湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（三）

**基本信息** 结合全运会吉祥物抽样、文明城市竞赛统计等现实情境，通过函数对称性探究、向量共线判断等问题，考查数学眼光观察、数学思维推理及数据意识，适配高一期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、直观图面积、方差、向量模|基础概念辨析，如第2题结合直观图面积考查空间观念| |多选题|3/18|三角函数性质、数据分位数、二项式系数|选项分层设计，如第11题综合方差计算与分位数应用| |填空题|3/15|向量垂直、分层抽样、圆锥与球体积比|文化情境融入，如第13题以全运会吉祥物为背景考抽样| |解答题|5/77|集合运算、统计图表分析、解三角形、复数、函数对称性|综合探究突出，如第19题函数对称中心证明与存在性问题，发展逻辑推理能力|

湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（三） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知一组样本数据（）的平均数为，方差为，则（    ） A．，，…，的平均数为 B．，，…，的方差为 C．，，…，的25%分位数为 D．，，…，的极差为 4．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 8．已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数 的图象是由函数 的图象向右平移个单位得到，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D． 的图象关于点对称 10．函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期 B． C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 11．下列结论正确的有（    ） A．若数据，，…，的方差为9，则数据，，…，的方差为4 B．若一组数据3，6，，，12的60%分位数为8，则，的值分别可能为7，9 C．若，，，则 D．在的展开式中，项的系数为3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则______． 13．第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 14．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__________，圆锥的表面积与球的表面积的比值是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知集合或，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 16．在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 17．在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 18．已知复数满足为纯虚数 (1)若的实部为2，求； (2)若为实数，且，求的最大值 19．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有．若函数的图象关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． ①求函数的对称中心； ②若命题“，，使得成立”是真命题，求实数m的范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市2025-2026学年下学期高一数学期末测试模拟试卷（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A D C D C AD AB 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由题意可得. 2．B 【分析】先求得原图形三角形中的值，再根据斜二测画法的规则进而求得. 【详解】画出的原图为直角三角形，且， 因为，所以，所以. 故选：B 3．C 【分析】设方差为，则，，即可判断AB，根据百分位数的定义即可判断C，利用极差的定义即可判断D. 【详解】对于A：，，…，的平均数为，故A错误； 对于B：，，…，的方差为，故B错误； 对于C：由，所以，，…，的25%分位数为，故C正确； 对于D：，，…，的极差为，故D错误. 故选：C. 4．A 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 5．D 【详解】因为个除颜色外其他都相同的球中，有个红球，个白球， 所以从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为. 6．C 【详解】因为，， 所以， 即，解得， 由知，. 7．D 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 8．C 【分析】考虑时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时不成立，舍去，再考虑，结合基本不等式求出函数值域，A错误；考虑，求出与时的函数值取值范围，进而得到不等式，求出答案. 【详解】①若，当时，在上单调递增， 此时，则，又不成立， 所以此时不成立，排除选项D； ②若 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则函数的值域，满足；排除选项A； ③若，当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足， 则解得. 综上所述：. 故选：C. 9．AD 【分析】首先求出函数解析式，然后结合正弦函数的性质逐个分析判断. 【详解】因为，向右平移个单位得， 对于A：最小正周期为，故A正确； 对于B：由，得，得， 因为在上递减，在上递增， 所以在区间上不单调递增，所以B错误； 对于C：因为， 所以的图象不关于直线对称，所以C错误； 对于D：因为，所以 的图象关于点对称，所以D正确. 故选：AD. 10．AB 【分析】求出函数的周期判断A；求出的值判断B；利用整体思想判断函数在上单调性，可判断C；求得，由正弦函数的性质判断D. 【详解】因为轴， 所以图象的一条对称轴为直线， 所以， 所以，故A正确； 易得，则， 所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，， 因为，所以，故B正确； 因为， 当时，， 由正弦函数的性质可知在上是先减后增，故C错误； 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，易知为奇函数，故D错误． 11．BCD 【分析】利用方差的线性变换性质判断A，根据60%分位数的定义和计算方法验证B，利用条件概率和独立事件的性质计算C，用二项式展开的通项公式求指定项系数D. 【详解】对于选项A，已知，， 则，故A错误； 对于选项B，数据共个，，因此60%分位数为第、个数的平均值， 将数据从小到大排列后，第3、4个数的平均值为8， 当时，数据排序后为3，6，7，9，12， 此时第3、4个数的平均值为，满足条件，故B正确； 对于选项C，因为，则 ， 所以，即独立， ，故C正确； 对于选项D，展开式的通项为：， 的通项为：， 令，即，且. ：系数， ：系数， 总系数为，故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】由平面向量垂直坐标运算可得，再计算，进而可得. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 则，， 所以. 故答案为： 13． 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 14． 【分析】设圆锥的底面圆半径以及球的半径，用表示出圆锥的高和母线以及球的半径，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比. 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为， 因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线， 由题可知：，所以球的半径 所以圆锥的体积为， 球的体积， 所以； 圆锥的表面积， 球的表面积， 所以， 故答案为：；. 15．(1)或，或 (2) 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）由，可得，解出即可得. 【详解】（1）若，则，则或， ，则或； （2）由，则，解得. 16．(1)众数为27.5，第95百分位数为 (2)①4人，2人；②11 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，可求得众数与95百分位数. （2）利用分层抽样求出第四组、第五组抽取的人数，再利用分层抽样的方差计算公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知   众数的估计值为27.5， 由频率分布直方图可知，第95百分位数在第五组内， 设第95百分位数为， ，解得； （2）①由频率分布直方图可知，第四组的频率为0.2，第五组的频率为0.1， 第四组应该抽取人， 第五组应该抽取人； ②第四组和第五组的平均数为， . 17．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和诱导公式，结合两角和的正弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）利用余弦定理，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）在中，，故， 将其代入等式得，即， 整理得， 由，得，解得， 又，故． （2）由余弦定理代入可得，则， 由基本不等式，可得， 则，由可得，当且仅当时等号成立， 所以， 则周长的最大值为. 18．(1) (2). 【分析】（1）根据纯虚数概念，设，再化简，根据的实部为2，建立方程，求出得解 （2）由（1）知，化简，根据为实数，建立方程求出，最后运用三角不等式计算即可. 【详解】（1）因为为纯虚数，设（，且） 则， 因为的实部为2，所以，，所以. （2）由（1）知， 所以， 因为为实数，所以，， 所以，， 因为， 所以，即的最大值为. 19．(1) (2)①，② 【分析】（1）根据对称的充要条件，令即可求解； （2）①根据题意得到即可；②由命题“，，使得成立”是真命题可得在上的值域是在上的值域的子集.，根据二次函数图象对称轴在区间上的单调性情况，分别讨论在和上的值域，即可求得参数范围． 【详解】（1）函数的图象关于点对称， 所以， 令，得； （2）①， ，即满足， 所以函数的图象关于点对称； ②命题“，使得成立”是真命题， 又在上单调递增， 所以时，的值域为， 因函数的图象关于点对称，则， 当时，，则当时，， 则， 化简得. 命题“，，使得成立”是真命题, 即在上的值域是在上的值域的子集. 先考虑时，，其对称轴为直线， ①当时，在单调递增，，， 此时，需满足，解得，故得； ②当时，在单调递减，在单调递增， ，， 需满足，解得； ③当时，在单调递减， ，， 此时，需满足，解得，故得. 再分析时，，其对称轴为直线， ①当，即时，在单调递减， ，，此时， 需满足，解得，故得； ②当，即时，， ， 需满足，可得； ③当，即时，在单调递增， ，，此时， 需满足，解得，故. 综合函数在与的上的情况，可得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $