15综合与实践 最短路径问题-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“最短路径问题”，核心知识点包括两点之间线段最短原理、转化思想（轴对称、平移），涵盖将军饮马（同侧作对称）、异侧直接连线及造桥选址（平移转化）模型。课堂以“将军饮马”历史情境导入，衔接已学的线段最短和垂线段最短知识，搭建新旧知识支架。 其亮点在于通过历史情境与生活实例培养数学眼光，规范作图步骤与证明过程发展数学思维（推理能力），模型化总结（解题模板）强化数学语言（模型意识）。含视频辅助理解，练习题覆盖多题型并突出易错点。助力学生掌握转化思想与规范解题，为教师提供系统教学资源与清晰流程。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 15综合与实践 最短路径问题 第十五章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 总结与练习 一、课时核心知识点 核心原理：两点之间，线段最短。 转化思想：利用轴对称变换，将折线距离转化为直线距离，从而求解最短路径。 八年级最短路径只考两大必考模型：将军饮马基础模型、两定点一动点模型。 1. 模型一：将军饮马问题（一线两定点、同侧最短） 题目场景：直线l同侧有A、B两个定点，在直线l上找一点P，使 PA+PB 最小。 作图步骤（满分标准步骤）： ① 作点A关于直线l的对称点A'； ② 连接A'B，与直线l交于点P； ③ 点P即为所求点，此时 PA+PB=A'B，路径最短。 原理：由轴对称性质得PA=PA'，所以PA+PB=A'P+PB=A'B，两点之间线段最短。 2. 模型二：两点异侧最短路径（直接连线） 题目场景：直线l两侧有A、B两点，在l上找一点P，使PA+PB最小。 做法：直接连接AB，与直线l交点即为P。 结论：最短距离即为线段AB的长度。 3. 核心解题万能模板 ① 遇折线最短 → 用轴对称变直线； ② 同侧两点作对称，异侧两点直接连； ③ 最短长度最终都转化为两点之间线段长。 4. 高频易错点（考试扣分点） 1. 最短路径必须作对称点，直接找点、目测找点不得分； 2. 必须保留作图痕迹：对称点、连线、交点； 3. 必须写理由：轴对称性质+两点之间线段最短； 4. 混淆同侧、异侧模型：同侧必须对称，异侧直接连线。 5. 常考结论 最短路径问题中，线段长度不变，只是路径转化，利用轴对称保证线段等量替换，不改变长度大小。 二、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 最短路径问题的核心原理是（） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形三边关系 D. 轴对称性质 2. 直线同侧两点找最短路径需要用到的变换是（） A. 平移 B. 轴对称 C. 旋转 D. 折叠 3. 直线两侧有A、B两点，直线上动点P满足PA+PB最短的做法是（） A. 作A的对称点再连线 B. 直接连接AB交直线于P C. 作垂线 D. 任意取点 4. 将军饮马模型中，PA+PB的最短长度等于（） A. 对称点与另一点的线段长 B. 原两点距离 C. 垂线长度 D. 无法确定 5. 关于最短路径作图，说法正确的是（） A. 不需要作图痕迹 B. 同侧两点直接连线 C. 利用轴对称转化折线为直线 D. 可以目测找点 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 最短路径问题的基本依据是：________。 7. 直线同侧两点最短路径需要作________变换，将折线化为直线。 8. 将军饮马模型中，PA=________，实现线段等量替换。 9. 直线异侧两点，最短路径直接________。 10. 最短路径问题本质是________转化思想。 三、解答题（共60分） 11.（20分）简述直线同侧两定点A、B，在直线l上找动点P使PA+PB最小的完整作图步骤。 12.（20分）写出最短路径将军饮马模型的完整证明理由。 13.（20分）辨析说理：“最短路径问题所有情况都需要作对称点”，判断正误并说明理由。 三、参考答案及解析 一、选择题 1. B 解析：最短路径核心公理：两点之间，线段最短。轴对称是转化方法，不是原理。 2. B 解析：同侧两点必须通过轴对称转化为异侧，才能用线段最短。 3. B 解析：异侧两点直接连线，交点即为最短路径动点。 4. A 解析：最短长度为对称点与另一定点的线段长度。 5. C 解析：最短路径核心思想：折线转直线，必须保留作图痕迹，步骤规范。 二、填空题 6. 两点之间，线段最短 7. 轴对称 8. PA'（对称点到P的距离） 9. 连接两点 10. 化折为直 三、解答题 11. 解：①作定点A关于直线l的对称点A'；②连接A'B，交直线l于点P；③点P即为所求作的点，此时PA+PB的值最小。 12. 证明：∵点A、A'关于直线l对称，点P在直线l上，∴PA=PA'（轴对称性质）。∴PA+PB=PA'+PB=A'B。根据“两点之间，线段最短”，可知A'B为最短距离，故此路径最短。 13. 解：说法错误。理由：只有直线同侧两点的最短路径需要作对称点；若两点在直线异侧，直接连接两点即可得到最短路径，无需作对称。 1. 掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识. (重点、难点) 2. 通过轴对称变换、平移变换体会转化思想. 学习目标 大唐边陲，烽火连绵。将军受命戍边，白日登山瞭望烽火，黄昏需至交河饮马，再返回宿营地。因战马长途奔袭体力有限，如何规划 “山脚下出发→交河饮马→宿营地” 路线，让总路程最短，成了将军与随行幕僚常琢磨的事儿，也成了军中探讨的趣味智题 。 ①两点的所有连线中，线段最短. 我们称这种问题为最短路径问题.今天我们将探究新情境下的最短路径问题. ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 我们以前学过： 活动探究一： 将军饮马问题 l 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小. 如何把这个问题抽象为数学问题？ C 问题1：如图，点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小？依据是什么？ 连接 AB ，交直线 l 于点 C ，则 AC ＋BC 最小． 依据：两点之间，线段最短. 活动探究一： 将军饮马问题 问题2：如果 A，B 位于直线 l 的同侧时，如何使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小 . 如图，我们可作出点 B 关于 l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 B′C＝BC . 则 AC ＋ BC＝ AC＋B′C . 问题转化为： B′ 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 B′C 的和最小？ 活动探究一： 将军饮马问题 问题3：根据上面的分析，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小？ C 在连接 A，B′ 两点的所有线段中，线段 AB′ 最短． 因此，线段 AB′ 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求，即此时AC ＋ BC 最小． B′ 活动探究一： 将军饮马问题 作图过程： (1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； (2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求． 活动探究一： 将军饮马问题 思考：你能用所学的知识证明：AC + BC 最短吗？ 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与 点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知 BC = B′C，BC′ = B′C′． ∴ AC + BC = AC + B′C = AB′， AC′ + BC′ = AC′ + B′C′． 在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′， ∴ AC + BC＜AC′ + BC′，即 AC + BC 最短． 活动探究一： 将军饮马问题 同侧转化异侧 实际问题 数学问题 通过轴对称将同侧点转化为异侧 利用两点之间，线段最短，化折为直 活动探究一： 将军饮马问题 变式探究：如图 ，将军牵马从军营 P 处出发，到河流OA 饮马，再到草地 OB 吃草，最后回到 P 处，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E 、F，使得走过的路程最短． 活动探究一： 将军饮马问题 C E D F 如图所示，分别作点 P 关于 OA ，OB 的对称点 C 、D ，连接 CD 分别交 OA ，OB 于 E、F，则路线 PE ，EF，PF 即为所求 . 活动探究一： 将军饮马问题 活动探究一： 将军饮马问题 拓展探究：如图，牧民从 A 地出发，先到草地边 m 某一处牧马，再到河边 n 饮马，最后回到 B 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 解：作点 A 关于直线 m 的对称点 A'， 作点 B 关于直线 n 的对称点 B'， 连接 A'B'， 分别交 m，n 于 P，Q 两点， 牧民沿折线 A→P→Q→B 可得走可使所走的路径最短。 A B A' B' P Q 情境探究：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ 活动探究二： 造桥选址问题 问题1：把上述问题抽象为数学问题，河的两岸是平行的直线，桥与河垂直．那么 AM ＋MN＋NB 最小能否进一步转化？ 当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？ MN 的长度是固定的，即求 AM + NB 最小值 . 活动探究二： 造桥选址问题 分析： MN 平移到 AA′ AM + NB 最短 AM = A′N A′N + NB 最短 A′、N、B 三点共线 连接 A′B 问题2：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)将这个问题简化？ 活动探究二： 造桥选址问题 问题3：你能找到所要求的 N 点的位置吗？ 活动探究二： 造桥选址问题 (2) 连接 A′B ，交直线 b 于点 N ，则点 N 即为所求．即在点 N 处建桥 MN . (1) 将 MN 平移至 AA′ ， 点击视频观看 活动探究二： 造桥选址问题 将军饮马常见模型： 活动探究二 造桥选址问题 点击视频观看 1.如图，点，在直线的同侧，在直线上找一点,使 最小， 则下列图形中符合题意的是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 21 2. 如图，在等边三角形中， 是边上的高，为上一动点，若，为 边上一点，则 的最小值为___. 7 返回 3.如图，已知 ，点为内部一点，点为射线 上 的动点，点为射线上的动点，当的周长最小时， _____. 中考考法 22 4．如图，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河岸边l1的P点让马饮水，然后再到河岸边l2的Q点，再次让马饮水，最后骑马到D点．他应如何选择饮水点P，Q，才能使所走的路程CP＋PQ＋QD最短？请说明理由． 解：如图，作点C关于l1的对称点C′，作点D关于l2的对称点D′，连接C′D′，分别交l1，l2于点P、点Q，连接CP，QD，此时所走的路程CP＋PQ＋QD最短． 中考考法 23 返回 理由：因为C和C′关于直线l1对称，所以对于直线l1上任意一点P′，都有CP′＝C′P′.因为D和D′关于直线l2对称，所以对于直线l2上任意一点Q′，都有DQ′＝D′Q′，所以所走路程为CP′＋P′Q′＋Q′D＝C′P′＋P′Q′＋Q′D′≥C′D′，故当C′，P′，Q′，D′四点共线，即点P′在点P处，点Q′在点Q处时，所走路程CP＋PQ＋QD最短． 中考考法 返回 5.直线，表示一条河的两岸，且 .现要在这条河上建一座桥 （桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄经桥过河到村庄 的路程最 短，应该选择路线( ) C A. B. C. D. 中考考法 25 返回 6.如图，， 两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直， 设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程 最短？（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，桥应建在, 处. 中考考法 26 返回 7.将军要检阅一队士兵，要求（如图所示） 队伍长 为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚 出 发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场 .问： 解：如图，作，使得，作点 关于的对称点，连接交于点 ，在 上截取，连接EQ，MP, 此时MP＝ EQ＝FQ，将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短． 在什么位置列队（即选择点和 ），可以使得将军走的总路程 最短？ 中考考法 27 解决最短路径问题 通常利用________、________实现线段的转移，把已知问题转化成容易解决的问题 轴对称 平移 课堂小结 $