2.1 认识一元二次方程 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念、一般形式及解的估算，通过幼儿园地毯铺设、梯子滑动等生活情境导入，引导学生从实际问题中抽象方程，对比一元一次方程知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以真实情境培养抽象能力，如用“夹逼法”估算梯子滑动距离的解，发展运算与推理意识，例题与变式训练结合强化应用。助力学生体会数学建模价值，提升探究能力，为教师提供分层教学资源，高效落实核心素养。

1 认识一元二次方程 课题 第1课时 认识一元二次方程 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P31-32 教学目标 1.经历抽象概括一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。 2.会识别一元二次方程及各部分名称。 教学重难点 重点：掌握一元二次方程的概念和一般形式。 难点：能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 情境1： 幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。你能求出这个宽度吗？ 师生活动：引导学生回顾列一元一次方程解决实际问题的思路和方法，明确已知量、未知量以及问题所涉及的等量关系等。 预设：设所求的宽度为x m。 如图1，将地面四周未铺地毯的条形区域的四个矩形面积相加后，再减去重复的四个小正方形的面积，即可得四周条形区域的面积，从而列出方程2×5x+2×8x-4x2=5×8-18。 图1 如图2，将地毯四周的一些条形适当平移，可列出方程（8-2x）（5-2x）=18，或2×5x+2x（8-2x）=5×8-18，或2×8x+2x（5-2x）=5×8-18。 图2 （学生可能只用了其中一种列方程的思路，教师可引导学生用不同思路列方程，增强学生分析问题的能力） 情境2： 【观察·思考】 观察下面等式： 102+112+122=132+142。 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 师生活动：有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。教师根据学生的回答情况引导学生列方程去解决。 预设：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：（x+1），（x+2），（x+3），（x+4）。 根据题意，可得方程： x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2。 （学生可能会有其他设法，教师应予以鼓励，但不必故意引导，重点是引导学生列出方程并抽象出一元二次方程的概念） 情境3： 【尝试·思考】 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m。如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 师生活动：通过前两个情境的学习，教师可让学生自主地设出未知数列方程，时刻关注学生完成情况，可根据学生的实际情况进行引导，用问题串的形式引导学生一步步地分析问题。 预设：由勾股定理得，滑动前梯子底端距墙6 m，设底端滑动x m，那么滑动后底端距墙（x+6）m，根据题意，可得方程： （8-1）2+（x+6）2=102。 通过上面三个情境的学习，我们得到不同于之前所学到的方程，这节课我们就来认识一元二次方程。（教师板书课题： 第1课时 认识一元二次方程） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究】 【观察·交流】 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： （8-2x）（5-2x）=18， x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2， （x+6）2+72=102。 这个三个方程有什么共同特点？ 师生活动：教师引导学生根据已有的方程知识和经验，将上述三个方程进行化简，并整理成一般形式；然后让学生对整理后的方程进行观察与思考，用自己的语言描述它们的共同特点；最后再组织全班学生进行交流。 预设： 上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 （教师在教学中要强调“a≠0”是定义不可缺少的重要组成部分。由于情境问题中所得到的方程都是各项系数均不为0的情况，因此教师有必要引导学生对ax2+bx+c=0中b和c的取值范围进行讨论，可以结合具体方程进行辨析） 总结：我们把ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别为二次项系数和一次项系数。 师生活动：教师在教学中，可以结合前面情境中得到的方程巩固学生对一元二次方程的相关概念的理解。同时要提醒学生：确定二次项系数、一次项系数及常数项时应注意符号。 关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。渗透类比归纳思想。提高他们分析问题的能力。真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中。 3.学以致用，应用新知 考点1 一元二次方程的定义 例1 下列方程：①x2+y-6=0；②x2+=2；③x2-x-2=0；④2x2-3x=2（x2-2），其中是一元二次方程的是_______。（填序号） 答案：② 变式训练 若关于x的方程（a-1）x2+ax-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）。 A. a≠1 B. a=1 C. a≥1 D. a≠0 答案：A 考点2 一元二次方程的一般形式 例2 方程2x2=8x+2化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是（ ） A. 2x2，8x，2 B. -2x2，-8x，-2 C. 2x2，-8x，-2 D. 2x2，-8x，2 答案：C 变式训练 若关于x的医院二次方程（2a-4）x2+（3a+6）x +a-8=0没有一次项，则a的值为_______。 