当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 7.（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），，，，保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转（如图2），旋转时间为t（）秒．      计算  当平分时，求t的值； 判断  判断与的数量关系，并说明理由； 操作  若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当三角板停止时，三角板也停止，直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 8．（24-25七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ；(2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ；当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 8．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动．①当 秒时，；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，，如图1，将边重合放在直线上，在直线的两侧．(1)如图2，将绕点旋转，保持不动，填空： ①_____________；②_____________； (2)若按每分钟的速度绕点逆时针旋转，同时按每分钟的速度绕点逆时针旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为，单位：分)，计算 (用含的代数式表示)； (3)若以的速度绕点顺时针旋转，同时射线以的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，同时停止转动，当射线中的一条是另外两条射线组成的角的平分线时，求运动时间是多少？ 10．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图①，，为外的一个锐角，且．(1)若平分，平分（如图②），求的度数； (2)射线从处绕着点O在外旋转，平分，平分， （ⅰ）如图③，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． （ⅱ）如图④，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． (3)如图⑤，射线从处以/分的速度绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转，平分，平分，请直接写出多少分钟时，的度数是？[注：本题所涉及的角都是小于的角]      11．（24-25七年级下·四川资阳·开学考试）如图1，点，，依次在直线上，将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转（如图2），设旋转时间为（，单位秒）． (1)当时，______°．(2)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，当时，求的值． 12．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数；(2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 13．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 14．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数；(2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方．①当，求的度数；②时，求旋转角α的值． 15．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；（用含的代数式表示出所有可能的结果）；(3)如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”；②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时整数的值． 16．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】（1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是_________，的大小是_________；②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立； 【问题拓展】（3）如图3，，，在绕着点旋转一周的过程中，平分，平分，当时，直接写出的大小． 17．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知：如图1，，． (1)求的度数；(2)如图2，若射线在内部，作平分，平分，的度数是多少？(3)如图3，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当，试求的值． 18．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知如图，． (1)若，则____；(2)如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系；②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $