精品解析：湖南衡阳市衡阳县2025-2026学年高二创新实验班下学期6月期末质量检测数学试题

衡阳县2026年上学期高二创新实验班期末质量检测试题 数学 考生注意： 1.本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟. 2.试卷分为试题卷和答题卡两个部分；答题前，考生务必把自己的姓名、考号、学校填写在答题卡上. 3.将答案写在答题卡上.写在试题卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及对数函数求出集合，，结合交集的概念求解即可. 【详解】解，得或，即. 函数的定义域为，即. 所以. 2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】复数， 其在复平面内所对应的点位于第四象限， 故选：D． 3. 衡阳县历史悠久，名人众多，在一次社会实践活动中，甲、乙、丙、丁名同学计划在以下个地方各选处进行活动（处人不重复）：①夏明翰纪念馆；②湘西草堂（王船山故居）；③玉麟文化园；④琼瑶祖居.其中甲不去夏明翰纪念馆，乙不去琼瑶祖居，则本次活动这名同学不同去法有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论甲可以去的三个地方即可求解. 【详解】根据题意，甲可以去②、③、④三个地方，分情况讨论： 当甲去②时，由于乙不去④，只能去①或③，有种情况，丙丁去剩余的两个地方，有种情况，方案数共种； 当甲去③时，由于乙不去④，只能去①或②，有种情况，丙丁去剩余的两个地方，有种情况，方案数共种； 当甲去④时，乙丙丁可以去剩余的三个地方，有种情况，方案数共种； 综上所述，本次活动这名同学不同去法有种，故C正确. 4. 已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形为矩形→，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再对采用余弦定理即可求解. 【详解】因为四边形为矩形，所以，（矩形的对角线相等）， 所以以MN为直径的圆的方程为.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，由，解得或， 所以，或，. 不妨设，，又，所以，.在△AMN中，， 由余弦定理得， 即，则，所以，则，所以. 故选：D 【点睛】试题综合考查双曲线的方程与性质，考查考生灵活运用所学知识分析问题､解决问题的能力，体现理性思维､数学探索学科素养. 求解双曲线的离心率的方法： （1）公式法：直接求出a，c或找出a，b，c三者中任意两个的关系，代入公式求解； （2）构造法：由已知条件得出a，c关于的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解； （3）通过特殊值或者特殊情况求离心率，例如，令，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化运算. 5. 已知函数，则函数（ ） A. 值域为 B. 在区间上单调递增 C. 最小正周期为 D. 图象关于点成中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数平方关系和二倍角公式化简函数，再结合三角函数的性质计算判断各个选项； 【详解】函数， 则函数 对于A，因为，所以，A错误； 对于B，因为，此时有增有减，B错误； 对于C，根据周期公式，C错误； 对于D，由，得， 当时，函数对称中心为，D正确； 故选：D. 6. 已知一个圆锥的高是3，在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2，现将圆锥倒置，则此时圆锥内的水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒置前后水的体积不变，利用圆锥体积公式和三角形相似比可得. 【详解】如图，设圆锥底面半径为，由相似比可知，即， 所以水的体积为， 将圆锥倒置后，水的体积不变，所以（*）， 又，即，代入（*）可得： ，解得. 故选：D 7. 已知点是抛物线的焦点，、是经过点的弦，且，的斜率为，且，、两点在轴上方.则下列结论中不成立的是（ ） A. B. 四边形面积最小值为 C. 若，则直线的斜率为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理可判断A选项的正误，求出、关于的表达式，利用基本不等式可判断B选项的正误，利用弦长公式求出的值，可判断C选项的正误，利用弦长公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，设直线的方程为，设点、， 联立，可得，所以，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，， 同理可得， 所以，四边形的面积为， 当且仅当时，等号成立，B选项错误； 对于C选项，设点、，直线的方程为， 联立，可得，则， 所以，，解得， ，则，直线的斜率为，C选项正确； 对于D选项，，D选项正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 8. 已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 令，可得，令，利用导数可判断的单调性，求得的极值，令，，根据的图象，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求得答案. 【详解】令，可得， 令，则， 令，解得， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，图象如下图所示： 所以，令，，因为函数有三个零点， 设的两根分别为，，，解得或 则，有下列三种情况， （1）当，时，将带入方程，即， 解得，带入方程，即， 解得，故舍去； （2）当，时，将带入方程，则，，不满足，故舍去； （3）当，时，解得， 所以 故选：C 【点睛】解题的关键令，求得的单调性，画出图象，可得t的范围，再利用二次函数的性质，结合t的范围求解，考查分析理解，分类讨论的能力，综合性较强，属中档题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B. 若随机变量，满足，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 【答案】ACD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义计算可判定A;根据方差的线性性质计算可判定B；根据回归方程必经过样本均值点，计算可判定C；根据超几何分布的概念判定D. 【详解】数据组为5，7，9，11，3，13，15，排序后为3，5，7，9，11，13，15. 计算第60百分位数： 根据人教版教材方法，位置计算为 ，向上取整到第5个位置，对应数值11,因此选项A正确; 选项分析： 随机变量，已知，根据方差性质： 方差线性变换公式为 ，选项中错误; 选项分析： 线性回归方程  必经过样本均值点,当  时，代入方程得 ，选项正确; 选项分析： 从12名候选人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12, 7, 5)，选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.以下结论正确的有（ ） A. B. 集合的元素个数为9 C. 存在，对任意的，有 D. 对任意都成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用给定定义直接判断选项A，利用函数周期性分析得出选项B，结合函数在一个周期内的性质判断选项C，将问题进行转化，然后结合给定定义求解最值即可得出选项D. 【详解】对于A，由， 则，故A正确； 对于B，由， 则的周期为，故讨论即可， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 故该集合元素个数为6，故B错误； 对于C，因为函数的周期为，由B选项知当时，不存在，有， 所以对任意的，不存在，有，故C错误； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而对任意都成立，故恒成立， 令，即， 而，故恒成立，即，故D正确. 11. 某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮次，若投中次数不低于投篮次数的，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意确定甲的投中次数为，满足 .进而逐项判断即可； 【详解】记甲的投中次数为，则. 对于A选项，当时，甲通过考核最少要投中2次，0.972，A正确. 对于B选项，当时，将甲的投中次数分为以下3种情况，分别为. . 当时，甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11，则第21次不管投中与否都通过考核； 若前20次投中10次，则第21次投中才能通过考核；若前20次里投中次数不超过9，则第21次不管投中与否都不能通过考核. ，显然，B错误. 对于C选项，当时，将甲的投中次数分为以下3种情况，分别为.. 当时，若前19次里投中次数不少于10，则第20次不管投中与否都通过考核； 若前19次投中9次，则第20次投中才能通过考核；若前19次里投中次数不超过8，则第20次不管投中与否都不能通过考核. ，显然，C错误. 对于D选项，当时，将甲的投中次数分为以下4种情况，分别为. . 当时，甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11，则第21，22次不管投中与否都通过考核； 若前20次投中10次，则第次至少要投中1次才能通过考核； 若前20次投中9次，则第21，22次都投中才能通过考核； 若前20次里投中次数不超过8，则第21，22次不管投中与否都不能通过考核. ， . ，所以，D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再利用点斜式写出方程即可. 【详解】当时，，切点为. 易知，所以， 所以所求的切线方程为，即． 故答案为： 13. 在锐角三角形中，，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式及同角的三角函数关系化简求解即可. 【详解】 . 因为锐角三角形中，，所以，. 14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据平面的方程得出平面和的法向量坐标，得出两平面夹角余弦值的表达式，再根据点的坐标得出平面的法向量，利用平行关系得出的方向向量，从而得出间的关系，代入表达式求最值． 【详解】 平面的方程为， 平面的法向量为， 同理，平面的法向量为， 两平面夹角的余弦值为， 平面经过点， ， 设的法向量为，则，令，则， 设的方向向量为，则，令，则， 平面,平面的法向量与直线的方向向量垂直，即， 平面与平面夹角的余弦值为 ， ，， ，当且仅当时取等号， 平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15. 从高二某班随机抽取6名同学，记为，､､､､，统计这6名同学的期中考试成绩，现将语文数学､英语(满分均为150分)三科的成绩制成下表： 班级平均分 语文 115 118 124 132 117 119 数学 136 147 123 137 145 139 英语 129 133 131 141 139 125 134 已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138. （1）求出，； （2）若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势学科”.现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量为该同学在语文､数学､英语三科中“优势学科”的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1），；（2）分布列答案见解析，数学期望：. 【解析】 【分析】（1）由6名同学语文分数的中位数是119可得，由数学分数的平均数是138可得； （2）先分别求出6名同学的“优势学科”个数，进而可得的分布列和数学期望. 【详解】（1）将已知的5个语文成绩从小到大排序得：115，117，118，124，132， 由6名同学语文成绩的中位数是119可知，， 由6名同学数学成绩的平均数是138可知，. （2）由题意，没有优势学科，、、、均有1个优势学科，有2个优势学科. 的可能取的值为0，1，2. ，，. 故的分布列为 0 1 2 数学期望. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分别求出6名同学的“优势学科”个数. 16. 在数列中，. （1）求证：是等比数列； （2）若等比数列满足. （i）求的值； （ii）记数列的前项和为.若，求的值. 【答案】（1）证明：因为，所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）（i）由（1）可得，求得，利用等比数列性质求得， 再验证即可求解； （ii）利用并项求和法求得，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）可得，所以，所以， 则， 因为数列为等比数列，所以，即， 化简得，解得或，又，所以， 当时，，此时为定值，符合题意； （ii）由（i）可知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以，易知，所以，所以为偶数， 因为，所以， 化简得，解得或（舍去），所以． 17. 如图，在三棱锥P⁃ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=. （1）证明:PB⊥AC; （2）若侧面PAB是等边三角形，点D满足=λ（0<λ<1），过B，D两点作平面α，满足直线AC∥α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成的角为，求λ的值. 【答案】（1） ，，由余弦定理得：， ，即， 作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； ，平面，平面， 平面，. （2）λ= 【解析】 【分析】（1）由勾股定理和面面垂直性质可分别证得，由线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）由线面平行性质可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可构造方程求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，平面平面，， 又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ，， ，， 设平面，即平面的法向量， 则， 令，解得：，，， 直线与平面所成角为， ， 解得：，满足，. 18. 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间. （1）已知函数，求的凹、凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有. ①将不等关系转化为对应的不等式； ②证明：当，时，恒成立. 【答案】（1）凹区间为，凸区间为； （2）①； ②对不等式两边取对数，问题等价于， 恒成立， 构造函数，， 即恒成立， ，令， ， 令，即，解得， 所以是函数的凹区间， ，所以当时，是凹函数， 由①知，，当时，等号成立， 所以时，恒成立， 即恒成立. 【解析】 【分析】（1）二次求导，得到导函数的单调区间得到的凹区间和凸区间； （2）①表达出的坐标，由得到结论； ②对不等式两边取对数，问题等价于，构造函数，，二次求导，得到是函数的凹区间，，所以当时，是凹函数，结合①的结论得到答案. 【小问1详解】 因为的定义域为，， 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的凹区间为，凸区间为； 【小问2详解】 ①对于凹函数定义域中的任意两个自变量， ，， ，， 所以，， 由，有， ②略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 19. 在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （ⅰ）可设直线方程为，点， 联立得，， ， 则，， 又直线、方程分别为，， 分别与联立，得，. ∴，， ∴ 所以，. （ⅱ）或. 【解析】 【分析】（1）根据斜率之积得到方程，又与、不能重合，从而得到轨迹方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，计算出，证明出结论； （ⅱ）计算出，，，由得到方程，解得，求出直线的方程 【小问1详解】 设点，由知，，化简得. 又与、不能重合，所以动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）先证明，在任意三角形中，若，， 三角形的面积 ， 由（ⅰ）知，， ∴，同理. ∴ . 又 ， 因为，， 所以， 故， 故， 由知，，解得. 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2026年上学期高二创新实验班期末质量检测试题 数学 考生注意： 1.本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟. 2.试卷分为试题卷和答题卡两个部分；答题前，考生务必把自己的姓名、考号、学校填写在答题卡上. 3.将答案写在答题卡上.写在试题卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 衡阳县历史悠久，名人众多，在一次社会实践活动中，甲、乙、丙、丁名同学计划在以下个地方各选处进行活动（处人不重复）：①夏明翰纪念馆；②湘西草堂（王船山故居）；③玉麟文化园；④琼瑶祖居.其中甲不去夏明翰纪念馆，乙不去琼瑶祖居，则本次活动这名同学不同去法有（ ）种. A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数（ ） A. 值域为 B. 在区间上单调递增 C. 最小正周期为 D. 图象关于点成中心对称 6. 已知一个圆锥的高是3，在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2，现将圆锥倒置，则此时圆锥内的水面高度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是抛物线的焦点，、是经过点的弦，且，的斜率为，且，、两点在轴上方.则下列结论中不成立的是（ ） A. B. 四边形面积最小值为 C. 若，则直线的斜率为 D. 8. 已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B. 若随机变量，满足，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 10. 已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.以下结论正确的有（ ） A. B. 集合的元素个数为9 C. 存在，对任意的，有 D. 对任意都成立，则实数的取值范围是 11. 某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮次，若投中次数不低于投篮次数的，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程是______． 13. 在锐角三角形中，，则______________. 14. 人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15. 从高二某班随机抽取6名同学，记为，､､､､，统计这6名同学的期中考试成绩，现将语文数学､英语(满分均为150分)三科的成绩制成下表： 班级平均分 语文 115 118 124 132 117 119 数学 136 147 123 137 145 139 英语 129 133 131 141 139 125 134 已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138. （1）求出，； （2）若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势学科”.现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量为该同学在语文､数学､英语三科中“优势学科”的个数，求的分布列和数学期望. 16. 在数列中，. （1）求证：是等比数列； （2）若等比数列满足. （i）求的值； （ii）记数列的前项和为.若，求的值. 17. 如图，在三棱锥P⁃ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=. （1）证明:PB⊥AC; （2）若侧面PAB是等边三角形，点D满足=λ（0<λ<1），过B，D两点作平面α，满足直线AC∥α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成的角为，求λ的值. 18. 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间. （1）已知函数，求的凹、凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有. ①将不等关系转化为对应的不等式； ②证明：当，时，恒成立. 19. 在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $