专题26.4 实际问题与二次函数（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与二次函数”核心知识点，系统梳理解决问题的“审设列解验答”六步流程，覆盖面积、销售利润、抛物线形三大应用类型，构建从步骤到题型的完整学习支架。 资料以“即学即练+典例变式+中考链接”分层设计，结合羊驼草料仓库、火箭运行轨迹等真实情境，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中助力教师突破坐标系建立等难点，课后通过A/B/C组练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题26.4 实际问题与二次函数 教学目标 1.掌握利用二次函数解决实际问题的基本步骤，并能熟练应用。 2.掌握二次函数解决实际问题中的基本类型，解决各类型的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数解决实际问题的基本步骤； （2）二次函数解决面积、销售、抛物线形等问题； 2.难点 （1）利用二次函数解决桥梁、水位、隧道等实际问题时，需巧妙设置原点以建立恰当的坐标系； （2）当实际问题存在边界限制时，求出的对称轴位置可能不在自变量有效范围内，需要结合实际区间求最值。 知识点01 二次函数解决实际问题的步骤 1.列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确 常量 、 变量 以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式； ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题； ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论； ⑥答：写出答案。 【即学即练】 1.深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（ ） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x12﹣2x 【答案】A 【解答】解：平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米． 根据题意得：y＝x（18﹣4x）． 故选：A． 2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（ ） A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x） 【答案】B 【解答】解：依题意，每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为W＝（60﹣x）（300+20x）， 故选：B． 知识点02 二次函数解决常见实际问题 1.二次函数与图形面积问题 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 2.二次函数解决销售利润问题 计算公式： ①每件的利润=销售单价-成本单价； ②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。 利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤： ①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入； ②用含自变量的代数式表示销售商品的成本； ③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式； ④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。 3.二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题 ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中； ②从已知条件和图象中，获取求二次函数表达式所需要的条件； ③利用待定系数法求函数表达式； ④运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 【即学即练】 3．每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个；单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； （2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 【答案】（1）y与x的函数关系式为yx2+100x+3000；每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元； （2）这天售出了75个助听器． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝（60﹣x）（50x）x2+100x+3000（x﹣20）2+4000， ∵0， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为4000， 答：y与x的函数关系式为yx2+100x+3000；每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元； （2）根据题意得：x2+100x+3000＝3750， 解得：x1＝10，x2＝20， ∵每个助听的利润不低于40元， ∴x＝10， 此时50x＝50+25＝75， ∴这天售出了75个助听器． 4.世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火情在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离； （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离在12km到15km之间． 【答案】（1）①，b＝12.6；②这两个位置之间的距离7.2km； （2）． 【解答】解：（1）①抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b均经过点（9，3.6） ∴3.6＝81a+9，3.6＝﹣9+b， 解得，b＝12.6． ②由①知，y＝﹣x+12.6，， ∴， ∴最大值， 当时， 则， 解得x1＝12（舍去），x2＝3， 又∵x＝9时，y＝3.6＞2.4， ∴当y＝2.4km时， 则﹣x+12.6＝2.4， 解得x＝10.2， 10.2﹣3＝7.2（km）， ∴这两个位置之间的距离7.2km． （2）当火箭落地点与发射点的水平距离在12km到15km之间时， 火箭第二级的引发点为（9，81a+9）， 由条件可得：81a+9＝﹣9+b，0＝﹣15+b， 解得b＝15，； 由条件可得81a+9＝﹣9+b，0＝﹣12+b， 解得b＝12，； ∴． 题型01 图形面积问题与二次函数 【典例1】如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或函数． ①若的长是，求出，然后求出，即可判断①； ②设矩形菜园的边的长为，则，根据题意列出方程求解判断即可； ③根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故①错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故②错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． （1）考查方向：考查将围栏、折叠、动点、矩形面积等实际图形问题转化为二次函数模型，并求面积的最大值或满足条件的边长。 （2）核心方法：先用自变量表示相关线段，再列出面积函数；求最值时要结合二次函数顶点和实际取值范围，若对称轴不在范围内，则取端点值。 【变式1】长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，由此即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴底面积， ∵，且，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)求与的函数解析式并写出的取值范围． (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． (3)求当的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏的总长度为可得关系式，再根据墙的长度和栅栏的长度建立不等式组求出x的取值范围即可； （2）根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 其中， ∴； （2）解：当时，则， 整理得， 解得或（舍去）， ∴当时，矩形实验田的面积S能达到； （3）解：由题意得， ∵， ∴当时，S随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是． 【变式3】把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由见解析 【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为，根据“长方形盒子的底面积为”列方程求解； （2）设剪掉的正方形的边长为，根据“侧面积为”列方程求解 （3）列出侧面积S关于正方形的边长y的二次函数，根据二次函数的性质进行求解． 【详解】（1）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或（不符合题意，舍去） ∴剪掉的正方形的边长为； （2）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得， ， 解得或 ∴剪掉的正方形的边长为或； （3）解：侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由如下： 由（2）可得， 长方形盒子的侧面积， ∴当时，为最大值， ∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为． 【中考链接】综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 题型02 销售利润问题与二次函数 【典例1】某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】(1) ； (2)80或76 (3)当每月租出辆汽车时，该出租公司的月利润最大，是元 【分析】（1）根据若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车，列式计算每辆汽车月租费增加钱数，再根据每辆汽车月租费乘以车辆数，并减去维护费等于总收益计算该出租公司的月利润； （2）由（1）中月利润等于304000，列方程计算即可； （3）根据题意找出月利润和车辆数的函数关系式，根据二次函数的性质确定答案． 【详解】（1）解：由题意知，共100辆汽车，若每月租出辆汽车，则少租出 辆汽车， ∵若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车， ∴每辆汽车月租费增加； ∵每辆汽车月租费为（元）， ∴该出租公司的月利润为（元）； （2）解：， 化简得，， ， ，， 答：租出80辆或76辆汽车； （3）解：设每月租出辆汽车，该出租公司的月利润为y元， 由题意知，， 整理得，， ∵，∴开口向下， 当时，y有最大值，最大值为304200， 答：当每月租出78辆汽车时，该出租公司的月利润最大，最大月利润是304200元． （1）考查方向：考查商品降价、涨价、销量变化与利润之间的关系，重点求最大利润、最佳售价或销售数量。 （2）核心方法：抓住“总利润 = 单件利润 × 销售量”，用自变量表示售价、利润和销量，建立二次函数后利用配方法或顶点公式求最值，并检验是否符合题意限制。 【变式1】某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件9元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示： (1)求与之间的函数关系式； (2)设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足的关系式为：．设小强第天创造的利润为元．求小强第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)小强第天创造的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）由图象分两种情况分别求与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况分别求出w的函数解析式，根据函数的形式作答即可． 【详解】（1）解：由图象得，当时，； 当时，设， 由题意可得， 解得：，． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （2）解：当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， 可知当时，有最大值，最大值为（元）， 综上可知，第天时，利润最大，最大值为元， 小强第天创造的利润最大，最大利润是元． 【中考链接1】2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 【中考链接2】某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 题型03 抛物线形问题与二次函数 【典例1】某村响应国家高效节水灌溉的号召，引入了现代化喷灌设备．喷灌机从喷水口点向四周旋转喷洒，喷出的水流轨迹可近似看作形状相同的抛物线．如图，以地面为轴，喷灌机所在的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系．已知喷水口距离地面的高度为，水流在离喷灌机的水平距离处达到最高点，此时喷洒高度为． (1)求这条水流所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离喷灌机水平距离处，有一棵高的果树为了让水流能喷洒到果树右侧的土地，需要将喷水口沿竖直方向向上平移．已知平移后水流的速度、压力不变（抛物线的形状、大小保持不变），求喷水口至少需要向上平移多少米． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由题意可得，顶点，然后利用待定系数法即可求解； 当时，，然后计算，则可得出喷水口至少需要向上平移的距离． 【详解】（1）解：由题意可得，顶点， 设这条水流所在抛物线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴这条水流所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 则（米）， ∴喷水口至少需要向上平移米． （1）考查方向：考查桥拱、喷泉、投球、拱门等抛物线形实际问题，重点求函数解析式、高度、宽度、是否通过某点等。 （2）核心方法：根据题意建立合适的平面直角坐标系，利用顶点、交点或已知点待定系数求解析式，再代入横坐标或纵坐标解决实际高度、距离和范围问题。 【变式1】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）设，则，得出纵坐标为：，即，确定，再根据题意得出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， ， 解得： 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 设， ∴， ∴点E的横坐标为x， ∴纵坐标为：，即， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴． 【变式2】为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． (3) 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 （3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 【中考链接1】如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 【中考链接2】某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． A组·基础过关 1．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移、二次函数的应用等知识．把两条路进行平移，一条移动到上方，一条移动到左方，那么剩余部分就变成了边长为和的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意得把两条路分别进行平移， 长为的路移动到上方，长为的路移动到左方， ∴草坪就变成了边长为和的长方形， ∴， 故选：C． 2．如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键． 本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案． 【详解】解：正方形边长为4，， ，， ， 是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上， 从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意． 但是B的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意． 故选：A． 3．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解： ，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 4．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 5．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（ ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 令，解方程求即可． 【详解】解：令，则， 解得（舍去），， 运动员从起跳到落地所需要的时间为秒． 故选：D． 6．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 7．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 8．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意并结合二次函数对称性，将代入解析式中求出横坐标，即可解题． 【详解】解：点到轴的距离是，关于轴对称． 当时，有， 解得， 两点之间的距离． 9．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，（，x为整数） (2) (3)定价56元，最大利润2112元 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数关系式，求一次函数关系式，求二次函数的最大值． （1）根据原来每天的销售量加上增加的个数可得关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量可得关系式； （3）将二次函数关系式配方得出顶点式，再结合二次函数图象的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，且； （2）解：， 所以函数关系式为； （3）解：， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112， 此时定价为. 所以当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润为2112元． 10．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)； (3)的最大面积是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． （1）根据题意表示出、的长即可； （2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． B组·能力提升 11．如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（ ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】由题意可分当点P在线段上时，当点P在线段上时，然后得出y与x的函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误； 当时，，说明此时点P与点B重合， ∴，故B错误； 当点P在线段上时，分别过点C、P作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，面积最大，最大值为，故C错误； ∴， ∴当时，，故D正确． 12．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小树想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，设抛物线的解析式为，由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可求解，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可得，，， 把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴门高为， 故选：． 13．如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（ ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，二次函数的实际应用．设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接，根据题意得圆E的直径为，，可得到半径，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到，再求出抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接， 根据题意得圆E的直径为，， ∴半径， ∴，即，故A选项错误； ∴ 在中，， ∴，即， ∴点C的纵坐标为20，故B选项错误； 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即点不在该函数图象上，故C选项错误； 当时，，即点在该函数图象上，故D选项正确； 故选：D 14．某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【答案】(1) (2)乒乓球此次飞行能够顺利越过球网 (3)击球点与原点O的水平距离为 【分析】（1）根据题意设函数表达式为，将点代入即可求得结果； （2）将代入函数表达式进行判断即可； （3）先求出乒乓球在桌上的落球点坐标，再根据题意设平移后的，代入求出a的值，最后将代入即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意知，设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：当时，, ∴乒乓球此次飞行能够顺利越过球网． （3）解：对于函数， 当时，，， ∴乒乓球在桌上落球点坐标为， 由题意，弹起后的图象是由y向右平移a个单位，再向下平移0.25个单位得到， ∴， ∵过点， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 当时， 解得，（球在桌外，不合题意舍去）， ∴击球点与原点O的水平距离为． 15．如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据勾股定理求出，设边上的高为h，，用三角形面积法求出h，然后证明，对应边成比例可以求出，进而用三角形面积公式即可解决问题； （2）结合（1）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 设边上的高为h， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴,即 ∴， ∴的面积； （2）解：由（1）可知：； ∴， ∵， ∴当时，阴影部分面积有最小值，且最小值为； C组·拓展延伸 16．已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为__________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，设一条直角边为，则另一条直角边为，则，变形为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：设一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，S取最大值， 即这个直角三角形的面积的最大值为． 故答案为：． 17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 18．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 19．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 【答案】(1)当或时，的长度等于 (2)当时，的面积等于 (3)不能等于，面积的最大值为，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可； （2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可； （3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为， ∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴当或时，的长度等于； （2）解：， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，的面积等于； （3）解：不能等于，面积的最大值为，理由如下， 根据题意，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴面积的最大值不能等于， ， ∴当时，面积的最值，最大值为， ∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为． 20．如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离． 【答案】(1)，最大值为 (2)米 【分析】本题考查了二次函数应用，待定系数法求函数解析式，函数的最大值，二次函数与一元二次方程的关系，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，根据顶点式求函数的最大值； 由，列方程求出点N，E的横坐标，进而求出两棵树间的距离． （2）先求直线的解析式，设点，根据结合， 为两棵等高小树列方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线解析式为， ， 当时，的最大值为； （2）点,点在轴上， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 故直线的解析式为， 轴， 设点， , ， 解得， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点， ， ， 两棵树间的水平距离为米． 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.4 实际问题与二次函数 教学目标 1.掌握利用二次函数解决实际问题的基本步骤，并能熟练应用。 2.掌握二次函数解决实际问题中的基本类型，解决各类型的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数解决实际问题的基本步骤； （2）二次函数解决面积、销售、抛物线形等问题； 2.难点 （1）利用二次函数解决桥梁、水位、隧道等实际问题时，需巧妙设置原点以建立恰当的坐标系； （2）当实际问题存在边界限制时，求出的对称轴位置可能不在自变量有效范围内，需要结合实际区间求最值。 知识点01 二次函数解决实际问题的步骤 1.列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系； ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式； ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题； ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论； ⑥答：写出答案。 【即学即练】 1.深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（ ） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x12﹣2x 2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（ ） A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x） 知识点02 二次函数解决常见实际问题 1.二次函数与图形面积问题 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 2.二次函数解决销售利润问题 计算公式： ①每件的利润=销售单价-成本单价； ②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。 利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤： ①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入； ②用含自变量的代数式表示销售商品的成本； ③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式； ④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。 3.二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题 ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中； ②从已知条件和图象中，获取求二次函数表达式所需要的条件； ③利用待定系数法求函数表达式； ④运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 【即学即练】 3．每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个；单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； （2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 4.世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火情在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离； （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离在12km到15km之间． 题型01 图形面积问题与二次函数 【典例1】如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （1）考查方向：考查将围栏、折叠、动点、矩形面积等实际图形问题转化为二次函数模型，并求面积的最大值或满足条件的边长。 （2）核心方法：先用自变量表示相关线段，再列出面积函数；求最值时要结合二次函数顶点和实际取值范围，若对称轴不在范围内，则取端点值。 【变式1】长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)求与的函数解析式并写出的取值范围． (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． (3)求当的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【变式3】把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． (1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由． 【中考链接】综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 题型02 销售利润问题与二次函数 【典例1】某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ （1）考查方向：考查商品降价、涨价、销量变化与利润之间的关系，重点求最大利润、最佳售价或销售数量。 （2）核心方法：抓住“总利润 = 单件利润 × 销售量”，用自变量表示售价、利润和销量，建立二次函数后利用配方法或顶点公式求最值，并检验是否符合题意限制。 【变式1】某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件9元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示： (1)求与之间的函数关系式； (2)设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足的关系式为：．设小强第天创造的利润为元．求小强第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ 【中考链接1】2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【中考链接2】某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 题型03 抛物线形问题与二次函数 【典例1】某村响应国家高效节水灌溉的号召，引入了现代化喷灌设备．喷灌机从喷水口点向四周旋转喷洒，喷出的水流轨迹可近似看作形状相同的抛物线．如图，以地面为轴，喷灌机所在的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系．已知喷水口距离地面的高度为，水流在离喷灌机的水平距离处达到最高点，此时喷洒高度为． (1)求这条水流所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离喷灌机水平距离处，有一棵高的果树为了让水流能喷洒到果树右侧的土地，需要将喷水口沿竖直方向向上平移．已知平移后水流的速度、压力不变（抛物线的形状、大小保持不变），求喷水口至少需要向上平移多少米． （1）考查方向：考查桥拱、喷泉、投球、拱门等抛物线形实际问题，重点求函数解析式、高度、宽度、是否通过某点等。 （2）核心方法：根据题意建立合适的平面直角坐标系，利用顶点、交点或已知点待定系数求解析式，再代入横坐标或纵坐标解决实际高度、距离和范围问题。 【变式1】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【变式2】为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； (3)小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【中考链接1】如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【中考链接2】某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． A组·基础过关 1．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（ ） A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 4．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A． B． 5．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（ ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 6．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 7．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ） A． B． C． D． 8．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 9．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 10．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ B组·能力提升 11．如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（ ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 12．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小树想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（ ） A． B． C． D． 13．如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（ ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 14．某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 15．如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． C组·拓展延伸 16．已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为__________ 17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 18．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 19．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 20．如图斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B 处喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点．已知喷水管及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ． (1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值； (2)若， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距 离． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $