精品解析：湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二创新实验班下学期7月期末质量检测数学试题

2024年上学期高二创新实验班期末质量检测试题卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试题卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在试题卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 第I卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两个集合，再根据交集定义即可得解. 【详解】或， ， 所以. 故选：D. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算先化简，再求其模长即得. 【详解】． 故选:D． 3. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算可得，再由同角三角函数的平方关系与商关系，即可得到结果. 【详解】因为，且， 所以， 由题意知， 所以，所以， 所以， 则. 故选：D 5. 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ） A. 78 B. 92 C. 100 D. 122 【答案】C 【解析】 【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解. 【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有种， 当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有种. 综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是. 同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50. 故不同的分配方法数是. 故选：C 6. 已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而可得的周期为，故只需研究前项的值，进而可得解. 【详解】有等差数列可知，，周期，故只需考虑前项值：，，，，，， 由题意知，这个式子只能取到个不同的值.借助三角函数的定义， 即在单位圆上有个点均分圆周，且这个点的纵坐标只能取到个不同的值（如图所示），于是集合， 即所有元素乘积为， 故选：A. 7. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得且，进而得到，进而求得点，代入双曲线方程，化简求得，结合，即可求解. 【详解】因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即， 由双曲线，可得，渐近线方程为，即， 可得，且， 因为直线，可得， 又因为，所以即， 代入双曲线方程，可得，整理得， 所以，可得，即， 所以离心率. 故选：A. 8. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象,①当直线与曲线相切于点时,,推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围;②当直线与曲线相切时,设切点为,通过,求出,或,,然后判断求解的范围. 【详解】函数的图象如图所示, ①当直线与曲线相切于点时, , 故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点, 当时,直线与函数的图象恰有两个交点, ②当直线与曲线相切时, 设切点为,则, ,解得,或,， 当时,直线与函数的图象恰有一个交点, 当或时,直线与函数的图象恰有两个交点, 当时,直线与函数的图象恰有三个交点, 综上的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确是（ ） A. 数据的分位数为11 B. 已知变量的线性回归方程，且，则 C. 已知随机变量最大，则的取值为3 D. 已知随机变量，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用百分位数得定义即可求得；对于B，因线性回归方程必经过样本中心点，代入即可求得；对于C，作商，对结果进行分类讨论，从而完成，的大小比较，分析即得；对于D，根据正态分布曲线的对称性易求出即可判断. 【详解】对于A，因为，所以这组数据分位数为14，故A错误； 对于，因过点，则有，解得，故B正确； 对于由，其中. 由此时， 递增； 此时，； 此时递减， 故， 即最大时，的取值为 3 或 4，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 11. “最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成，旋轮线的参数方程为，其中为参数，为常数，旋轮线也可看作某一个函数的图象，下列说法正确的有（ ） A. 点在旋轮线上 B. 函数是偶函数 C. 函数不是周期函数 D. 当时，函数在单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据旋轮线的参数方程代入可判断A正确，由函数奇偶性定义判断可得B正确，易知可得是周期函数，可得C错误，利用复合函数求导可判断D正确. 【详解】对于A，当时，，可得点满足旋轮线的方程，故选项A正确； 对于B，因 故当变为时，变为，此时的值不变， 即，故为偶函数，选项B正确； 对于C，因， 故当变为时，变为，此时的值不变，即， 故函数是周期为的周期函数，故选项错误； 对于D，当时，，故函数单调递增， 当时，，当时，，而在时单调递减， 即当时，随着的增加在内增加，随着的增加而减小， 故在单调递减，选项D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据参数方程利用奇偶性定义以及周期性定义，可判断函数是偶函数，且是周期函数，再根据复合求导得出单调性可得出结论. 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得. 【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得, 又∵，∴，由，可得， 解得(负值舍去)，∴三角形的面积为， 故答案为：. 13. 已知椭圆C：的左，右焦点分别是是椭圆C上第一象限内的一点，且的周长为.过点作的切线，分别与轴和轴交于两点，为原点，当点在上移动时，面积的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】设出直线的方程，根据焦点三角形的周长求解出的值，则椭圆方程可求，联立椭圆方程与抛物线方程并根据相切关系对应的求解出的关系式，然后表示出面积并结合基本不等式求解出面积的最小值. 【详解】设直线方程为， 因为的周长为，所以，且， 所以，所以椭圆， 联立可得， 所以，所以， 又因为与坐标轴交于， 所以， 取等号时， 所以面积的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用直线与椭圆的相切关系寻找参数之间关系，根据相切关系可得，由此得到参数的关系，对后续求解面积的最小值起化简作用. 14. 已知的内角的对边分别是，且，若为最大边，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】变形给定的等式，结合余弦定理求得或，由为最大边，当时求出；当时，利用正弦定理结合三角函数性质求出的范围即得. 【详解】在中，由，得， 两边加得，即， 解得，或， 当时，由余弦定理得，而， 则，由为最大边，得为最大角，于是，，因此； 当时，，则，此时为最大角，为最大边，符合题意， 令，则， 由正弦定理得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求的范围，利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换及三角函数性质求解是关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最值； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，再判断单调性，可求出最值． （2）先得到，时，，再求出函数的最小值即得解． 【详解】解：（1）当时，， 当，时，，，， 在，上单调递增， ，． （2）当，时， ， ，，，， 当时，， 在，上单调递增，， ，， 的取值范围为，． 16. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且． （1）求证：平面平面； （2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设，根据线面垂直的性质证明，利用勾股定理证明，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 不妨设， 因为平面平面，故， 在中，， 由余弦定理，， 得，故，则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系， 则， 故， ，所以， 设，则，即， 所以； 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得，故． 17. 某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个. （1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及； （2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为. ①求的通项公式； ②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个. 【答案】（1）；；（2） ①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个. 【解析】 【分析】（1）计算一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，利用排列与组合计算当集齐，，玩偶的所有情况总数，然后得到；利用正难则反思想，先计算一次性买个乙系列盲盒不能集齐，玩偶的概率，再利用计算即可； （2）①由题意可得，当时，，利用构造法求出数列的通项公式；②假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数. 【详解】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况： ①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果； ②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果， 故； 若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为， 故； （2）①由题可知：， 当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列. 所以，即； ②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于， 假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则， 所以，即购买甲系列的人数的期望为， 所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个. 【点睛】本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于： （1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中及的计算； （2）分析清楚与之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解，然后利用的性质解题. 18. 过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且． （1）求抛物线的方程； （2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； （3）设是“囧边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解； （2）求出弦长及点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解； （3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证. 【小问1详解】 由题意得，， 由， 所以 【小问2详解】 设， 联立，， 设方程的两根为，则， 由，所以， 联立直线可得， 代入方程中，得，即， 故的面积. 因为在圆上，所以且， 于是， 显然此式在上单调递增，故， 也即，因此， 由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，, 设，过的切线，即， 过点切线交得，同理， 因为， . 所以，即. 【点睛】关键点点睛：联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式得出，再由切线相交得出点坐标，求出三角形面积，再由点在圆上得出面积的范围是求解“囧边形”面积范围的关键，第三问中利用直线上线段长度之比可化为横坐标（或纵坐标）之比是解题的关键. 19. 若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质. （1）已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质； （2）若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质； （3）记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，且，理由见解析 【解析】 【分析】（1）借助题目所给条件可得，结合等差数列定义可得数列是等差数列，结合新定义找到对应的等差数列，使得集合元素的个数不大于； （2）构造对应函数、，结合所给定义可得集合元素的个数不超过个，即可得证； （3）借助与的关系，得到当时，，存在等差数列，使元素个数不超过个，即可得证. 【小问1详解】 由， 故， 即， 又，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即， 故存在等差数列，使， 由，故数列有性质； 【小问2详解】 设对数列，存在等差数列，使， 对数列，存在等差数列，使， 则对数列，存在等差数列， 使的值为， 这样的最多有个，即数列有性质； 【小问3详解】 设对数列，存在等差数列，且其公差为，使得， 当时，有 ， 由， 故当时，， 当时，，当时，可能有种， 故这样的最多有个， 即存在等差数列，使， 的元素个数不超过个， 故一定存在，使得数列具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于借助与的关系，得到当时，，从而将数列具有性质这个条件使用上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期高二创新实验班期末质量检测试题卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试题卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在试题卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 第I卷 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（ ） A. 78 B. 92 C. 100 D. 122 6. 已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据的分位数为11 B. 已知变量的线性回归方程，且，则 C. 已知随机变量最大，则取值为3 D. 已知随机变量，则 10. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 11. “最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成，旋轮线的参数方程为，其中为参数，为常数，旋轮线也可看作某一个函数的图象，下列说法正确的有（ ） A. 点在旋轮线上 B. 函数是偶函数 C. 函数不周期函数 D. 当时，函数在单调递减 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为___________. 13. 已知椭圆C：的左，右焦点分别是是椭圆C上第一象限内的一点，且的周长为.过点作的切线，分别与轴和轴交于两点，为原点，当点在上移动时，面积的最小值为___________. 14. 已知的内角的对边分别是，且，若为最大边，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最值； （2）当时，，求的取值范围． 16. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内投影为点，且． （1）求证：平面平面； （2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 17. 某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个. （1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及； （2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为. ①求的通项公式； ②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个. 18. 过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且． （1）求抛物线方程； （2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围； （3）设是“囧边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：． 19. 若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质. （1）已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质； （2）若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质； （3）记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $