15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 培优课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的性质，涵盖定义、等边对等角、三线合一等核心知识点。课堂从故宫中和殿屋檐等现实情境导入，通过折纸操作探究重合线段与角，引导学生猜想并证明性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以动手操作和逻辑推理培养推理能力，规范几何语言表达。含中考题及易错点总结，助力学生精准掌握，教师可提升教学效率，激发学生探究兴趣。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 第十五章 轴对称 15.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 总结与练习 一、课时核心知识点 1. 等腰三角形基本概念 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 各部分名称：相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 重要常识：等腰三角形两底角相等；等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形性质定理1（核心必考） 定理内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角）。 几何语言（满分模板）： ∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。 适用条件：在同一个三角形中，等边对等角，边角对应。 3. 等腰三角形性质定理2（重中之重） 定理内容：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 简记：三线合一（八年级最常用几何模型）。 三层含义（知一推二）： ① 若AD是顶角平分线 → AD也是底边上的中线、底边上的高； ② 若AD是底边上的中线 → AD也是顶角平分线、底边上的高； ③ 若AD是底边上的高 → AD也是顶角平分线、底边上的中线。 几何语言： ∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC（三线合一）。 4. 等腰三角形对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是：顶角平分线（底边上中线、底边上高）所在直线，只有1条对称轴。 5. 角度计算重要结论 1. 内角和180°：顶角＋2×底角=180°； 2. 等腰三角形底角只能是锐角（不能为直角、钝角）； 3. 等腰三角形顶角可以是锐角、直角、钝角。 6. 高频易错点（考试陷阱） 1. “三线合一”只针对等腰三角形底边，腰上的高、中线、角平分线不重合； 2. 等边对等角必须在同一个三角形内，跨三角形不能用； 3. 未说明顶角、底角时，角度问题需要分类讨论（多解问题）； 4. 等腰三角形两底角相等，但不能直接说两角相等就是等腰（需判定定理）。 二、课时同步练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的两个底角一定（） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不等 2. 等腰三角形顶角为80°，则一个底角的度数为（） A. 50° B. 80° C. 100° D. 40° 3. 等腰三角形“三线合一”不包含下列哪条线段（） A. 顶角平分线 B. 底边上的高 C. 腰上的中线 D. 底边上的中线 4. 等腰三角形的对称轴是（） A. 底边 B. 腰 C. 顶角平分线所在直线 D. 高 5. 等腰三角形一个角为50°，则顶角可能是（） A. 80° B. 50°或80° C. 50° D. 65° 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 等腰三角形性质：等边________。 7. 等腰三角形的________、________、________相互重合，简称三线合一。 8. 等腰三角形顶角100°，底角为________。 9. 等腰三角形是________对称图形，有________条对称轴。 10. 等腰三角形中，底角一定是________角。 三、解答题（共60分） 11.（20分）已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，求∠A和∠C的度数。 12.（20分）已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。 13.（20分）辨析说理：“等腰三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都互相重合”，判断正误并说明理由。 三、参考答案及解析 一、选择题 1. C 解析：等腰三角形核心性质：等边对等角，两底角相等。 2. A 解析：(180°−80°)÷2=50°，底角为50°。 3. C 解析：三线合一特指底边的中线、高、顶角平分线，腰上的线段不重合。 4. C 解析：对称轴是直线，顶角平分线、底边上的高、中线所在直线为对称轴。 5. B 解析：分类讨论：①50°为底角，顶角=80°；②50°为顶角，顶角=50°。 二、填空题 6. 对等角 7. 顶角平分线；底边上的中线；底边上的高 8. 40° 9. 轴；1 10. 锐 三、解答题 11. 解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°（等边对等角）。∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−70°−70°=40°。 12. 证明：∵AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，AD是底边上的高，∴AD平分∠BAC。 13. 解：说法错误。理由：等腰三角形只有顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一，腰上的高、中线、角平分线并不重合，因此并非所有三线都重合。 1. 探索并证明等腰三角形的性质： ① 等边对等角 ；② 三线合一 . (重点) 2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算. (重点、难点) 3. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性，提升推理能力. 学习目标 在故宫博物馆中，有很多建筑设计成等腰三角形，例如下图的中和殿的屋檐设计，你能说说为什么吗？ 中和殿 【知识链接】 等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. A C B 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 探究点：等腰三角形的性质 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC 中 AB ＝AC ，所以△ABC 是等腰三角形. 操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC 有什么特点？ 操作2：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段： AB 和 AC 重合的角： ∠BAD =∠CAD ∠ B =∠ C ∠ADB =∠ADC AD 和 AD BD 和 CD 探究点：等腰三角形的性质 思考：在等腰三角形 ABC 中，AD 是什么特殊的线段？ 既是顶角的平分线，又是底边上的中线，也是底边上的高. 猜想：等腰三角形有什么性质？说说你的猜想. (1) 等腰三角形的两个底角相等. (2) 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 探究点：等腰三角形的性质 操作3： 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把 它剪下来，请你试着折一折．你的猜想仍然成立吗？ 成立. 思考：如何证明你的猜想呢？ 探究点：等腰三角形的性质 A B D C 3 3 沿折痕重合 证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC. 求证：∠B = ∠C. 分析： 构造两个全等三角形 证明角相等 1.作底边上的中线 2.作底边上的高线 3.作顶角的角平分线 探究点：等腰三角形的性质 作底边 BC 的中线 AD. AB = AC (已知)， BD = CD (已作)， AD = AD (公共边)， ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B =∠C . 在 △BAD 和 △CAD 中， 方法1：作底边上的中线. 探究点：等腰三角形的性质 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， ∵ AD⊥BC， 方法2：作底边上的高线. ∴∠B＝∠C. ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 探究点：等腰三角形的性质 在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC (已知)， ∠BAD＝∠CAD， AD＝AD (公共边)， ∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线， 方法3：作顶角的角平分线 AD. ∴∠B＝∠C. ∴ △ABD≌△ACD (SAS). ∴∠BAD＝∠CAD. 探究点：等腰三角形的性质 等腰三角形的性质1： 等腰三角形的两个底角______ (简写成“等边对等角”). 相等 几何语言： ∵ △ABC 是等腰三角形， ∴ ____=____(等角对等边). ∠B ∠C 探究点：等腰三角形的性质 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，BD = BC = AD. 求△ABC 各角的度数. ∠A+∠ABC+∠C = x + 2x + 2x =180°. 解得 x = 36°. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴ ∠ABC = ∠C = ∠BDC， ∠A =∠ABD (等边对等角) . 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而 ∠ABC = ∠C =∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 所以，在△ABC 中∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D 探究点：等腰三角形的性质 证明：等腰三角形的性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = CD，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC. 分析： 假设任意一种线段为已知条件 证明三线合一 探究点：等腰三角形的性质 ∴∠ADB = ∠ADC = 90°. ∴AD⊥BC. ∵∠ADB + ∠ADC = 180°， ∴ ∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC. ∴△BAD≌△CAD (SSS). 证明：∵在△ABD 和△ACD 中， AB＝AC (已知)， AD＝AD (公共边)， BD＝CD (已知)， 这三条线是否在 任意边上都重合？ 探究点：等腰三角形的性质 等腰三角形的性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高_________ (简写成“三线合一”，注意：腰上的高 相互重合 和中线与底角的平分线不具有这一性质.). 你能翻译成几何语言吗？ 探究点：等腰三角形的性质 三线合一 (1)∵△ABC是等腰三角形， BD = CD (已知)∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”) (2)∵△ABC是等腰三角形，∠BAD＝∠CAD (已知)∴_________，AD⊥BC，_________________________ (3)∵△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD AD⊥BC BD = CD (等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD 探究点：等腰三角形的性质 探究这个三角形的特点 三角形的边 三角形的角 与三角形的有关线段 三角形的对称性 等腰三角形 AB = AC ∠B = ∠C 三线合一 轴对称图形 分析： 探究点：等腰三角形的性质 例2 如图，在△ABC 中， AB = AC，AE 是 BC 边上的中线，BF 是角平分线，∠C＝70°.求∠BAE 和∠1 的度数. 解： ∵AB = AC， ∠C = 70°， ∴ ∠ABC = ∠C = 70°. ∵AB = AC，AE 是 BC 边上的中线， ∴AE⊥BC，即∠AEB = 90°. ∴ ∠BAE = 90°-∠ABE = 20°. ∵ ∠ABC = 70°，BF 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠CBF =∠ABC = 35° . 由三角形外角的性质可知， ∠1 = ∠AEB +∠CBF = 90°+ 35° = 125°. 探究点：等腰三角形的性质 返回 D 1．淮安中考若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为(　　) A．40° B．50° C．65° D．80° 中考考法 21 返回 B 2．如图，AB∥CD，点E在BC上，CD＝CE.若∠B＝30°，则∠BED的度数是(　　) A．100° B．105° C．115° D．125° 中考考法 22 3.如图，在中， ， ，，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 返回 4.［教材习题变式］如图，在 中， ，的垂直平分线交于点 .若 ，则 的度数是________. 34° 中考考法 23 返回 40° 5．(1)若等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为________； (2) 若等腰三角形的一个内角为40°，则它的底角为__________． 40°或70° 中考考法 24 6.［教材P练习T 变式］［2025南京月考］如图， 在中，点在边上， .若 ，求 的度数. 解：， ， . ， . 是 的外角， ， . 返回 中考考法 25 返回 7.如图，在中，，是 边上的中 线， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 中考考法 26 返回 B 8．扬州中考在如图所示的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　) A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC 9．在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，点D到直线AB的距离是3，则点D到直线AC的距离是________． 3 中考考法 27 10.如图，，分别是 的中线和角平分线，若 ， ，求 的度数. 解：，是 的中线， ， , . 是 的角平分线， ， . 返回 中考考法 28 等腰三角形的_________________ _____________________________简称“________” 定义 等腰三角形 等腰三角形是___对称图形 性质 有_________的三角形 等腰三角形的两个底角_____简称“___________” 两边相等 相等 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 轴 三线合一 等边对等角 课堂小结 $