25.1 一元二次方程的概念 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的核心知识点。课堂导入先复习一元一次方程概念，再通过雕像比例、矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛三个实际问题列方程，引导学生类比迁移，搭建新旧知识联系的学习支架。 此资料亮点在于以实际情境驱动教学，让学生用数学眼光观察现实问题中的数量关系。通过小组讨论归纳方程共同点，培养数学思维与抽象概括能力。将实际问题转化为方程模型，发展数学语言表达与模型意识，助力学生理解知识本质，也为教师提供结构化教学流程。

25.1 一元二次方程的概念 一、核心素养目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式； 2.会应用一元二次方程的根的概念解决有关问题； 3.经历把实际问题转化为数学模型的过程，让学生体会方程是刻画现实世界中数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识. 二、教学重点及难点 重点：通过建立方程，归纳得出一元二次方程的概念、一般形式和一元二次方程的根的概念. 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念. 三、教学过程 【复习回顾】 教师提问：下列式子是否是一元一次方程？ 见课件展示. 【师生活动】学生回答老师的问题，教师回顾一元一次方程概念. 设计意图：通过复习旧的知识，让学生产生新旧知识上的强烈冲击，产生强烈的求知欲，建立类比的学习方法，为下面探究新知识打下基础. 【情境引入】 现有三个实际生活中遇到的问题，根据题干信息列方程，化简方程，观察所得结果，你发现了什么?师生互动，教师通过随机抽查的方式，找同学回答问题. ①在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 分析：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量条件：，即. 解：设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据上述等量关系，就可以列出方程，整理得. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. ②如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 分析：如果设各角切去的正方形的边长为x cm，那么制成的无盖方盒的底面长为cm，宽为cm.由底面积为3 600 cm2，可得到的方程是怎样的? 解：设各角切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为 cm，宽为 cm. 根据方盒的底面积为3 600 cm2，得. 整理，得. 化简，得. ③要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式 (每两支球队之间比赛1场)．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 分析：(1)全部比赛的场数为场. (2)如果设应邀请x支队参赛，那么每个队要与其他支队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场. (3)由此可列出的方程是什么? 解：设应邀请x个队参赛， 由题意，得. 整理，得. 化简，得. 设计意图：教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣，为下一环节引出方程的概念打基础. 【探究新知】 探究1：一元二次方程的概念 教师提问：观察上述问题中的三个方程，它们有什么共同点？以小组为单位讨论. 【师生活动】教师提示类比一元一次方程，学生讨论后集体回答． 答：(1) 方程的两边都是整式； (2) 都只含1个未知数； (3) 未知数的最高次数都是2． 概念：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程． 设计意图：让学生经历合作探究的过程，通过观察、发现、归纳，结合一元一次方程的概念概括出一元二次方程的概念，培养学生抽象概括的能力. 探究2：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是：. 辨一辨：为什么一般形式中要限制，，可以为0吗? 答：当时，为一元一次方程；当时，才为一元二次方程；，可以为0. 概念：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． 判断一个数是不是一元二次方程的根的方法： 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根． 【典型例题】例 （教材P3） 【师生活动】学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式. 教师用课件展示例题答案. 注意：一元二次方程的每一项 (系数) 都应包括它前面的符号. 设计意图：通过问题，引发学生思考一元二次方程中的原因，加深对一元二次方程概念的理解，通过引导学生自主实践，掌握化一元二次方程的一般形式的方法，并熟练判断其二次项系数、一次项系数和常数项. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.一元二次方程的概念. 2.一般形式. 3.一元二次方程的根. 学科网（北京）股份有限公司 $