专题2.2 用配方法求解一元二次方程（9大题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本初中数学讲义聚焦用配方法求解一元二次方程，以直接开方法为基础，系统梳理配方法的步骤（化1、移项、配方等），并延伸至比较大小、求最值等应用，构建从基础到拓展的学习支架。 资料通过“即学即练”“错解复原”等设计，强化运算能力与推理意识，如错解分析题引导学生辨析配方易错点，求最值题培养用数学语言解决实际问题的模型意识。课中便于教师分层教学，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

专题2.2 用配方法求解一元二次方程 教学目标 1. 理解配方法的基本原理，掌握通过配方将一元二次方程转化为(x+m)2=n形式再开平方求解。 2. 能用配方法解数字系数的一元二次方程，并能用其推导一元二次方程的求根公式。 3. 体会配方法在代数变形中的重要作用，发展逻辑推理与数学运算能力。 教学重难点 重点： 1. 掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，特别是二次项系数为1时的配方技巧。 2. 理解配方过程中的恒等变形（添项与减项），能准确完成配方并求解。 教学难点： 1. 当二次项系数不为1时，如何正确处理系数，即将方程两边同时除以二次项系数。 2. 理解配方法的本质是通过完全平方公式将方程变形，避免配方时出现符号或计算错误。 知识点01 直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 【即学即练】 1．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可； （2）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ， 解得． （2）解： 整理，得， ， 解得． 知识点02 配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【即学即练】 1．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （4）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （5）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 2．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是_____； (3)小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． (4)用配方法完整解方程 【答案】(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 (3)三 (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； （2）解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （4）解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 知识点03 配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【即学即练】 1．阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1)6 (2)19 【分析】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方． （1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案； （2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值为． 2．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ，， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最大（或最小）值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了用配方法解决问题． 首先把配方得到，根据平方的非负性可知，所以可知有最大值且最大值是； 首先把两个代数式相减得到，去括号和并同类项可得原式，配方可得原式，根据平方的非负性可知，从而可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 有最大值，最大值是； （2）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， ． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程，掌握直接开方的计算方法是解题的关键． （1）先移项，再直接开方，即可求解； （2）先移项，再直接开方，即可求解； （3）先移项，再直接开方，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∴， 直接开方得，． （2）解：， 移项得，， 直接开方得，或， ∴． （3）解：， 直接开方得，或， ∴． 【变式1】按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）利用直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴，． 【变式2】解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查利用直接开平方法解方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）利用直接开平方法解方程即可； （4）利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：，即， ∴； （2）解：，即， ∴； （3）解：， ∴或， ∴或； （4）解：， ∴，即：或， ∴或． 【变式3】解下列方程： (1) ； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）将方程变形为，然后利用直接开平方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）将方程变形为，然后利用直接开平方法求解即可； 本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法的解题步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：将方程变形，得． 直接开平方，得． ∴，． （2）解：直接开平方，得． ∴． ∴，． （3）解：将方程变形，得． 直接开平方，得， ∴． ∴，． 题型02 直接开平方法解一元二次方程的条件 【典例1】已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 【变式1】若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2】下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【详解】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 【变式3】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断． 【详解】解：将原方程可变形为：， ∵， ∴原方程没有实数根， 故选：D． 题型03 直接开平方法解一元二次方程的复合型 【典例1】用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 【变式1】解下列方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】 或 解得： 【变式2】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．开平方求出的值，然后求出x的值即可． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用直接开平方法求解即可； （）利用直接开平方法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， ， 或， ∴，． 题型04 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，化简将方程左边配成完全平方形式即可． 【详解】解：． 移项：将常数项移到右边，得． 配方：配方时，系数为 ，取其一半的平方，即 ． 保持等式平衡：． 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：． 因此，配方后的方程为 ． 故选：B． 【变式1】用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． 故选：B． 【变式2】用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤写出配方之后的方程即可． 【详解】解： 故答案选B 【变式3】用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式． 【详解】解：由原方程移项，得， 方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得， 即， 故选：C． 题型05 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，利用配方法进一步解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 【变式1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而开方解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 【变式2】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法进行解方程即可． 【详解】解：， ． ， ， ∴， ∴， 【变式3】用配方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 题型06 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是． 故选：C． 【变式1】把方程配方，化为的形式应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程；方程左右两边同时除以变形后，将常数项移动方程右边，方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项． 【详解】解：， 二次项化为得：， 配方得：，即． 故选：D 【变式2】用配方法解一元二次方程时，化为的形式可得到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即， 故选：C． 【变式3】将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先将常数项移到方程的右边，再把二次项化系数为，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 题型07 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 则， ， 直接开平方得， ，． 【变式1】配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．利用配方法解方程即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 【变式2】用适当的方法解下列一元二次方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得，， 解得：，． 【变式3】用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 解得，． 题型08 用配方法解一元二次方程错解复原问题 【典例1】下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） (1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)转化思想，完全平方公式 (2)三，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键． （1）根据解答过程判断依据即可； （2）根据配方法判断即可． 【详解】（1）解：体现的数学思想为转化思想，依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想，完全平方公式； （2）解：第三步变形时出现错误； 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得． 【变式1】下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得① 二次项系数化为1，得② 配方，得，即③ 由此可得④ 所以，⑤ (1)整个解答过程是从 步开始出现错误的，错误的原因是 (2)用这种方法解方程： 【答案】(1)③，等号右边没有加上1 (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解； 【详解】（1）解： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得，即， 由此可得：， 所以，， 由上可知，整个解答过程是从③步开始出现错误的，错误的原因是等号右边没有加上1， 故答案为：③，等号右边没有加上1； （2）解：， ，则， ，即， ， ，． 【变式2】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．        第一步 移项，得．        第二步 配方，得，即．    第三步 由此，可得．        第四步 所以，．        第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是________（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是________（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； (2)“第二步”变形的数学依据是________； (3)小明同学解题过程中，从第________步开始出现错误，请直接写出正确的结果________． 【答案】(1)降次；完全平方公式 (2)等式的基本性质 (3)三；， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键； （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答． 【详解】（1）解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次，其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次；完全平方公式； （2）“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； （3）小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 解：． 二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，， 故答案为：三；，． 【变式3】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次系数化为1，得．…………………………第一步 移项，得．…………………………………………第二步 配方，得，即．……………第三步 由此，可得．……………………………………第四步 所以．……………………………第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题的过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果：______． 任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①转化，完全平方公式；②等式的基本性质1；③三，，；任务二：移项要变号；最后结果要化成最简．（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握提公因式法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 任务一：①根据方程解答过程回答即可； ②第二步移项的依据是等式的基本性质，据此回答即可； ③根据方程解答过程回答即可； 任务二：根据解一元二次方程时，学生的常见错误给出意见． 【详解】解：任务一：①小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化；完全平方公式； ②“第二步”变形的依据是等式的性质1； 故答案为：等式的性质1； ③上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误； 正确的解是： 配方，得， 即， ∴，， 故答案为：三；，； 任务二：解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）， 题型09 配方法的应用 【典例1】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，即可得到答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，结合，代入后配方得，即可得到答案． 【详解】（1）解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为3． 故答案为：3． （2）解： （3）解：四边形面积为： 四边形面积的最大值为． 【变式1】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； 分析； (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 【答案】(1)1，大，2 (2)1，大，5，1，5，5 (3)当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查配方法的应用： （1）根据完全平方的非负性，进行作答即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性，进行求解即可； （3）设花园与墙垂直的边长为，利用矩形的面积公式，求出面积，利用配方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当，即：时，有最大值为2； 故答案为：1，大，2； （2）， ∵， ∴当时，有最大值为5； 故答案为：1，大，5，1，5，5； （3）设花园与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为：， ∴花园的面积， ∵， ∴当时，有最大值为：50； 答：当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【变式2】【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”． 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解： 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： （1）当___________时，代数式有最小值，最小值为___________． （2）当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ 【拓展提高】 （3）当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】（1）1；；（2）当时，代数式有最小值，最小值是4；（3）当，时，代数式有最小值，最小值是16 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可； （2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可； （3）将配方成，即可解答． 【详解】解：（1） 因为， 所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 故答案为：1；； （2）， 因为， 所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是4； （3） 因为，， 所以， 因此，当，，即，时，代数式有最小值，最小值是16． 【变式3】阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)；13 (2)最小值为2018； (3)围成的菜地的最大面积是． 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， ， 当时，代数式有最大值，最大值为13， 故答案为：；13； （2）解： ， 当，时，有最小值，最小值为2018； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，方程左边为完全平方式，直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用配方法解一元二次方程时，方程两边同时（   ） A．加6 B．减6 C．加36 D．减36 【答案】C 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．根据完全平方公式和进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， 则用配方法解一元二次方程时，方程两边同时加， 故选：C． 4．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 6．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程时，配方后方程变形为______． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解： 移项得：， ∴， 配方得：，即． 故答案为． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）当__时，多项式有最大值？求出这个最大值是 __ ． 【答案】 5 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得，再分析：因为，所以，即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5，进行作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 则， 即当时，多项式有最大值，且这个最大值为5， 故答案为：，5． 8．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为12，则输入的x的值为________． 【答案】3或 【分析】此题考查了程序框图求值，解一元二次方程，根据程序框图列出关于x的方程解方程即可得到结果． 【详解】根据题意得：， 解得：，， 故答案为：3或． 三、解答题 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用直接开平方法求解，即对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解； （2）利用配方法求解，先配方凑完全平方式，再开平方转化为一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， 或； 解得：或； （2）， ， ， ， ， 所以或， 解得：或． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，配方法的核心步骤为：先将二次项系数化为1，再移项将常数项移至方程右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方法求解方程的根． （1）先将二次项系数化为1，再依次进行移项、配方、开平方操作求解； （2）先消除二次项的分数系数，转化为整系数方程后，按配方法步骤求解； （3）先将二次项系数化为正数且为1，再移项、配方、开平方求解； （4）先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再按照配方法的标准步骤求解． 【详解】（1）解：两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， ∴， 即，； （2）解：两边同时乘以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （3）解：两边同时乘以得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （4）解：展开得：， 合并同类项得：， 移项得：， 两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，． 11．（25-26九年级下·广东惠州·开学考试）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】（1）步骤②中，等式两边没有同时加1； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； （2）解：， 配方得，即， 开方得或， ∴． 12．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）将方程化为的形式，n的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过配方将原方程化为题目要求的形式，即可得到的值. 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，得， 整理得 ， 对比，可得. 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 故选：D． 3．（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）对于二次三项式（且为常数），，下列说法： ①当时，若，则； ②无论取任何实数，若等式恒成立，则； ③当时，若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算法则以及完全平方公式是解题的关键．将代入，因式分解后结合可得；由恒成立得，进而；当时，计算得，解方程得。 【详解】解：当时，， 且， ， 即， 故正确； 恒成立， ， 即， ， ， ， 故错误。 当时， ，， ， 设，则， 即， ， 即， 故正确。 综上，正确的个数是个. 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）方程的根为 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．把看成整体，然后直接开方求解． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·期末）若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 【答案】25 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程—直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 8．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，理解新定义是解题的关键．根据题意得到，从而解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， ， 解得． 故答案为：． 9．（2026·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 _______． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 10．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 三、解答题 11．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． 12．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程： (1)； (2)． (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了利用直接开平方法和配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方法和配方法解一元二次方程的步骤． （1）先将常数项移至等号右边，再由直接开平方法求解； （2）先将常数项移至等号右边，再由直接开平方法求解； （3）直接开平方求解即可； （4）把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解； （5）把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开平方求解． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得： （3）解：    或 解得：； （4）解：    解得：； （5）解： 解得： 13．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的关键是在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． （1）（2）（3）（4）分别利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， ， 解得，． （3）解：， ， ， ， 解得，． （4）解：， ， ， ， 解得，． 14．（25-26九年级上·河北保定·期末）数学课堂上，张老师让嘉琪到黑板上板书计算一个方程的解答过程：用配方法解． 嘉琪的解答过程如下： 解：原方程可化为，…第一步 配方，得，…第二步 即，…第三步 直接开平方，得，…第四步 所以，，…第五步 (1)嘉琪同学的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程．（解题方法不限） 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据配方法的步骤，第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可作答； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由解答过程可知，嘉琪同学的解答过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解：原方程可化为， 配方，得， 即 直接开平方，得， 解得：， 15．（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2用配方法求解一元二次方程 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01直接开方法解一元二次方程 知识点02配方法解一元二次方程 2.知识清单 知识点03配方法的应用 题型01直接开平方法解一元二次方程 题型02直接开平方法解一元二次方程的条件 题型03直接开平方法解一元二次方程的复合型 用配方法解一元二次方程 题型04用配方法配二次项系数为1的一元二次方程 题型05用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3.题型精讲 题型06用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程 题型07用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 题型08用配方法解一元二次方程错解复原问题 题型09配方法的应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解配方法的基本原理，掌握通过配方将一元二次方程转化为+m)n形式再开平 方求解。 教学目标 2.能用配方法解数字系数的一元二次方程，并能用其推导一元二次方程的求根公式。 3.体会配方法在代数变形中的重要作用，发展逻辑推理与数学运算能力。 重点： 1.掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，特别是二次项系数为1时的配方技巧。 2.理解配方过程中的恒等变形（添项与减项），能准确完成配方并求解。 教学重难点 教学难点： 1.当二次项系数不为1时，如何正确处理系数，即将方程两边同时除以二次项系数。 2.理解配方法的本质是通过完全平方公式将方程变形，避免配方时出现符号或计算错 误。 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01直接开方法解一元二次方程 (I)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平 方法 (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义， (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程x2=a,可直接开平方求解。 若a>0,则x=士Va;表示为石=a,方=-a,有两个不等实数根： 若a=0,则x=O;表示为=方=0，有两个相等的实数根： 若<0，则方程无实数根 ②形如关于x的一元二次方程(ax+)=m(a≠0m之0)，可直接开平方求解，两根是 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数 的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根 【即学即练】 1用直接开平方法解下列方程： (1)4x+12-16=0 9 (2)(2x+1)2-9(x-3)2=0 知识点02配方法解一元二次方程 ()配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成(x+)=p(220)的形式，再利用直接开平方法求 解，这种解一元二次方程的方法叫配方法， (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：a2±2ab+b2=(a士b)2. 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0）的形式： ②将常数项移到方程的右边：方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方： ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数： ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解：若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； (2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方 (3)配方法的理论依据是完全平方公式r±2b+b'=(a±b) 【即学即练】 1.用配方法解下列方程： (1)x2+6x-11=0: (2)2x2+6=7x: (3)x2-10x+25=7: (4)3x2+8x-3=0; (5)(x-1)(x-2)=12 2.下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：3x2+12x-9=0 二次项系数化为1，得x2+4x-3=0.第一步 移项，得x2+4x=3.第二步 配方，得x2+4x+16=3+16,即(x+4=19.第三步 由此，可得x+4=±V9,第四步 所以x=V9-4,x=-9-4.第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数 学思想是一（填“消元”或“降次”)，其中，“配方法”所依据的数学公式是一（填“完全平方 公式”或“平方差公式”)： (2)“第二步”变形的数学依据是一 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)小明同学解题过程中，从第步开始出现错误。 (4)用配方法完整解方程 知识点03配方法的应用 1.用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零 (或小于零)而比较出大小 2.用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用 非负数的性质求出待定字母的取值。 3.用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值. 4.用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二 次函数中也有着广泛的应用. 【即学即练】 1.阅读理解：求代数式x+6x+10的最小值， 解：因为x2+6x+10=(x2+6x+9)+1=(x+3)2+1, 所以当x=-3时，代数式x2+6x+10有最小值，最小值是1. 仿照应用求值： (1)求代数式x2+2x+7的最小值： (2)求代数式-m2+8m+3的最大值. 2.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式 x2+4x+5最小值. 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+22+1, (x+2)20,(x+2)2+1≥1， ∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1. 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知y=-x2-8x+14,求y的最大（或最小）值 (2)比较代数式2x2+3x-5与3x2-x+1的大小，并说明理由. 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01直接开平方法解一元二次方程 【典例1】求下列各式中x的值： (1)25x2-16=0: (2(x+102-49=0: (3)(2x-1)2=81 【变式1】按要求解下列方程 (1)(x+2)-6=0(直接开平方法). (2)4(x-1)2=9 【变式2】解方程 (1)x2-9=0: (2)2x2-8=0: (3)(x+1)=16: (4)4(x+3)2=9 【变式3】解下列方程： 13-90 (2)(x-3)2=7: (3)4(x-2)2-3=0 题型02直接开平方法解一元二次方程的条件 【典例1】已知一元二次方程mx+n=0(m≠0)，若方程有解，则必须() A.n=0 B.m,n同号 C.n是m的整数倍D.m,n异号 【变式1】若关于x的方程(x-2=m+1有实数根，则m的取值范围是() A.m>1 B.m>-1 C.m≥1 D.m≥-1 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】下列方程能用直接开平方法求解的是() A.x2-4x+1=0B.x2-2x-1=0 C.x2-4x=0 D.x2-4=0 【变式3】一元二次方程(x-5)+1=0的根的情况是（) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 题型03直接开平方法解一元二次方程的复合型 【典例1】用适当的方法解方程：(3x-1)=(x-1) 【变式1】解下列方程：4(x-3)=(x+3) 【变式2】解方程：(3x-1)=4(2x+3) 【变式3】解方程： (1)(x+1)=(2x+1)2: 2)(x-5)2-4(x+5)2=0. 题型04用配方法配二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程x2-4x+2=0,配方后正确的是() A.(x-1)2=3 B.(x-2)2=2 C.(x-)2=1 D.(x-2)2=4 【变式1】用配方法解方程x2-6x+3=0时，原方程应变形为() A.(x-3)2=12 B.(x-3)'=6 C.(x-3=9 D.(x+3)2=-12 【变式2】用配方法解一元二次方程2x2-4x-6=0时，配方后的方程是() A.(2x-1)2=8B.(x-1)2=4 C.(x-1)2=8 D.2(x-1)2=4 【变式3】用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为() A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(c-1)2=6 D.(x-2)2=-9 6/16 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程：x2-2x-168=0 【变式1】解方程：x2-8x-5=0」 【变式2】解方程：x2+8x+3=0. 【变式3】用配方法解方程：x2-5x+6=0 题型06用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程 【典例】把方程--4=0左边配成一个完全平方式后，得到的方程是《) e(- D.以上都不对 【变式1】把方程3x2-12x-18=0配方，化为(c+m广=n的形式应为() A.(x-4)2=4 B.(x-2)2=4 C.(x-4)}2=10 D.(x-2)2=10 【变式2】用配方法解一元二次方程x2-2x-2025=0时，化为(cx+a)}=b的形式可得到() A.（x-1)2=2024 B.(x+1)=2026 C.(x-1)2=2026 D.(x-1)2=2025 【变式3】将方程2x2-12x+1=0配方成(x-m)}'=n的形式，下列配方结果正确的是（) 4.收+3=7a.c+3-号 C.(x-3}2=17 D.(G-32=17 2 题型07用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【典例1】用配方法解方程：2x2-4x-5=0 【变式1】配方法解方程：2x2+x-3=0」 【变式2】用适当的方法解下列一元二次方程：2x2-6x+3=0. 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】用配方法解方程：4x2-8x-3=0」 题型08 用配方法解一元二次方程错解复原问题 【典例1】下面是张星同学解一元二次方程2x2-8x=-5的过程，请认真阅读并完成相应的任务 2x2-8x=-5 解：二次项系数化为1，得2-4x=-5 2，（第一步） 配方，得红+4=+4，《第=步) 变形，得x=4=,(第三步) 开方，得x-4=±6 ， (第四步) 解得5=4+6 ,=4-6 2· (第五步) (1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想 是一一，其中“配方法”依据的一个数学公式是一一一： (2)上述解题过程，从第一一一步开始出现错误，请写出正确的解答过程， 【变式1】下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x-1=0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题. 解：移项，得2x2+4x=1① =次项系数化为1，得+2x=@ 配方，得+241-分，即6+-30 由此可得x+1= 2@ 所以劣=-14 2’专1 2⑤ ()整个解答过程是从步开始出现错误的，错误的原因是 (2)用这种方法解方程：2x2-4x-3=0 【变式2】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：3x2+12x-9=0 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次项系数化为1，得x2+4x-3=0. 第一步 移项，得x2+4x=3 第二步 配方，得x2+4x+16=3+16,即(x+4)}2=19. 第三步 由此，可得x+4=±V19 第四步 所以x=V19-4,x2=-V19-4. 第五步 完成下列任务： (1)上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数 学思想是 (填“消元”或“降次”)，其中，“配方法”所依据的数学公式是 (填“完 全平方公式”或“平方差公式”)； (2)“第二步”变形的数学依据是———- (3)小明同学解题过程中，从第步开始出现错误，请直接写出正确的结果 【变式3】下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解：2x2+4x-12=0 二次系数化为1，得x2+2x-6=0.…第一步 移项，得x2+2x=6.…第二步 配方，得x2+2x+4=6+4,即(x+2)=10.…第三步 由此，可得x+2=士0.…第四步 所以x=V10-2,=-、0-2.…第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现 的数学思想是一一，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ②“第二步”变形的数学依据是一一一； ③小明同学解题的过程中，从第步开始出现错误，请直接写出正确的结果： 任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议. 题型09配方法的应用 【典例1】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用. 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值. 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2 :无论x取何实数，都有(x+1)≥0， :(x+1)+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2. 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出x2-6x+12的最小值： (2比较代数式3x2-x+2与2x2+3x-6的大小，并说明理由： (3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=10,求四边形ABCD面积的最大值. B 【变式1】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.因为a2≥0，所以a2+1就有 最小值1，即a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为-a2≤0，所以-a2+1 有最大值1，即-a+1≤1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1. (1)当x=时，代数式-3(x-)2+2有最_（填“大”或“小”）值为-： (2)当x=时，代数式-2x2+4x+3有最-（填“大”或“小”）值为-： 分析：-2x2+4x+3=-2(x2-2x+)+=-2(x-1+一： (3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少 时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长） 【变式2】【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b叫做完全平方式”. 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再 减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法.例如： 求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？ 解：a2+6a+8=a2+6a+32-32+8=(a+3)}2-1 因为(a+3)≥0，所以a2+6a+8≥-1， 10116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此，当a=-3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是-1. 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： (1)当x= 时，代数式x2-2x-1有最小值，最小值为 (2)当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？ 【拓展提高】 (3)当x,y何值时，代数式5x2-4y+y+6x+25取得最小值，最小值为多少？ 【变式3】阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式a2+2ab+b及a2-2ab+b叫做完全平方公式.如果一个多项式不是完全平方 公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项.使整个式子 的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最 小值。 例如：求代数式x+2x-4的最小值 x2+2x-4=(x2+2x+1)-5=(x+1)-5,可知当x=-1时，x2+2x-4有最小值，最小值是-5. 再例如：求代数式-3x2+6x-4的最大值， -3x2+6x-4=-3(x2-2x+1)-4+3=-3(x-1)-1.可知当x=1时，-3x2+6x-4有最大值.最大值是-1. ()【直接应用】代数式x2+4x-3的最小值为一；代数式-x+6x+4的最大值为一一-： (2)【类比应用】若多项式M=a2+b2-2a+4b+2023,试求M的最小值： (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长）， 求围成的菜地的最大面积 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 菜地 强化训练 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上湖北孝感期末)方程(cx-)=0的根为() A.x=0 B.x1=x2=1 C.x=x2=-1 D.x=±1 2.(25-26九年级上山西运城阶段检测)如果用配方法解一元二次方程x-4x-1=0,那么方程可变形 为() A.(x-4)=17B.(x+4)2=17 C.(x-22=5 D.(x-2)2=-3 3.(25-26九年级上·河北唐山期末)用配方法解一元二次方程x2-12x=7时，方程两边同时（) A.加6 B.减6 C.加36 D.减36 4.(25-26九年级上辽宁葫芦岛阶段检测)不论a为何实数，多项式a2-4a+6的值一定是() A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定 二、填空题 5.(25-26八年级下福建厦门期末)若(c-)2=4,该方程的解为 6.(25-26九年级上山东菏泽期末)用配方法解方程2x2-2x-3=0时，配方后方程变形为 7.(25-26九年级上·全国课后作业)当x=时，多项式-2x2-4x+3有最大值？求出这个最大值是一· 8.(25-26九年级上河南新乡·阶段检测)如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为12，则输入的 x的值为， 输入x +1 -4 输出 三、解答题 9.(25-26八年级下·浙江宁波期末)解一元二次方程： (①0(x-12=9； (2)x2-6x-4=0 10.(25-26八年级下·全国课后作业)运算能力用配方法解方程： (1)2x2-4x-1=0: ②5r-x-1=0: 12116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③)7x2-3x+6=0: (4(2x+3)(x-6)=16 11.(25-26九年级下·广东惠州开学考试)阅读下列关于解方程：x2-2x-9=0的解题过程，解决下列问 题 解：x2-2x=9① x2-2x+1=9② (x-1)=9③ x-1=3或x-1=-3④ .x=4,x3=-2⑤ ()上述解题过程有误，错在步骤一（填序号）： (2)请你写出正确的解答过程， 12.(25-26九年级上：河北沧州期末)配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关 的问题或求代数式的最大值和最小值等.例如，我们用此方法求代数式x+6x+18的最小值的过程如下： 解：x2+6x+18=x2+6x+9+9=(x+3)2+9. (x+3)2≥0. (x+3)2+9≥9， ∴.x2+6x+18的最小值是9. 请根据以上材料，完成下列问题： ()代数式-2x2+4x+6=-2(x-)2+8,当x=时，代数式-2x2+4x+6有最值（填“大”或 “小”)，这个值是一 (2)比较代数式3x2-x+1与2x2+3x-6的大小，并说明理由. 能力提升 一、 单选题 1.(25-26八年级下安徽毫州期末)将方程x2-2x-3=0化为(x-m)2=n的形式，n的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 13116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是 〔-程e- 3.(2026江苏南通一模)解一元二次方程(x+2)=4时，通常将其转化为两个一元一次方程，己知其中 一个方程为x+2=2,则另一个方程为() A.x-2=-2B.x+2=-2 C.x-2=2 D.x+2=2 4.(25-26八年级下安徽合肥期末)关于x的一元二次方程a(c-m)+n=0与a,(x-m+n=0称为 “同族二次方程”.如2(x-3)-4=0与3(x-3)-4=0就是“同族二次方程”.现有关于x的一元二 次方程2x-1-1=0与(a+)x+(b-2)x-2=0是“同族二次方程”，那么代数式ar2+br+2024能取 的最大值是() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 5.(25-26八年级上重庆期中)对于二次三项式A=x+my-2x(x≠0且m为常数)，B=y-y+2y, 下列说法： ①当m=1时，若A=0,则x+y=2: ②无论x取任何实数，若等式A=x2-5x恒成立，则my=27: ③当m=-1时，若A=6,B=-7,则x-y=1 其中说法正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 6.(25-26九年级上·福建福州阶段检测)方程(x+2=25的根为 7.(25-26九年级上·全国期末)若一元二次方程ax=b(b>0)的两个不相等的根分别是2m+1与m-7, b 则。为 8.(25-26九年级上甘肃酒泉期中)在实数范围内规定一种运算“#'，其规则为a#b=2-b,根据这个 规则，方程(x-3)#5=0的解为， x=3a 9.(2026内蒙古包头模拟预测)若y=-b是方程2x+y=5的一个解，则代数式。+b+50的最小值为 14/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级下安徽滁州期末)把关于x的一元二次方程a(c-m+n=0与a,(x-m)'+n=0称为 “同构二次方程”.比如2(x-2)-4=0与3(x-2-4=0就是“同构二次方程”，已知两个关于x的一 元二次方程2(x--1=0与(a+1)x2+(b-2)x-2=0是“同构二次方程”，则a-b= 三、解答题 11.(2026八年级下·全国专题练习)用直接开平方法解方程： (1)(V2x-2=6: (23(x-1)2-6=0: (3)(x+3)(x-3)=9: ④(x+2=1+2」 12.(25-26八年级上浙江寒假作业)解方程： (1)4x2-3=0: (2)(x-2)2-25=0 (3)x2=(4-3x)7 (4)x2-6x=55 s+x1-0 13.(25-26八年级上·浙江寒假作业)用配方法解下列一元二次方程： (1)x2-8x=8 (2)x2+5x+3=0 ⑨护号40 (4x2+4V7x+12=0 14.(25-26九年级上：河北保定·期末)数学课堂上，张老师让嘉琪到黑板上板书计算一个方程的解答过程： 用配方法解x2-4V2x-17=0. 嘉琪的解答过程如下： 解：原方程可化为x2-4V2x=17,…第一步 15116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 配方，得x2-2x22+(42=17+(42,…第二步 即(x-4W2)=49,…第三步 直接开平方，得x-4√2=±7，…第四步 所以x=4V2+7,x2=4W2-7,…第五步 ()嘉琪同学的解答过程从第步开始出现错误。 (2)请你写出正确的解答过程.（解题方法不限） 15.(25-26九年级上·江西抚州期中)配方法是数学中重要的一种思想方法.这种方法经常被用到代数式 的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题， 【材料一】我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例 如，5是“完美数”，理由：因为5=22+1，再如，M=x2+2y+2y=(c+y+y,(x,y是整数)， 所以M也是“完美数”. 【材料二】例如，把二次三项式x2-2x+3进行配方，可求其最值. 解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x2-2x+1+2=(x-1+2 当x=1时，x2-2x+3的最小值为2. 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有一（只填序号）：①7：②10；③15；④34. (2)若x2-6x+13是“完美数”，可配方成(c-m+n(m,n为整)，求m与n的值： 3)已知实数x,y均满足x-y=2,求代数式x2+2y-4x+5的最小值. 16116