答案：-2 通过例题讲解，巩固理解一元二次方程的定义，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固理解一元二次方程的一般形式以及相关概念。 通过变式训练巩固所学知识，加深理解。 4.随堂训练，巩固新知 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. x2+=-1 B. x2-4=2y C. -2x2+3=0 D. （a-1）x2-2x=0 答案：C 2. 把一元二次方程x2-3x=1化为一般形式后，它的常数项为（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. -3 答案：B 3. 将方程4x2+8x=25化成ax2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ） A. 4，8，25 B. 4，2，-25 C. 4，8，-25 D. 1，2，25 答案：C 4. 方程（3x+2）（2x-3）=5化为一般形式是____________。 答案：6x2-5x-11=0 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）。这种形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P35习题2.1中的T1、T2、T6。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 认识一元二次方程 情境1 一、定义 投影区 情境2 二、一般形式 情境3 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。 反思，更进一步提升。 课题 第2课时 一元二次方程的解及其估算 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P32-34 教学目标 1.经历探索满足一元二次方程的解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。 2.进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。 教学重难点 重点：探索一元二次方程的解或近似解。 难点：用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解。 教学准备 多媒体课件、计算器。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。 教师活动：对于前一课的这个问题，同学们能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x（m）吗？这节课，我们来学习一元二次方程的解。（教师板书课题： 第2课时 一元二次方程的解及其估算） 教师通过上一课时的情境引出所学内容,激发学生的学习兴趣 2.实践探究，学习新知 【探究1】 我们知道，x满足方程 （8-2x）（5-2x）=18。 教师活动：根据教科书设置问题，一步一步引导学生探索所列方程的解。 （1）x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由。 预设：x不可能小于0，因为宽度不能为负；x不可能大于4，（8-2x）表示地毯的长，所以有8-2x>0；x不可能大于2.5，（5-2x）表示地毯的宽，所以有5-2x>0。 师生活动：教师可将问题分成多个对不同学生进行提问，让每个学生都能参与思考。在实际问题中，用字母表示的数要符合实际情况，教师要提醒学生，注意x的取值要满足的条件。 （2）你能确定x的取值范围吗？ 预设：根据第（1）问的引导，学生很容易能得到x的取值范围为：0<x<2.5 （3）填写下表： 预设： 师生活动：教师可让学生自主填表，并对所填数值进行分析，分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到大变化时，（8-2x）（5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于18到等于18再到小于18的过程；②由表格可知，当x=1时，（8-2x）（5-2x）=18，由方程的解的意义，可以得出“x=1是方程（8-2x）（5-2x）=18的解”的结论。 （4）你知道所求宽度x（m）是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。 预设：根据第（3）问分析表格所填数据可知：所求宽度x（m）是1 m。 师生活动：教师可鼓励学生尝试别的方法，可以考虑从数的运算的角度思考（8-2x）（5-2x）=18，将18分解因数为6×3，然后凑出方程（8-2x）（5-2x）=18的解x=1。但对于这种方法，教师应使学生明白这种方法的局限性。 【探究2】 做一做：在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x（m）满足方程 （x+6）2+72=102， 也就是 x2+12x-15=0。 师生活动：教师可先安排学生将第一个方程化成一般形式，回顾上节课所学内容，巩固学生对知识的理解，让在上节课还有问题的学生可以解决自己的问题，跟上教师的授课步伐。 （1）小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？ （2）底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？ 预设：（1）不正确，因为x=1时不满足方程。（2）不可能是2，因为x=2时不满足方程；不可能是3，因为x=3时不满足方程。 师生活动：教师可先安排学生自己动手算一算，再对不同学生进行提问，让每个学生都有参与感。 （3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？ 预设：在问题（1）（2）的判断过程中，学生可以得到下面的表格： x 1 2 3 x2+12x-15 -2 13 30 或 x 1 2 3 （x+6）2+72 98 113 130 可以看出，x=1时x2+12x-15<0，x=2时x2+12x-15>0（或者x=1时（x+6）2+72<100，x=2时（x+6）2+72>100），据此猜测x在1和2之间。 师生活动：教师可提示学生根据前两问所得结果进行列表，类比探究1，对表格所填数据进行分析，有了探究1的基础，学生很容易完成。学生还可能会用其他方法猜测x的大致范围，如学生可能由（x+6）2+72=102，得（x+6）2=51，从而判断x+6在7和8之间，即x在1和2之间。对此，教师应予以鼓励。 （4）x的整数部分是几？十分位是几？ 预设：x的整数部分是1，十分位是1。 师生活动：教师可引导学生使用多种方法进行估计，动手做一做，经历估计方程解的过程，让学生体会其中的基本思想。待大部分学生完成后，可让小组内进行交流，交换解题心得，再让学生代表展示，师生共同评议，最后引导学生整理自己的解题思路，并与教科书给出的求解过程进行对比，总结自己的问题。此外对估算的精度教师不应提出过高的要求，并可提倡学生在计算过程中可以使用计算器。 【归纳总结】 求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）近似解的方法及步骤： （1）方法：根据实际情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再通过具体的求值计算从两边接近方程的解，逐步求得符合精确度要求的方程的解的近似值，一般简称为“夹逼法”。 （2）步骤： 第一步：化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）； 第二步：根据实际情况确定x的大致取值范围； 第三步：在x范围内取整数值，能够使方程左边等于0，则这个数就是方程的一个解； 第四步：若在x的范围内取值，没有一个数能够使方程的左边为0，则找出值最接近0且小于0的数，这个数就是方程精确到十分位的取值。 重复以上步骤列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围为止。 教师通过延续上一课时的具体问题，引导学生估计一元二次方程的解，促进学生对方程解的理解，培养学生的估算意识和能力，发展学生的数感。 引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程，为后续其他问题的解决提供了范本、样例。 根据学生对估算方法的理解，通过具体的例子加深学生的印象。 通过总结，能让学生更好的理解求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的近似解的估算方法，为后面的题目做铺垫。 3.学以致用，应用新知 考点1 一元二次方程的解 例1 已知关于x的方程x2+mx+2=0的一个根为x=1，则实数m的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3 答案：D 变式训练 已知m是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式2m2-6m的值为（ ） A. 0 B. 2 C. -2 D. 4 答案：B 考点2 一元二次方程的近似解 例2 根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下： x 2.5 3 3.1 3.2 3.3 3.4 x2+px+q -2.75 -1 -0.59 -0.16 0.29 0.76 则方程x2+px+q=0的正数解满足（ ） A. 解的整数部分是3，十分位是1 B. 解的整数部分是3，十分位是2 C. 解的整数部分是3，十分位是3 D. 解的整数部分是3，十分位是4 答案：B 变式训练 探索一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的过程如下表： x -1 0 1 2 3 4 x2+3x-5 -7 -5 -1 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应介于整数a和整数b之间，则a+b的值为_______。 答案：3 通过例题和变式训练的讲解，巩固学生对一元二次方程的解以及近似解的理解，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 已知关于x的一元二次方程x2-x+k=0的一个根是2，则k的值是（ ） A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 答案：C 2. 若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 答案：C 3. 若正数x满足x2＝3，则下列正确的是（ ） A. 1.7<x<1.71 B. 1.71<x<1.72 C. 1.72<x<1.73 D. 1.73<x<1.74 答案：B 4. 方程x2+2x-10=0的一个近似解（结果精确到0.1）是（ ） A. 2.4 B. -4.2 C. -4.3 D. -4.4 答案：B 5. 根据下表中的对应值，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是（ ） A. 0<x<0.5或3.5<x<4 B. 0.5<x<1或2<x<2.5 C. 0.5<x<1或3<x<3.5 D. 1<x<1.5或3.5<x<4 答案：B 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键步骤，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P35习题2.1中的T3、T4、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 一元二次方程的解 一、一元二次方程的解 二、一元二次方程的近似解 提纲掣领，重点突出。 教后反思 “估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛。在本节课中让学生体会用“夹逼”方法解决一元二次方程的解或近似解的方法。教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $