3.1 相似多边形（课时1） 教案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦相似多边形第一课时，涵盖线段的比、成比例线段、比例基本性质及相似多边形概念。从生活中形状相同的图形（如不同字号文字、照片）导入，通过问题链引导学生观察差异、转化方式及对应线段变化，搭建从直观到抽象的学习支架。 亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过问题链和推导培养推理思维，用方格图形和五边形实例强化数学语言表达。如用五边形探究相似多边形的对应角相等、对应边成比例双重条件，通过正多边形与菱形对比突破难点，助力学生夯实基础，为教师提供清晰教学路径。

3.1相似多边形(课时1) 一、核心素养目标 1.结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段； 2.会求两条线段的比，能用比值表示两条线段之间的关系；掌握比例的基本性质及其简单应用； 3.掌握相似多边形的概念及相似比； 4.能根据相似多边形的概念判断两个多边形是否相似. 二、教学重点及难点 重点：理解线段的比、成比例线段与比例的基本性质，掌握相似多边形的定义、相似比，能依据定义判断多边形是否相似. 难点：熟练运用比例性质进行变形计算，准确把握相似多边形边角同时满足的双重判定条件. 三、教学过程 【新知导入】 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形.如不同字号排出的相同文字；不同尺寸的照片 设计意图：从生活中形状相同的常见实例引入，拉近数学知识与现实生活的距离，让学生直观感知形状相同、大小不同的图形特征，激发学生的探究兴趣，为后续相似多边形、线段的比等概念的学习铺垫直观认知基础. 【探究新知】 你能在上图中找出形状相同的图形吗？ 学生积极回答，找出图中形状相同的图形. 根据上图这些图形，回答以下问题： ①图中形状相同的图形有什么不同？ ②形状相同的图形其中的一个如何由另一个得到？ ③形状相同，大小不同的图形对应线段如何变化？ 答案预设：①图中这些图形形状相同，大小不同. ②图形之间进行“放大、缩小”得到. ③图形上相应的线段也被“放大、缩小”. 教师点拨：对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用相应线段长度的比来描述图形的大小关系. 设计意图：通过层层递进的三个问题引导学生观察、对比形状相同的图形，让学生自主发现图形大小存在差异，感知图形经过放大或缩小能够相互转化，进而引出可以借助线段长度的比值刻画图形缩放程度，自然过渡到线段的比这一核心知识点，由直观表象逐步抽象出数学研究对象，培养学生观察归纳与几何抽象能力. 通过以上探究，归纳总结两条线段的比的相关知识. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n；那么这两条线段的比就是它们长度的比.记作∶AB:CD=m:n或. 其中，线段AB、CD分别叫作这个线段比的前项、后项. 如果把表示成比值k，则或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比. 教师强调：①两条线段的比就是长度的比，它没有单位； ②两条线段的比是有顺序的； ③两条线段的比与所选的长度单位无关； ④求两条线段的比时，如果单位不同，那么必须先化成同一单位，再求它们的比. 设计意图：依托前面图形放大、缩小的直观探究经历，从具象观察抽象出两条线段的比的数学定义，明晰前项、后项以及比值k的含义，完成从图形直观到代数概念的转化.通过四点易错规则着重强调，提前规避单位不统一、颠倒线段顺序、误带单位等常见解题错误，夯实比例知识的基础，为后续学习成比例线段、相似多边形的相似比做好知识铺垫. 如图，已知小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上. 教师提出：AB，AE，A′B′，A′E′的长度分别是多少？ 学生计算并回答：AB=2，，A′B′=1，. 教师追问：分别计算，，，的值.你有什么发现？ 学生在草稿纸上进行计算.作答完成后，教师选取学生代表进行回答. ，，，. 发现：=，=. 根据上述探究、计算，归纳成比例线段的相关知识. 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段.例如，上述的AB，A′B′，BC，B′C′是成比例线段； AB，BC，A′B′，B′C′也是成比例线段. 设计意图：借助方格网格的直观图形，让学生通过格点计算对应线段长度，自主求出多组对应线段的比值，在运算中发现比值相等的规律，顺势抽象归纳出成比例线段的定义.从具体的线段比值计算过渡到抽象的数学概念，依托图形直观降低比例线段概念的理解难度. 如果a、b、c、d四个数成比例，即，那么ad＝bc吗？反过来，如果ad＝bc，那么a、b、c、d四个数成比例吗？ 教师引导学生进行计算. ①由bd××bd，得ad＝bc. ②若bd不等于0，在ad＝bc两边同时除以bd，得：，即 此时a、b、c、d四个数成比例. 通过计算验证比例的基本性质，进行总结，学生做笔记. 比例的基本性质：如果，那么ad=bc. 如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么. 设计意图：以正反两个设问引导学生自主推导比例的基本性质，通过等式变形完成正向推导与逆向推导，让学生理解比例式与等积式之间可以相互转化；同时强调分母不能为0的限制条件，培养严谨的代数推理习惯. 观察下图，你认为五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同吗？ 学生回答：五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同. 教师提出：在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？ 学生回答：∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′，∠D与∠D′，∠E与∠E′. 教师追问：在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？ 学生在草稿纸上计算并回答：， 所以在这两个多边形中，夹相等内角的两边成比例. 通过学生自主观察、计算，进行归纳总结. 五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是形状相同的多边形. 其中∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′，∠D与∠D′，∠E与∠E′分别相等，称为对应角； AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DE与D′E′，EA与E′A′的比都相等，称为对应边. 根据以上探究，归纳相似多边形的相关知识，学生做笔记. 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 例如，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′. “∽”读作“相似于”. 相似多边形对应边的比叫作相似比. 如：六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似， 对应边的比. 则六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′的相似比k1=. 六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比k2=. 教师强调：在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 设计意图：借助方格中大小不同、形状一致的两个五边形，通过观察内角、计算对应线段比值的递进探究，引导学生自主总结出相似多边形需要同时满足对应角分别相等、对应边成比例两个核心条件，顺势给出相似多边形的定义、相似符号的规范写法以及相似比的概念.通过互换两个多边形的顺序讲解相似比具有顺序性，搭配对应顶点字母规范书写的强调，帮助学生规避易错点. 教师提出：你认为两个全等三角形相似吗？为什么？ 学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答. 全等三角形的对应边、对应角均相等，即相似比为1，因此两个全等三角形相似. 教师追问1：任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？ 学生小组讨论1-2分钟，自由发言. 教师引导学生进行证明. 等边三角形的三个角都是60°，所以任意两个等边三角形的各角分别相等. 设一个等边三角形的边长为a，另一个等边三角形的边长为b，它们对应边的比是一个定值，满足各边成比例，所以任意两个等边三角形相似. 同理，任意两个正方形相似，任意两个正n边形相似. 教师追问2：任意两个菱形相似吗？为什么？ 学生与同桌分别在草稿纸上画一个菱形，对比所画的菱形，形成共识后教师选取学生代表进行回答. 任意两个菱形不相似. 通过以上探究，归纳一定相似的多边形.学生做笔记. 所有的等边三角形相似；所有的正方形相似；所有边数相同的正多边形相似；所有的等腰直角三角形相似. 设计意图：以递进式问题开展小组、同桌合作探究，从全等三角形切入，让学生结合相似多边形定义推导得出全等是相似比为1的特殊相似，加深对相似概念的理解；依次探究等边三角形、正方形、正n边形的相似性，归纳出边数相同的正多边形一定相似的规律.再通过反例菱形辨析，让学生明确仅对应边成比例不能判定多边形相似，必须同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，有效突破相似多边形判定的易错难点，帮助学生正反双向巩固相似多边形的判定方法，提升逻辑辨析与归纳总结能力. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.两条线段的比； 2.成比例线段； 3.比例的基本性质； 4.相似多边形与相似比 六、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $