湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 高二下学期期末数学试卷以AI工具使用调查等真实情境为载体，覆盖概率统计、数列、立体几何等模块，通过基础选择与综合解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|互斥对立条件判断、集合子集元素和等|注重概念辨析，考查数学抽象能力| |填空题|3题15分|等比数列性质、函数极值点|强调运算能力，关联逻辑推理| |解答题|5题77分|独立性检验与数学期望、立体几何证明与二面角、函数导数不等式证明|结合真实问题，体现数据分析、空间观念与创新应用，适配期末综合能力评估需求|

湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B D D B B ABD ABC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ ､为互斥事件”是“ ､为对立事件”的必要非充分条件. 2．D 【分析】根据集合的子集直接求解即可. 【详解】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 3．C 【详解】根据二项式定理，展开式中的通项公式为： ， 要求展开式中的常数项，则的指数为0，即， 解得，代入通项公式的系数部分，求得常数项： ，C正确. 4．B 【分析】根据向量基本定理可得，再由基本不等式“1”的妙用求最小值即可． 【详解】三点共线，且M是线段上的一个动点，满足， ， 则，当且仅当时取等， 故的最小值为． 5．D 【详解】由可得， 令，解得和， 若，则，函数在上单调递增，无极值点； 若，则和均为负数，极值点不可能为2，不符合题意； 当时，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故为函数的极大值点，故，则. 6．D 【分析】根据等比数列求和公式，求得前三项的和，结合基本不等式可以求得取值范围. 【详解】因为等比数列中， 所以， 所以当时，当且仅当时，等号成立； 当时，， 当且仅当时，等号成立； 所以前3项的和的取值范围是. 故选：D 7．B 【分析】求出把5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数，再求出每一行的3个数字之积都能被3 整除的事件含有的基本事件数即可求出概率. 【详解】依题意，5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数为， 中间行必有一格填奇数3，9之一，另一个填入不含6的那一行，有种方法， 再排奇数1，5，7，有种方法， 因此每一行的3个数字之积都能被3 整除的事件含有的基本事件数为， 所以每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率. 故选：B 8．B 【分析】通过不等式分离变量，再利用等式得出代入不等式进行化简，构造函数，再利用函数导数得出函数的最大值，从而得出结果； 【详解】由题意知m，n，k均为正实数， 恒成立，恒成立， 因为， 所以 令，则 令，则（舍）或， 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减； 所以函数有最大值，最大值为， 因此的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：最值求解方法： 1.从函数的最值出发，构造函数，求函数的最值． 2.利用函数单调性，求得最值 3.利用基本不等式求最值 4.利用三角函数有界性求最值 9．ABD 【分析】根据分层随机抽样的特征和适用的情况对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法； 选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样； 选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样； 选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法. 故选：ABD 10．ABC 【分析】根据直方图及百分位数、平均数、中位数的求法依次判断各项的正误即可. 【详解】A：由直方图知对应矩形最高，即频率最大，故成绩在分的考生人数最多，对； B：由，故成绩的第80百分位数在区间， 设为，则，可得分，对； C：由图知，平均分为，对； D：由， 所以中位数位于区间，设为，则，可得分，错. 故选：ABC 11．ABD 【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以，解得，A正确． 因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确． 的最小值为，C错误． 因为， 当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确． 故选：ABD 12．10 【分析】由等比数列的性质可得，然后等式的用替换再结合完全平方公式可得结果. 【详解】因为为等比数列，则， 所以， 又为正项等比数列，即， 所以. 故答案为：10. 13． 【分析】将问题转化为有两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组即可得解. 【详解】由题知，的定义域为，， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得，即的取值范围为. 故答案为： 14． 【分析】由题意可得方程在无解，即函数在无零点，当时直接判断，当时求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，当时利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，依题意只需，从而求出的取值范围，再结合求出的范围. 【详解】由题意可得方程在无解， 将方程变形得， 即函数在无零点， 易得的定义域为，仅在讨论零点时舍去的情况； 若时，则，当时，当时， 故在无零点，因此符合题意； 当时，则，设，则， 当时，则在单调递增，即在单调递增， 由于时，时，由零点存在性定理可知在必有、且只有一个零点， 设为，则当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，故只需令， 当时符合题意， 因此 ， 即，解得，则， 设，，则， 所以在上单调递增，又，， 所以，则； 当时，，， 故在区间必有零点，与所求不符. 综上，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 15．(1)企业员工对AI工具的使用情况与性别有关 (2) 【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论； （2）应用分层抽样的等比例性质确定男女人数，确定有X的所有可能取值集合为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）零假设为：该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关. 根据列联表数据计算得： . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关”，此推断犯错误的概率不超过. 故分析认为企业员工对AI工具的使用情况与性别有关. （2）由题意知，抽取的7名员工中男员工有4名，女员工有3名. 则X可能的取值集合为， 因此，， ，， 所以. 16．（I）或；（II）． 【分析】（I）利用余弦定理可构造方程求得的值，根据同角三角函数平方关系可求得；将所求式子切化弦，结合正弦定理角化边，代入和的值即可； （II）根据向量数量积定义可求得，利用余弦定理可配凑出关于的方程，解方程即可求得结果. 【详解】（I）成等比数列，， ，或， ，； ， 由正弦定理知：，或. （II），，即， 由余弦定理得：， 解得：. 17．(1) 因为底面，平面 所以， 因为四边形是矩形，所以， 又因为、平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为，是的中点，所以平面， 所以平面， 又平面，所以， 由已知得，且平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明以平面，进而得出线线垂直再次应用线面垂直判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量，再应用夹角的余弦公式计算，最后应用同角三角函数关系求出正弦即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由（1）知平面，所以为平面的一个法向量， 又，，设为平面的一个法向量， 则由得取， 则， 设二面角的大小为， 则 所以二面角的正弦值为. 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据数列前项和为与数列通项公式的关系，求出数列的通项公式； （2）根据对数的运算公式，求出数列的通项公式，根据错位相消法求出数列的前项和； （3）根据数列的函数性质，和等差数列的函数性质，说明不存在三个不同的项构成等差数列. 【详解】（1）由题意得， 当时，， 作差得，化简得， 可知数列为等比数列，当时，，解得， 所以. （2）可知， 则， 则， 作差得，化简得. （3）已知，可知在函数上， 设等差数列，是一个首项为，公差为的等差数列， 则在函数上， 可知是指数函数，是一次函数， 易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在上，又在上， 即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）代入然后求导，对，讨论判断； （2）（i）法一：等价转化方程有两个不同的变号根等价有两个不同的根，然后构建函数研究性质即可；法二：直接求导，然后利用二阶导，求出最小值判断即可；（ii）构建函数，然后求导可判断，然后构建函数，可知，最后可得结果. 【详解】（1）由，得，， 当时，，，在上单调递增， 所以，不等式恒成立；            当时，，当时，， 所以在上单调递减，，与已知不等式矛盾. 故； （2）（i）法一：由（），求导得， 由题意得方程有两个不同的变号根， 即：有两个不同的根， 设，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以， 又时，；时，，所以.        法二：由，求导可得，令， 由题意得函数存在两个不同的变号零点，则， 令，解得，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增，所以， 当，即时，不合题意； 当时，由， 令，求导可得， 当时，，则在上单调递增， 所以，则， 由，则当时，函数存在两个不同的变号零点， 可得，解得. （ii）证明：由（i）知：为方程的两个不等的实根，不妨设， 令， 求导可得，由，当且仅当时取等号，则， 所以函数在上单调递增，由，则当时，可得， 由，且在上单调递减， 则，可得； 由当时，，则函数在上单调递减， 由，则，所以， 要证，只需证，由， 则令，求导可得，令， 则，所以函数在上单调递增，， 则当时，，即， 所以函数在上单调递增，又， 则当时，， 所以不等式在上恒成立，可得。 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 3．展开式中的常数项为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在三角形中，M是线段上的一个动点，且满足，求的最小值（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 5．已知函数在 处有极大值，则 的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 6．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中， 每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率为（   ）    A． B． C． D． 8．已知m，n，k均为正实数，，且若恒成立，则实数t的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：（    ） A．某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C．某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 10．在某次单元测试中，4000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有：（    ） A．成绩在分的考生人数最多 B．考生考试成绩的第80百分位数为83.3 C．考生考试成绩的平均分约为70.5分 D．考生考试成绩的中位数为75分 11．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（   ） A． B．的长轴长为4 C．的最小值为 D．的最大值是 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．在正项等比数列中，，则_____． 13．设，，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为_____． 14．若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是______. 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据： 经常使用 不经常使用 合计 男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计 140 60 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关； (2)为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且． （I）求的值； （II）设，求的值． 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证: 平面； (2)求二面角的正弦值. 18．已知数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 19．已知函数 (1)设函数，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． (2)若有两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $