16.1 幂的运算 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

义务教育教科书 数学 八年级 上册 第十六章 整式的乘法 16.1　幂的运算 a n 指数 幂 底数 =a·a····a n个a an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么? 复习回顾 第一课时 同底数幂的乘法 问题 一种电子计算机每秒可进行1亿亿(1016 ) 次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？ 列式：1016×103 怎样计算1016×103呢？ 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) 105×102 =10( ) ； (2) a3· a2 = a ( ) ； (3) 5m × 5n =5( ) （m,n都是正整数）. 猜想: am ·an = ? 探究 你能证明吗？ 一般地，对于任意底数a 与任意正整数m，n， 7 5 m+n am · an = am+n (m，n都是正整数). 即同底数幂相乘, 底数　　，指数 　　. 不变 相加 同底数幂的运算性质： 结果：①底数不变 ②指数相加 注意 条件：①乘法 ②底数相同 归纳总结 本章中，若没有特别说明，指数中的字母均为正整数. 例1 计算： （1）x2 · x5 ; （2）a · a6; （3）(-2) × (-2)4 × (-2)3; （4） xm · x3m+1. a=a1 典例精析 三个或三个以上同底数幂相乘，也具有这一性质. (1) x²・x⁵=x⁷ (2) a・a⁶=a⁷ (3) (-2)×(-2)⁴×(-2)³=256 想一想：am+n 可以写成哪两个因式的积？ am+n = am · an 填一填：若xm =3 ，xn =2，那么 xm+n = × = × = ； 思维拓展 能力提升 （1）若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值． （2）已知23x＋2＝32，求x 的值； xm xn x3 x2 x5 2.计算： ⑴ 10n·10m+1= ⑵ x7·x5= ； ⑶ m·m7·m9= ； ⑷ -44·44= ； ⑸ 22n·22n+1= ； ⑹ y5·y2·y4·y= ； ⑺ xm·x3m+1= ； ⑻ a4·a2+a·a5= ； ⑼ bm·b3-b3+m= ； (10)(x+y)(x+y)4= . 1.a16可以写成（ ） A.a8+a6 B.a8·a2 C.a8·a8 D.a4·a4 目标检测 C x¹² m¹⁷ -4⁸ 2⁴ⁿ⁺¹ y¹² x⁴ᵐ⁺¹ 2a⁶ 0 (x+y)⁵ 3.（1）已知xa=8,xb=9,求xa+b的值； （2）已知an-3·a2n+1=a10,求n 的值； （3）3×27×9 = 32x-4,求x 的值； (1) 72 (2) n=4 (3) x=5 同底数幂的乘法 法则 am·an=am+n (m,n都是正整数） 注意 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数） 直接应用性质 常见变形：(-a)2=a2, (-a)3=-a3 底数相同时 底数不相同时 先变成同底数再应用性质 课堂小结 作业 校本作业:基础性作业 提高性作业 拓展性作业 教科书P101，习题16.1 第1题. 第二课时 幂的乘方与积的乘方 计算：（结果用幂的形式表示） (1) 102 ·104； (2)32·32 ·32 · 32； (3)(x+y)2 ·(x+y)3. 课前热身 追问: 计算（2）的结果38还有其它的表示形式吗？ (1) 10⁶ (2) 3⁸ (3)(x+y)⁵ (3⁴)²、(3²)⁴ 探究 根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ 归纳与猜想： (m、n都是正整数） 你能证明吗？ 6 6 3m 归纳与猜想：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ 底数______，指数_____. 不变 相乘 即幂的乘方， (am )n = amn (m，n都是正整数). 幂的乘方性质： 例2 计算： （1）(103)5 ； （3）(am)2； （2）(a4)4； （4）-(x4)3； （6） [(﹣x)4]3. （5） [(x+y)2]3； 典例精析 (1) (10³)⁵=10¹⁵ (2) (a⁴)⁴=a¹⁶ (3) (aᵐ)²=a²ᵐ (4) -(x⁴)³=-x¹² (5) [(x+y)²]³=(x+y)⁶ (6) [(-x)⁴]³=x¹² 比较同底数幂的乘法与幂的乘方： 运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果 底数 指数 同底数幂乘法 幂的乘方 乘法 乘方 不变 不变 指数 相加 指数 相乘 am·an=am+n (am)n=amn 思 考 想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？ 幂的乘方: ＝(a6)4 =a24 [(y5)2]2=______=________ [(x5)m]n=______=________ 小试身手 (y10)2 y20 (x5m)n x5mn 思 考 想一想：amn=( )n=（ ）m am an 练习：已知am＝2，an＝3，求a2m＋3n 的值. 思 考 填空,下面的运算过程用到哪些运算律? 运算结果有什么规律? (1) (ab)2=(ab) •(ab)=(a•a) •(b•b)=a( )b ( ); (2) (ab)3= ____________ = ____________ =a( )b( ). 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， 思考： (ab)n=？ 探究 你能证明吗？ 2 2 (ab)・(ab)・(ab) (a・a・a)・(b・b・b) 3 3 (ab)ⁿ=aⁿbⁿ 即积的乘方,等于把积的每一个因式分别_______，再把所得的幂_______. (ab)n = anbn （n是正整数） 想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = 积的乘方性质 乘方 相乘 anbncn （n为正整数） 例3 计算: (1) (2a)3； (2) (-5b)3 ； (3) (xy2)2； (4) (-2x3y)4. 方法总结：运用积的乘方性质进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 典例精析 (1) (2a)³=8a³ (2) (-5b)³=-125b³ (3) (xy²)²=x²y⁴ (4) (-2x³y)⁴=16x¹²y⁴ 　　 (1) (3cd)3=9c3d 3; (2) (-3a3)2= -9a6; (3) (-2x3y)3= -8x6y3; 下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ (4) (-ab2)2= a2b4. 即时测评 (1) 不对，改正：(3cd)³=27c³d³ (2) 不对，改正：(-3a³)²=9a⁶ (3) 不对，改正：(-2x³y)³=-8x⁹y³ (4) 对 例 用简便方法计算： (1) 0.25 4×(－4) 4 ； (2)0.125 2025×(－8 2025)． 典例精析 (1) 0.25⁴×(-4)⁴=[0.25×(-4)]⁴=(-1)⁴=1 (2) 0.125²⁰²⁵×(-8²⁰²⁵)=[0.125×(-8)]²⁰²⁵=(-1)²⁰²⁵=-1 三种幂的运算性质逆运用的规律 运算特点 逆用性质 逆用公式(以下m，n都是正整数) 幂的指数为和的形式 同底数幂的乘法 am＋n＝ 幂的指数为积的形式 幂的乘方 amn＝ 幂的指数相同 积的乘方 anbn＝ am·an (am)n＝(an)m (ab)n 2.下列运算正确的是（ ） A.x·x2=x2 B.(xy)2=xy2 C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4 1.计算(-x2y)2的结果是（　　） A.x4y2 B.-x4y2 C.x2y2 D.-x2y2 目标检测 3.已知 3x+4y-5=0，求27x·81y的值. 4.练习P101 第1，2，3题. A C 27ˣ・81ʸ=3³ˣ・3⁴ʸ=3³ˣ⁺⁴ʸ，由 3x+4y-5=0 得 3x+4y=5，故原式 = 3⁵=243 幂的运算性质 性质 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn (m、n都是正整数) 反向运用 am+n=am · an amn=(am)n an·bn = (ab)n 可使某些计算简捷 注意 运用积的乘方性质时要注意：公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序） 课堂小结 作业 校本作业:基础性作业 提高性作业 拓展性作业 教科书P101，习题16.1 第2、3题. 下 课 $