湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 结合2025成都大运会热点与《九章算术》“鳖臑”文化，通过分层设计考查高一数学核心知识，注重空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、充分条件、函数平移、正三棱台侧面积|第8题测量距离考查解三角形应用，第7题正方体异面直线概率体现空间观念| |填空题|3/15|概率、三角恒等变换、折叠问题|第14题折叠问题综合空间向量与二面角，考查几何直观| |解答题|5/77|复数、平面向量、统计、四面体、鳖臑|17题大运会竞赛统计考查数据意识，19题“鳖臑”证明传承文化，18题四面体三问分层考查推理能力|

湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象可由函数的图象（    ）个单位得到 A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 4．已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的侧面积是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．设一个圆锥的侧面积与体积分别为，将它的高扩大到原来的2倍，底面圆的半径缩小到原来的倍，得到的圆锥的侧面积与体积分别为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．从正方体的十二条棱中任选两条，则这两条棱所在直线互为异面直线的概率是（    ） A． B． C． D． 8．如图，为了测量两座山顶，之间的距离，飞机沿水平方向在相距2千米的，两点进行测量，在点测得，，在点测得，已知，，，在同一个铅垂面内，则两山顶，之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与的夹角为30° D． 10．设正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知正三棱柱的高为 ，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（   ） A． B．平面平面 C．截面的面积为 D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，，假定三人的选择相互之间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为_______． 13．已知，则______． 14．如图，在平面四边形中，，，，，，分别为，的中点．将沿折起，使二面角的大小为，则的余弦值为______；直线与平面所成角的正弦值为______．    4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知，. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 16．如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设. (1)当在边上运动，若时会使，求的值. (2)若在线段上运动时，求证：. (3)求的最大值. 17．2025年世界大学生夏季运动会将于7月16日至7月27日在中国成都举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于70分的人数； (2)试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； (3)若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取3人分享活动经验，求抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率． 18．如图，在四面体中，，，E为的中点，F为上一点． (1)求证：平面平面； (2)若M，N分别是，的中点，求证：平面； (3)若，，． ①求二面角的余弦值； ②求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面．    (1)求证：四面体为鳖臑； (2)若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B D B B A AD BCD 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 2．B 【分析】根据一元二次方程解法可得等价于且，可得结论. 【详解】易知， 当时，满足，但此时，即充分性不成立； 若，可得且，即必要性成立； 因此可得“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 3．D 【分析】先将函数变形为，再根据函数图象平移变换可得. 【详解】因为， 根据图象平移规则，函数图象由的图象向左平移个单位得到. 因此函数的图象由函数的图象向左平移个单位得到. 4．B 【详解】由题意得正三棱台侧面是3个全等的等腰梯形， 该梯形上底，下底，腰为， 设梯形的高为，则， 故侧面积为． 5．D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 6．B 【分析】先设出圆锥的底面半径和高，然后计算出圆锥的侧面积和体积，再计算变化后的圆锥侧面积和体积，然后比较大小即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则. 原圆锥的侧面积，体积. 变化后的新圆锥底面半径为，高为，母线长. 新圆锥的侧面积，体积. ，. ，. 7．B 【详解】从正方体的十二条棱中任选两条，共有种， 与互为异面直线的棱有，共条， 故所有互为异面直线的棱的对数共有， 故这两条棱所在直线互为异面直线的概率是.    8．A 【分析】在中，由正弦定理求得，在中由等角对等边求得，在中，由余弦定理求得，从而求得. 【详解】在中，， 所以， ， . 由正弦定理，得. 中，， 所以， 所以. 中，， 所以由余弦定理 . 所以. 故两山顶，之间的距离是千米. 9．AD 【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解. 【详解】以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系下，，,，， 所以,， ，， 由于，所以，A正确； 根据投影向量的定义，结合图象，在方向上的投影向量为，B错误； ， 所以与的夹角不是为30°，C错误； ，则，D正确． 故选：AD 10．BCD 【分析】A：先分析的范围，然后将平方再开方并结合基本不等式可求解出最大值；B：先分析出的取值范围，结合对数函数的单调性可知的最小值；C：将式中化为，然后化简并结合基本不等式求解出最小值，D：将原式乘以，然后化简并结合基本不等式求解出最小值. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 由对数函数单调性可知， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：因为 ， 当且仅当，即时等号，故D正确； 故选：BCD. 11．ABD 【分析】求出内切球半径，进而求出判断A；求出平面与平面所成二面角大小判断B；确定截面并求出面积判断C；利用棱台、棱柱的体积公式计算判断D. 【详解】对于A，由球是高为的正三棱柱内切球，得球的半径， 过球心与垂直的平面截球所得大圆是该平面截正三棱柱所得正三角形的内切圆， 因此等于该截面正三角形边长，大小为，A正确； 对于B，由，且平面 平面，得平面， 令平面平面，又平面，则， 取中点，连接，则，即， 因此为平面与平面所成角的平面角，取中点，连接， 则，，因此平面平面，B正确； 对于C，延长交于点，过点作的平行线交于， 由，得，则，， 由为中点，得为中点，， 因此截面的面积，C错误； 对于D，显然正与正相似，且延长线交于一点， 于是几何体为三棱台，， 三棱台的体积，而三棱柱 的体积，截面所截的另一部分的体积， 所以所截两部分较小部分与较大部分的体积之比为，D正确. 12． 【分析】根据对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】设这个假期中至少有1人去北京旅游为事件， 因为， 所以， 故答案为： 13． 【分析】利用三角恒等变换可化简求解. 【详解】解法一： 所以. 解法二：由积化和差公式得， 所以. 解法三：由和差化积公式得. 14． 【分析】利用求解；利用等体积法求出到平面的距离，再由求解. 【详解】    因为，所以所以 过点D作，则,又， 所以二面角的平面角为,所以，所以, 因为，所以 ， 所以； 在中，由余弦定理得, 则，而,所以,则 所以,, 所以， 到平面的距离是 , 设到平面的距离是，, 因为，所以，则， 直线与平面所成角为，则 所以直线与平面所成角的正弦值是. 15．(1) (2) 【详解】（1）已知，. 若为纯虚数，则实部等于，虚部不等于. 列出方程组解得或. 由舍去，故. （2）先化简： . 复数对应点在第二象限，则实部小于，虚部大于，得不等式组 ，等价于. 解不等式，得. 解不等式，得或. 所以，即实数的取值范围为. 16．(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）以为基底，分别表示，根据可求的值. （2）根据，可求证. （3）分情况求的值，比较可得的最大值. 【详解】（1）由题意，，，. 当在边上运动，由， 所以，. 由， 所以 即. （2）由， 即， 因为点在线段上运动，所以，且， 所以，即. （3）由（2）得，当点在线段上运动时，； 当点在线段上运动时，，其中，，所以； 当点在线段上运动时，因为三点共线， 可设，. 所以，，所以； 当点与点重合时，，此时. 所以的最大值为. 17．(1)80 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中数据计算所求人数； （2）先判断第85百分位数在内，根据百分位数的概念求解即可； （3）由频率分布直方图根据比例求出三个区间上抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图中数据可知：（人） （2）成绩小于80的频率为， 成绩在的频率为，因为， 所以这100名学生成绩的第85百分位数在内． 所以随机抽取的200名学生成绩的第85百分位数为． （3）因为成绩在，，的学生人数所占比例为3：2：1， 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人． 记抽取成绩在的3人为a，b，c，成绩在的2人为d，e，成绩在的1人为f． 从这6人中随机抽取3人的所有可能为： 共20种情况,且每种情况的发生是等可能的． 抽取的3人中至少有1人的成绩在的情况有： ．共16种等可能的情况． 所以抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率为：． 18．(1)证明：在四面体中，，，E为的中点，则，， 而，平面，得平面， 又平面，所以平面平面． (2)证明：因为E为中点，M为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面，，所以平面平面， 又平面，所以平面． (3)① ；② 【分析】（1）由条件先证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明； （2）先证明平面和平面，再由线面平行推出平面平面，由平面即可证得； （3）①先证明为二面角的平面角，依题求出相关边长，利用余弦定理即可求得二面角余弦值；②先求出，利用平面可求得，根据等体积求出点到平面的距离，设直线与平面所成角为，依题可得，结合图形判断当时，最短，利用等面积求出，即得正弦的最大值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）①依题意，，，E为的中点，则，， 故即为二面角的平面角， 由于，又，则，， 又，则，， 在中，，由余弦定理，， 故二面角的余弦值为． ②由于，故， ， 因平面，则， 因为，即，则， 设点到平面的距离为，则，解得， 即点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，所以， 因为，所以， 故当时，最短，此时由可得 ，故正弦值最大为． 19．(1)证明：如图，在平面内过点作于点，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以四面体为鳖臑； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）在平面内过点作于点，根据面面垂直得到平面，再利用线面垂直证明即可； （2）（ⅰ）取的中点，证明平面即可求解；（ⅱ）过点作，利用线面平行证明面面平行，再利用面面平行的性质定理得，设，利用相似三角形分别用表示，再利用勾股定理转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）如图，取的中点，连接，    因为底面，底面，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角， 因为，，M是的中点， 所以，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接，    由（1）知，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 设，则，， 易知，所以，即，得， 所以， 则当时有最小值 所以线段长度的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $