第09讲 实际问题与二次函数（暑假预习培优讲义，4题型技巧2重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第09讲 实际问题与二次函数（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数求最值通用规则 2 知识点02 二次函数实际应用题六步法（必考答题规范） 2 知识点03 四大必考模型核心公式 3 剖题型·讲技巧 题型1 几何面积最值（围栏类） 4 题型2 销售利润最值（中考大题必考） 6 题型3 抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮） 7 题型4 动点面积压轴（培优难点） 11 释疑惑·重难拓展 题型1 二次函数最值分类讨论（中考压轴难点） 14 题型2 分段函数最值（高阶培优） 17 知中考·真题探源 18 练好题·提分培优 23 课标要点 1. 结合实际情境，经历从现实问题中抽象变量关系的过程，能够建立二次函数数学模型，用二次函数表达式刻画实际问题中的变量变化规律。 2. 熟练运用二次函数的图象与性质，求解实际问题中的最大值、最小值，重点掌握限定自变量取值范围下的最值求解方法。 3. 理解二次函数在最值优化问题中的应用价值，能解决几何面积、销售利润、运动轨迹、实物抛物线等常见实际问题，打通代数运算与几何直观的综合应用。 4. 结合实际问题验证函数解的合理性，感悟函数与方程、不等式的关联，提升数学应用能力。 知识点01 二次函数求最值通用规则 设二次函数 ，对称轴公式： 1. 全体实数取值范围 ：开口向上，当时，函数有最小值 ：开口向下，当时，函数有最大值 2. 实际问题限定区间（培优核心难点） 实际问题中自变量必有取值范围，仅当对称轴在取值区间内时，顶点为最值点；否则最值出现在区间端点。 解题步骤：①求对称轴；②判断对称轴是否在区间内；③分情况求最值 对称轴在区间内：顶点纵坐标为核心最值，可结合端点值对比验证； 对称轴不在区间内：函数在区间单调增减，最值直接取区间两端点函数值。 练习 1．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为，现有一货车，它的车身宽为米，车厢面距离地面的高度为米，准备拉一车学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度应不高于__________米．（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致） 知识点02 二次函数实际应用题六步法（必考答题规范） 1.审：梳理题干常量、自变量、因变量，提取核心等量、不等关系； 2.设：合理设元，优先直接设所求量，统一题目所有单位； 3.列：依据几何公式、利润公式、运动规律，建立二次函数解析式； 4.限：结合实际场景，写出自变量准确取值范围（高频考点）； 5.解：通过配方法或公式法求解最值，结合自变量区间合理取舍； 6.验答：检验结果符合实际意义，规范书写最终答案。 知识点03 四大必考模型核心公式 模型1 几何面积最值模型（围栏、多边形） 核心公式：矩形面积=长×宽；梯形面积=（上底+下底）×高 关键注意：靠墙围栏、单边遮挡场景，无需重复计算边长，严格根据篱笆总长列关系式。 模型2 销售利润最值模型（中考高频） 单件利润 = 售价 - 进价（成本） 总利润 单件利润 × 销售量 变化规律：单价上涨，销量减少；单价下降，销量增加，根据题干比例列出销量解析式。 模型3 抛物线实物模型（拱桥、投篮、喷水、隧道） 解题核心：建立平面直角坐标系，简化计算 优先设顶点式 （已知顶点）；已知三点设一般式 。 常见考法：求宽度、高度、通行条件、落点距离等。 模型4 动点综合最值模型（培优压轴） 设运动时间为，用含的代数式表示动态线段长度，结合几何面积、周长公式构造二次函数，限定取值范围后求最值。 题型1 几何面积最值（围栏类） 方法技巧 技巧1：靠墙模型快速列式 垂直墙设，平行墙 = 总长 ；永远优先限制平行墙边长≤墙长，这是取值范围唯一来源。 技巧2：面积类二次函数特征 所有固定周长围图形最大面积，全部为二次开口向下抛物线，最大值唯一。 【典例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 【变式1-1】（25-26九年级上·山东·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东·期末）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形中垂直于墙的边的长为，矩形的面积为（如图）． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若矩形的面积为，求的值； (3)当为何值时，矩形的面积最大？最大为多少？ 【变式1-3】（25-26九年级上·吉林四平·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当矩形花园的面积为时，求的长； (3)如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 题型2 销售利润最值（中考大题必考） 方法技巧 技巧1：涨跌价快速列式模板 涨价：售价↑、销量↓；降价：售价↓、销量↑，符号永远相反。 技巧2：利润最值避坑铁律 利润最大值不一定在顶点！受售价上限、成本下限、整数件数限制，端点最值高频考。 拓展：含捐赠、返利、损耗问题 所有额外支出，统一扣在单件利润上，不改变销量表达式，简化计算。 【典例2】（25-26九年级上·北京顺义·期末）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 【变式2-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）某花卉种植园原计划培育50个品种的月季，一个品种平均培育100株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育1个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少1株，要求多培育的品种数量不少于5个且不能超过30个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季？ (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗总量取最小值，最小值是多少？应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量会达到最大值，最大值是多少？ 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价元，小明一天卖灯笼获得利润元． (1)求出与之间的函数解析式； (2)灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 题型3 抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮） 方法技巧 技巧1：建系最优方案（省时秒杀） 顶点居中 → 顶点放y轴，设 ，无一次项，计算减半。 技巧2：通行问题秒杀法 车宽一半代x，算高度比车高；水位问题固定高度代y，求宽度。 【典例3-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 【典例3-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点离地面的距离米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以为原点，所在的水平线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式（不要求写出的取值范围）； (2)求火箭落地点到发射点的水平距离． 【典例3-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【变式3-1】（25-26九年级上·广西河池·期末）掷实心球是某市中考体育选考项目．小西（男生）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知小西掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市中考体育投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少？说明理由． 项目 评分表（成绩） 20分 19分 18分 17分 16分 原地掷实心球 米 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 【变式3-2】（25-26九年级下·全国·单元复习）综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【变式3-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）综合与实践 为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚．处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米．米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式： 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． 题型4 动点面积压轴（培优难点） 方法技巧 技巧1：割补法优先 不规则动点面积，优先用整体减空白，避免复杂分段讨论。 技巧2：动点取值范围来源 由“点不超线段端点”锁定范围，没有范围的动点最值一律0分。 【典例4-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期末）在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题．    (1)设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ (2)是否存在x的值，使得？试说明理由． 【典例4-2】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒，过点P作，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点Q在线段的延长线上时，线段的长为_______；（用含t的代数式表示） (2)设与重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)当点Q在线段的延长线上时，连结，若是等腰三角形，直接写出t的值． 【变式4-1】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题： (1)运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． (3)求出当时的取值范围． 【变式3-2】（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【变式4-3】（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． (2) 如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 题型1 二次函数最值分类讨论（中考压轴难点） 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）某公司以元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查发现：若每千克的平均销售价为元时，则每天可售出千克，当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克，假设日销售量为千克，日平均销售价格为元/千克． (1)求与之间的函数表达式； (2)该公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)若该公司每销售1千克这种产品需支出元（）的相关费用，当时，公司的日获利元的最大值为元，求的值． 2．（2026·江苏宿迁·一模）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）． ①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头； ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围． 3．（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，建立如图2平面直角坐标系．设抛物线解析式为，抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板，点正好在对称轴右边的抛物线上，在木板的中点处设立米的支撑杆，且，求出木板所在直线的解析式； (3)在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度米处．若工人师傅从点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是___________米． 4．（2026九年级下·吉林·专题练习）实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值； ②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 题型2分段函数最值（高阶培优） 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）某科技公司计划将一款新型机器人投入市场，经市场调研发现，当售价为每台万元时，月销售量为台；当售价每提高万元时，月销售量就减少台．已知这款机器人生产成本为每台万元．设机器人的售价为每台万元（为正整数）： (1)求出月销售量（台）与售价（万元）之间的函数关系式； (2)当售价为多少万元时，销售这款机器人的月利润最大？最大月利润是多少？ (3)该科技公司希望月生产成本不超过万元，月利润不低于万元，求机器人的售价（万元）的范围． 6．（25-26九年级下·河南商丘·开学考试）某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． (2)若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为8万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是，其中x是正整数．当时，；当时，． (1) __________； __________； (2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式． ①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当时，若有且只有5个生产周期的利润不小于a万元，直接写出实数a的取值范围． 一、单选题 1．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 2．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 3．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 三、解答题 4．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 5．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 6．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 7．（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南·二轮复习）若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动的时间（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：（   ） ①小球在空中经过的路程是； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·河南驻马店·一模）老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·全国·单元复习）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 4．（25-26九年级下·全国·单元复习）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 5．（25-26九年级下·全国·单元复习）软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 二、填空题 6．（2026·广东河源·一模）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 7．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 8．（25-26九年级下·全国·单元复习）四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点、的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的序号为___________． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）某厂生产的零件成本为20元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为30元/个时，月销售量为560个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少8个．该厂生产的零件向车企进行销售． (1)为使月销售利润达到9600元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元/个？ (2)设该厂所取得的月销售利润为W元，问当售价定为多少元/个时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 10．（25-26九年级下·全国·单元复习）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 11．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 12．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务： 如何计算工厂生产线数量？ 素材1：近期居民接种流感疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条生产线生产一次性注射器．开工第一天日生产量400万个． 素材2：经调查发现，1条生产线的日最大生产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大日生产量将减少20万个/天． 问题解决： 任务1：1条生产线的日生产量从开工第一天起，按日平均增长率增加，到开工第三天达到最大日生产量，求1条生产线的最大日产量． 任务2：达到1条生产线最大日生产量后，工厂计划增加一定数量生产线，同时又要节省投入（生产线越多，投入越大）．现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，求增加的生产线数量 任务3：该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 13．（25-26九年级上·广西玉林·期中）【综合与实践】 某社区为打造“绿色休闲空间”，计划建造一个如图所示矩形景观花坛，同时配套安装太阳能照明装置，工程设计与实施过程中涉及多学科知识，具体问题如下：已知矩形花坛的一边靠墙（墙长，墙为东西走向），另三边总长为的不锈钢护栏围成，设花坛垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为，花坛的面积为． (1)请先根据矩形的周长关系，用含的代数式表示；再写出与之间的二次函数关系式，并求出的取值范围（提示：护栏总长固定，且平行于墙的边长不能超过墙长）． (2)生物学家建议，花坛内种植花卉的区域面积需最大，才能达到最佳观赏与生态效果，求此时花坛垂直于墙的边长、平行于墙的边长，以及最大种植面积S． (3)若在花坛内铺设营养液管道，管道总长h（单位：）与垂直于墙的边长x满足关系式，求当花坛面积为时，营养液管道的总长h． (4)由于花坛靠墙（东西走向），地理学家指出，平行于墙的边长y需根据日照时长调整，当时，花卉日照充足，求在此条件下，花坛面积S的最大值与最小值的差． 14．（25-26九年级上·吉林四平·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． (1)___________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 实际问题与二次函数（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数求最值通用规则 2 知识点02 二次函数实际应用题六步法（必考答题规范） 3 知识点03 四大必考模型核心公式 3 剖题型·讲技巧 题型1 几何面积最值（围栏类） 4 题型2 销售利润最值（中考大题必考） 8 题型3 抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮） 11 题型4 动点面积压轴（培优难点） 17 释疑惑·重难拓展 题型1 二次函数最值分类讨论（中考压轴难点） 27 题型2 分段函数最值（高阶培优） 36 知中考·真题探源 40 练好题·提分培优 50 课标要点 1. 结合实际情境，经历从现实问题中抽象变量关系的过程，能够建立二次函数数学模型，用二次函数表达式刻画实际问题中的变量变化规律。 2. 熟练运用二次函数的图象与性质，求解实际问题中的最大值、最小值，重点掌握限定自变量取值范围下的最值求解方法。 3. 理解二次函数在最值优化问题中的应用价值，能解决几何面积、销售利润、运动轨迹、实物抛物线等常见实际问题，打通代数运算与几何直观的综合应用。 4. 结合实际问题验证函数解的合理性，感悟函数与方程、不等式的关联，提升数学应用能力。 知识点01 二次函数求最值通用规则 设二次函数 ，对称轴公式： 1. 全体实数取值范围 ：开口向上，当时，函数有最小值 ：开口向下，当时，函数有最大值 2. 实际问题限定区间（培优核心难点） 实际问题中自变量必有取值范围，仅当对称轴在取值区间内时，顶点为最值点；否则最值出现在区间端点。 解题步骤：①求对称轴；②判断对称轴是否在区间内；③分情况求最值 对称轴在区间内：顶点纵坐标为核心最值，可结合端点值对比验证； 对称轴不在区间内：函数在区间单调增减，最值直接取区间两端点函数值。 练习 1．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为，现有一货车，它的车身宽为米，车厢面距离地面的高度为米，准备拉一车学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度应不高于__________米．（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致） 【答案】 【详解】解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于G， ∵函数表达式为， ∴抛物线的对称轴直线为：，即点G的横坐标为， ∵， ∴点A的横坐标为：， 如图：延长交抛物线于点H，则点H的横坐标为3， ∴点H的纵坐标为，即， ∴米， ∴则该车堆放学习用品的高度应不高于米． 故答案为：． 知识点02 二次函数实际应用题六步法（必考答题规范） 1.审：梳理题干常量、自变量、因变量，提取核心等量、不等关系； 2.设：合理设元，优先直接设所求量，统一题目所有单位； 3.列：依据几何公式、利润公式、运动规律，建立二次函数解析式； 4.限：结合实际场景，写出自变量准确取值范围（高频考点）； 5.解：通过配方法或公式法求解最值，结合自变量区间合理取舍； 6.验答：检验结果符合实际意义，规范书写最终答案。 知识点03 四大必考模型核心公式 模型1 几何面积最值模型（围栏、多边形） 核心公式：矩形面积=长×宽；梯形面积=（上底+下底）×高 关键注意：靠墙围栏、单边遮挡场景，无需重复计算边长，严格根据篱笆总长列关系式。 模型2 销售利润最值模型（中考高频） 单件利润 = 售价 - 进价（成本） 总利润 单件利润 × 销售量 变化规律：单价上涨，销量减少；单价下降，销量增加，根据题干比例列出销量解析式。 模型3 抛物线实物模型（拱桥、投篮、喷水、隧道） 解题核心：建立平面直角坐标系，简化计算 优先设顶点式 （已知顶点）；已知三点设一般式 。 常见考法：求宽度、高度、通行条件、落点距离等。 模型4 动点综合最值模型（培优压轴） 设运动时间为，用含的代数式表示动态线段长度，结合几何面积、周长公式构造二次函数，限定取值范围后求最值。 题型1 几何面积最值（围栏类） 方法技巧 技巧1：靠墙模型快速列式 垂直墙设，平行墙 = 总长 ；永远优先限制平行墙边长≤墙长，这是取值范围唯一来源。 技巧2：面积类二次函数特征 所有固定周长围图形最大面积，全部为二次开口向下抛物线，最大值唯一。 【典例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，要使用长为米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？ (2)若墙的最大可用长度为米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？ 【详解】（1）解：设米，则米， 依题意得， 解得，， 答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为米或米； （2）解：设米，则米，花圃的面积为平方米， ， 墙的最大可用长度为米， ， 解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是米，米． 【变式1-1】（25-26九年级上·山东·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 且墙长为，在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位， ∴， 解得； 故答案为：  ；； （2）解： ， ，对称轴为直线，而， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到. 【变式1-2】（25-26九年级上·山东·期末）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形中垂直于墙的边的长为，矩形的面积为（如图）． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若矩形的面积为，求的值； (3)当为何值时，矩形的面积最大？最大为多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且二次函数图象上的点离对称轴的距离越近函数值越大， ∵， ∴当，的值最大，， 答：当时，矩形的面积最大，最大为． 【变式1-3】（25-26九年级上·吉林四平·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当矩形花园的面积为时，求的长； (3)如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x的关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴的长为或； （3）解：∵点P在矩形内部， ∴， 解得， ∵， 当时，y随x增大而增大， ∴时，y取最大值为， 答：花园面积最大值为． 题型2 销售利润最值（中考大题必考） 方法技巧 技巧1：涨跌价快速列式模板 涨价：售价↑、销量↓；降价：售价↓、销量↑，符号永远相反。 技巧2：利润最值避坑铁律 利润最大值不一定在顶点！受售价上限、成本下限、整数件数限制，端点最值高频考。 拓展：含捐赠、返利、损耗问题 所有额外支出，统一扣在单件利润上，不改变销量表达式，简化计算。 【典例2】（25-26九年级上·北京顺义·期末）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 【详解】（1）解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元， 根据题意，可得方程， 解得， 故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元． （2）解：假设乙种型号新能源汽车定价为万元， 则利润为， 当万元时，月销售乙种型号获取的利润最大． 【变式2-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）某花卉种植园原计划培育50个品种的月季，一个品种平均培育100株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育1个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少1株，要求多培育的品种数量不少于5个且不能超过30个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季？ (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗总量取最小值，最小值是多少？应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量会达到最大值，最大值是多少？ 【详解】（1）解：设应多培育x个品种的月季，且， 由题意可得：， 解得：，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育x个品种的月季时，幼苗总量为y． 由题意可得： ， ∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y取最小值，最小值为5225； 当时，y取最大值，最大值为5625． 答：应多培育5个品种的月季时幼苗总量取最小值，最小值是5225株；应多培育25个品种的月季时幼苗总量取最大值，最大值是5625株． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价元，小明一天卖灯笼获得利润元． (1)求出与之间的函数解析式； (2)灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：由题意得，每对灯笼的利润为元 每天的销售量为对， 因为销售单价不高于65元 所以， 得， 又因为涨价金额, ∴； 所以， （2）解： ∵， ∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值. 对称轴为， 因为自变量的取值范围是， 所以，当时，W取得最大值 此时销售单价为（元）， 将代入解析式得（元） 答：灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【变式2-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． (1)当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ (2)当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 题型3 抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮） 方法技巧 技巧1：建系最优方案（省时秒杀） 顶点居中 → 顶点放y轴，设 ，无一次项，计算减半。 技巧2：通行问题秒杀法 车宽一半代x，算高度比车高；水位问题固定高度代y，求宽度。 【典例3-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求水柱所对应的抛物线解析式； (2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 【详解】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则，， ∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内． 【典例3-2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点离地面的距离米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以为原点，所在的水平线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式（不要求写出的取值范围）； (2)求火箭落地点到发射点的水平距离． 【详解】（1）解：由题意得：，顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式可得， 解得：． 所以抛物线的解析式为； （2）解：将代入可得：， 解得：（负值不符合题意舍去）， ∴火箭落地点到发射点的水平距离为米． 【典例3-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【详解】（1）解：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 设抛物线（），点在抛物线上， ， 抛物线的解析式． （2）解：宽不会超过，理由如下： 离水面的高 设点坐标为（） 根据题意得， 解得： 的宽为 ， ， 的宽不超过． 【变式3-1】（25-26九年级上·广西河池·期末）掷实心球是某市中考体育选考项目．小西（男生）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知小西掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市中考体育投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少？说明理由． 项目 评分表（成绩） 20分 19分 18分 17分 16分 原地掷实心球 米 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 【详解】（1）解：由题意得：函数的顶点的坐标为，且函数的图象经过点， 设函数解析式为， 则， 解得； ∴函数表达式为； （2）解：该生得分为19分，理由如下： 在中，当时，则， 解得，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分． 【变式3-2】（25-26九年级下·全国·单元复习）综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【详解】（1）解：根据题意得， 将的坐标代入， 得，解得 抛物线的表达式为， 拱顶D到地面的距离为； （2）解：令，则， 解得，则， 所以两排灯的水平距离最小是； （3）解：由题意得货车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过． 【变式3-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）综合与实践 为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚．处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米．米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式： 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． 【详解】解：（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 设抛物线的解析式为：， 根据题意，得， 故，， 代入解析式，得，解得， ， 故抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为． 设点，则， 则 ， ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，函数有最大值，最大值为， 答：线段长度的最大值为． 题型4 动点面积压轴（培优难点） 方法技巧 技巧1：割补法优先 不规则动点面积，优先用整体减空白，避免复杂分段讨论。 技巧2：动点取值范围来源 由“点不超线段端点”锁定范围，没有范围的动点最值一律0分。 【典例4-1】（25-26九年级上·宁夏固原·期末）在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题．    (1)设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ (2)是否存在x的值，使得？试说明理由． 【详解】（1）解：矩形中， ，，， 由题意得，， ，， ， ，， 当时，； 综上，，当时，； （2）解：存在，理由如下： ， ， ， ， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 故当时，． 【典例4-2】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒，过点P作，交射线于点Q．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点Q在线段的延长线上时，线段的长为_______；（用含t的代数式表示） (2)设与重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)当点Q在线段的延长线上时，连结，若是等腰三角形，直接写出t的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，， 动点P从点A向终点B运动，速度为1个单位长度/秒， ∴， 当点Q在线段的延长线上时， 过P作于H，则H为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图，当点Q在线段上时，，与重叠部分为， 由（1）可得，，， ； ②当点Q在线段的延长线上时，，与重叠部分为四边形， 由（1）可得，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 综上所述，与重叠部分的面积为； （3）解：点Q在延长线上，如图， ∵，是等腰三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，仅存在，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 解得：． 【变式4-1】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题： (1)运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围． (3)求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：设运动的时间为t秒，则，那么． 由题意可得：，解得：或4． 所以运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）解：根据题意，得， 所以． （3）解：由题意可得：，即， ∵， ∴或， ∴对于不等式，对应的方程的根为或， ∴的解集为或， ∵， ∴或． 【变式3-2】（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 点， ， ，， ， 点的坐标为． 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点坐标为； 故答案为：；； （2）解：当点与点A重合时，； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上，． 【变式4-3】（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． (2)如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴根据三角形面积公式，可得， ∴， 当时，，即点P和点D重合， ∴， ∴． ②由题意可知：， 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 综上，． （2）解：设， 当时，，即 由对称性可得∶ 把代入得：，解得：， ∴． ∵如图：当时，，此时点P和点E重合， ∴，即． 题型1 二次函数最值分类讨论（中考压轴难点） 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）某公司以元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查发现：若每千克的平均销售价为元时，则每天可售出千克，当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克，假设日销售量为千克，日平均销售价格为元/千克． (1)求与之间的函数表达式； (2)该公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)若该公司每销售1千克这种产品需支出元（）的相关费用，当时，公司的日获利元的最大值为元，求的值． 【详解】（1）解：∵当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克， ∴当销售价提高元，即（元）；每天就少卖出千克，即（千克） 由题意，设与的函数表达式为，且函数图象经过点， ， 解得， ∴； （2）由题意得：日销售利润， 整理得：， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：这批产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大； （3）由题意得：， 整理得：， 则其对称轴为， 由二次函数的性质，分以下两种情况： ①当，即时， 在内，随的增大而增大， 则当时，有最大值，最大值为， 因此有， 解得(不符题设，舍去)， ②当，即时(因为已知)， 在内，随的增大而增大；在内，随的增大而减小， 则当时，有最大值，最大值为， 因此有， 解得或(不符题设，舍去)， 综上，的值为． 2．（2026·江苏宿迁·一模）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）． ①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头； ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为， 则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为， 将点代入，得，解得， 最外层水柱所在抛物线的表达式为； （2）解：①∵， ∴当时，，解得或， 设抛物线上横坐标为4的点为P，则， ∴一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米， ， ∴至少需要4个消防喷淋头； ②由题意可设消防最后一个喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为， 当抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， 米． 当抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， 米． 综上所述，在满足所需条件时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离的取值范围为． 3．（25-26九年级下·山东青岛·阶段检测）如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，建立如图2平面直角坐标系．设抛物线解析式为，抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板，点正好在对称轴右边的抛物线上，在木板的中点处设立米的支撑杆，且，求出木板所在直线的解析式； (3)在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度米处．若工人师傅从点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是___________米． 【详解】（1）解：长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点， 设抛物线解析式为，抛物线经过点， 故即， 又长方形的长是5米，宽是1米， 故抛物线经过，， 故即， 解得，， 故抛物线的解析式为． （2）解：点G是对称轴右侧抛物线上一点， 不妨设， 又的中点为点， 故， 由，且米， 故， 整理，得， 解得， 又的对称轴是直线， 故舍去， 故， 故， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为． （3）解：过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q， 根据题意，得， 当时，， 故， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 故工人工作时站立的横坐标范围是； 过点Q作， 设的解析式为， 根据题意，得， 整理，得, 解得， 故直线与抛物线有两个交点， 故点P在抛物线上， 故时，，， 故， 过点P作轴，垂足为点F，交直线于点H， 此时，,符合题意， 此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米． 当时，此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）大于米，不符合题意． 故他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米． 故答案为：． 4．（2026九年级下·吉林·专题练习）实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值； ②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线为， ， 解得：， ， 该抛物线的解析式为：； （2）能满足安装设计要求，理由如下： 显示屏宽为   ， ， 当时，， ， 能满足安装设计要求； （3）①， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上，也在上， ∴， ，   ， ， ， ． 设，则， ． 由，得当时，的最大值为 ∴的最大值为； ②解：存在以为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得， 是等腰直角三角形， 联立， 解得，或（舍去）， ， 为线段上一动点， ， 如图，分以下两种情况讨论： 若为对角线， 当四边形为正方形，则轴， ， 点的纵坐标为6， 令， 解得或， 点在线段上，   ； 若为边，如图所示： ∵正方形， ，即， 设， ， 解得或， 点在线段上，   ， ， 综上所述：点坐标为或． 题型2分段函数最值（高阶培优） 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）某科技公司计划将一款新型机器人投入市场，经市场调研发现，当售价为每台万元时，月销售量为台；当售价每提高万元时，月销售量就减少台．已知这款机器人生产成本为每台万元．设机器人的售价为每台万元（为正整数）： (1)求出月销售量（台）与售价（万元）之间的函数关系式； (2)当售价为多少万元时，销售这款机器人的月利润最大？最大月利润是多少？ (3)该科技公司希望月生产成本不超过万元，月利润不低于万元，求机器人的售价（万元）的范围． 【详解】（1）解：由题意得， 月销售量（台）与售价（万元）之间的函数关系式为； （2）设机器人的月销售利润为， 由题意得， ， 当时，有最大值为， 为正整数，当时，（万元），当时，（万元）， 当售价为万元或万元时，销售这款机器人的月利润最大，最大月利润是万元； （3）由题意可得， 解得， 为正整数， ， 答：机器人的售价（万元）的范围是． 6．（25-26九年级下·河南商丘·开学考试）某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． (2)若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 【详解】（1）解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系， 设，把代入得： ， 解得， ∴销量t与第x天满足的关系式为； ∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为， ∵， ∴当时，t随x的增大而增大， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为， ∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500； （2）解：设y与x的函数解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ①当时，， 当时，W有最大值，最大值为； ②当时，， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴第20天时W的最大值为4000元． ∴W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为8万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是，其中x是正整数．当时，；当时，． (1) __________； __________； (2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式． ①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当时，若有且只有5个生产周期的利润不小于a万元，直接写出实数a的取值范围． 【详解】（1）解：把时，；时，代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，， ∴， ， ， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元； 当时，， ∴， ∴， 则与的函数图象如图： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴的取值范围． 一、单选题 1．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 二、填空题 2．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 3．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 三、解答题 4．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 5．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 6．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系． 由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 7．（2026·湖南·中考真题）如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 【详解】（1）解：为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南·二轮复习）若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动的时间（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：（   ） ①小球在空中经过的路程是； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图象可知，抛物线过点，顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入，得，解得， ∴；故②错误； ∴当时，解得或；故④错误； 由图象可知：小球在空中经过的路程是，小球运动的时间为；故①③正确； 故选B． 2．（2026·河南驻马店·一模）老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 3．（25-26九年级下·全国·单元复习）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【详解】解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 4．（25-26九年级下·全国·单元复习）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 5．（25-26九年级下·全国·单元复习）软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 【答案】A 【详解】解：由题意得，软件年收入，且，（租金为正数）． 当时， ， ， 判断选项A：令，即， ， ， ， ，存在满足条件的（如），使得 所以A正确，B错误， 当时， ， ， 判断选项C：解不等式， 解得：，这与相矛盾 则不存在使得， 所以C错误，D错误． 二、填空题 6．（2026·广东河源·一模）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 【答案】 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 8．（25-26九年级下·全国·单元复习）四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点、的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的序号为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：点在上的运动时间为，点在上的运动时间为，点在上的运动时间为， 当时，点在上， 此时，， ， ，故正确； 当时，点在上， 此时，， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故正确； 当点在上时，，此时， ， 的面积为， ， 解得，（舍去）， 当时，的面积为； 当点在上时， ， ，， ，即， 此时， 解得， 当时，的面积为； 有两个不同的值满足的面积为，故正确． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）某厂生产的零件成本为20元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为30元/个时，月销售量为560个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少8个．该厂生产的零件向车企进行销售． (1)为使月销售利润达到9600元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元/个？ (2)设该厂所取得的月销售利润为W元，问当售价定为多少元/个时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：设该零件的实际售价应定为元，由题意得： 整理得， 解得：． ∵尽可能让车企得到实惠， 答：零件的实际售价应定为40元． （2）解：由题意得： ， 当时，月销售利润最大，最大利润为12800元． 10．（25-26九年级下·全国·单元复习）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：S不总随x的增大而增大，理由如下： 由（1）得：， ∵的对称轴为直线，且， ∴S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小． 11．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 12．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务： 如何计算工厂生产线数量？ 素材1：近期居民接种流感疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条生产线生产一次性注射器．开工第一天日生产量400万个． 素材2：经调查发现，1条生产线的日最大生产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大日生产量将减少20万个/天． 问题解决： 任务1：1条生产线的日生产量从开工第一天起，按日平均增长率增加，到开工第三天达到最大日生产量，求1条生产线的最大日产量． 任务2：达到1条生产线最大日生产量后，工厂计划增加一定数量生产线，同时又要节省投入（生产线越多，投入越大）．现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，求增加的生产线数量 任务3：该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【详解】解：任务1：∵（万个）， ∴1条生产线的最大产量是900万个； 任务2：设增加m条生产线，由题意，得： ， 解得：， ∵要节省投入， ∴． ∴增加4条生产线． 任务3：每天生产一次性注射器不能达到10900万个，理由如下： 设增加x条生产线，每天生产一次性注射器y万个， 根据题意得：． ∵， ∴当时，y取最大值10580，即每天生产一次性注射器最多10580万个． ∵， ∴每天生产一次性注射器不能达到10900万个． 13．（25-26九年级上·广西玉林·期中）【综合与实践】 某社区为打造“绿色休闲空间”，计划建造一个如图所示矩形景观花坛，同时配套安装太阳能照明装置，工程设计与实施过程中涉及多学科知识，具体问题如下：已知矩形花坛的一边靠墙（墙长，墙为东西走向），另三边总长为的不锈钢护栏围成，设花坛垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为，花坛的面积为． (1)请先根据矩形的周长关系，用含的代数式表示；再写出与之间的二次函数关系式，并求出的取值范围（提示：护栏总长固定，且平行于墙的边长不能超过墙长）． (2)生物学家建议，花坛内种植花卉的区域面积需最大，才能达到最佳观赏与生态效果，求此时花坛垂直于墙的边长、平行于墙的边长，以及最大种植面积S． (3)若在花坛内铺设营养液管道，管道总长h（单位：）与垂直于墙的边长x满足关系式，求当花坛面积为时，营养液管道的总长h． (4)由于花坛靠墙（东西走向），地理学家指出，平行于墙的边长y需根据日照时长调整，当时，花卉日照充足，求在此条件下，花坛面积S的最大值与最小值的差． （4）根据并结合（1）中可求出x的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ， 根据题意，得， 解得； （2）解： ， 又， ∴当时，S有最大值为，此时； （3）解：当时，， 解得，， 当时，， 当时，， ∴营养液管道的总长h为或； （4）解：当时，， 解得， 又， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，S有最小值为100， ∴花坛面积S的最大值与最小值的差． 14．（25-26九年级上·吉林四平·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． (1)___________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 如图1，点M在上，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点P与点C重合时，则， ∴， 当时，如图2， ∵， ∴； ∵当时，如图3，作于点F，分别交于点D、点E， ∵，, ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵ ∴， 综上所述，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $