2.1 认识一元二次方程（课时2） 教案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程解的概念及估算方法，通过回顾方程定义、一般形式及各项名称搭建学习支架，导入环节让学生代入数值计算引出解的概念，探究环节结合实际情境展开估算。 特色是以实际问题为载体培养数学眼光，如铺地毯问题引导学生从现实中发现数量关系。通过列表计算、逐步夹逼的“两边夹”方法发展数学思维，提升推理意识和运算能力。步骤化梳理估算流程培养模型意识，帮助学生掌握估算方法，也为教师提供清晰教学路径。

2.1认识一元二次方程(课时2) 一、核心素养目标 1.理解方程解的概念； 2.经历一元二次方程解的探索过程并理解其意义； 3.会估算一元二次方程的解. 二、教学重点及难点 重点：理解一元二次方程解的含义，掌握估算方程近似解的方法. 难点：找准取值范围，逐步夹逼估算出一元二次方程的近似根. 三、教学过程 【知识回顾】 根据上节课所学进行填空. 只含有 未知数x的 方程，并且都可以化成 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 我们把 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 二次项： ，一次项： ，常数项： ，二次项系数： ，一次项系数： . 设计意图：回顾一元二次方程核心定义与一般形式、各项名称，夯实上节课基础，为本节课探究方程的解做好铺垫. 【新知导入】 教师提出：下面哪些数是方程x2–2x–8=0的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 教师引导学生列表进行计算. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x2–2x–8 16 7 0 -5 -8 9 -8 -5 0 学生观察表格数据，自主发现答案. -2，4是方程x2–2x–8=0的解. 通过上述探究，教师总结一元二次方程的解的概念，学生做笔记. 像数-2，4使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫做根). 设计意图：借助代入求值找匹配数值，直观引出一元二次方程解（根）的定义，用实操计算帮助学生理解解的本质含义. 【探究新知】 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 教师提出：通过上节课学习，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8-2x)(5-2x)=18. 你能设法估计出宽度x的值吗？ 设计意图：结合实际情境中的方程，引导学生尝试估算未知数取值，自然引出夹值估算近似解的方法，体会方程解的实际意义. 教师提问：方程(8-2x)(5-2x)=18中，x可能小于0吗？ 学生思考并回答：x不可能小于0，因为宽度不能为负. 教师追问1：x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由. 学生小组讨论1-2分钟，自由发言.教师对学生的回答进行反馈，总结观点. x不可能大于4，(8-2x)表示地毯的长，所以有8-2x>0. x不可能大于2.5，(5-2x)表示地毯的宽，所以有5-2x>0. 教师追问2：你能确定x的大致范围吗？ 学生通过上述探究进行回答：0<x<2.5 设计意图：结合实际意义缩小未知数取值区间，建立估算前的取值边界意识，为后续夹值法估算方程近似解铺垫思路. 学生独立完成表格 x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 教师提问：通过表格你知道所求宽度x(m)是多少吗？ 学生观察表格数据并回答. 由表格可知，当所求宽度是1m时，可使方程(8-2x)(5-2x)=18成立. 所以，所求宽度x是1m. 设计意图：借助列表代入计算，直观运用夹值验证法找到精确解，完整示范估算求解的操作步骤，巩固方程解的判定方法. 在上一课中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+(8-1)2=102，也就是x2+12x-15=0. 小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？ 教师选取学生代表进行回答，教师根据回答作出反馈. 不正确，因为x=1时不满足方程，所以底端不可能滑动1m. 教师提问：底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？ 学生类比回答：不可能是2，因为x=2时不满足方程.不可能是3，因为x=3时不满足方程. 教师追问：你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ 类比上面铺地毯的探究问题进行解答. 列表，学生独自计算，完成表格. x 1 2 3 x2+12x-15 -2 13 30 通过表格猜测x的大致范围：1<x<2. 设计意图：类比地毯例题的探究模式，迁移列表估值方法，让学生自主判断数值、锁定根的区间，强化夹值估算的解题思路. 教师提出：对于方程x2+12x-15=0，由1<x<2可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？ 下面是小亮的求解过程： x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 通过表格数据，可知x取值的大致范围是多少？ 学生回答：1<x<1.5. 进一步进行计算. x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 通过表格数据，你知道x的十分位是几吗？ 学生小组讨论1-2分钟，形成共识后教师选取学生代表进行回答. 通过表格数据，可知x取值的大致范围是1.1<x<1.2，因此x整数部分是1，十分位部分是1． 教师提问：1.1<x<1.2，x整数部分是1，十分位部分是1.如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法. 学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，给出正确答案. 若需精确到百分位，应在1.1与1.2之间，以0.01为步长取值(如 1.11，1.12....)，分别计算x2+12x-15的值，找到使代数式值符号发生变化的两个相邻数值，即可确定百分位数字. 设计意图：分层缩小取值区间，由整数到十分位再拓展到百分位，完整拆解夹值估算近似根的操作逻辑，引导学生自主归纳逐步逼近的通用方法，深度掌握估算原理. 通过以上探究，使学生掌握用“两边夹”思想解一元二次方程的方法.归纳步骤，学生做笔记. 步骤：①在未知数x的取值范围内排除一部分取值； ②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间； ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选； ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 设计意图：梳理夹值估算的标准化步骤，提炼通用解题流程，把零散探究过程转化成可套用的方法体系，方便学生记忆规范操作. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，加深学生对新知的理解，牢牢掌握新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.一元二次方程的解的概念； 2.掌握“两边夹”的思想； 3.会估算一元二次方程的解. 六、板书设计 解一元二次方程(“两边夹”方法) 学科网（北京）股份有限公司 $