5.2 解一元一次方程（课时1） 教学设计 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦解一元一次方程的合并同类项与移项方法，通过回顾等式性质解方程旧知，提问含未知数项能否化简，激活整式加减储备，搭建从旧知到新知的学习支架，自然衔接新课。 以生活实例（如三年购计算机、分图书）引导学生经历“审题-设元-列方程-求解”流程，培养抽象能力和模型意识。通过推导移项原理（等式性质1），让学生理解变号依据，发展推理意识。规范解题步骤和实际问题应用，提升学生运算能力与应用意识，帮助教师清晰突破重难点，提升教学效率。

5.2 解一元一次方程（课时1） 一、教学目标 1.经历解一元一次方程步骤的探究过程，理解移项、合并同类项变形的依据（等式性质与合并同类项法则），掌握移项、合并同类项、系数化为 1 的解方程操作流程． 2.能规范运用移项、合并同类项等步骤求解一元一次方程，能识别＂各分量之和等于总量＂＂同一总量的两种不同表达式相等＂两类等量关系，据此列出一元一次方程解决简单实际问题． 3.体会化归的代数思想，将复杂一元一次方程逐步转化为 x=a 的最简形式，提升代数运算与从实际问题中提取等量关系的推理分析能力． 二、教学重点及难点 重点：掌握移项、合并同类项、系数化为 1 的解方程方法，能根据两类核心等量关系列一元一次方程并规范求解． 难点：理解移项要变号的原理，准确从实际情境中挖掘等量关系列方程，灵活运用变形步骤处理稍复杂的一元一次方程． 三、教学过程 【新知导入】 教师提问：同学们想一想，上节课我们是怎么用等式的性质来解方程的？ 学生：解以 x 为未知数的方程，就是把方程逐步化为x=a（常数）的形式，等式的性质是转化的重要依据． 教师导语：我们已经知道，直接利用等式的性质可以解简单的方程．本节我们将结合方程的具体特点，继续研究如何解一元一次方程． 本节课我们结合方程特征，学习新的化简手段，继续研究一元一次方程的解法． 教师提问：如果一个方程里同时出现 x、2x、4x 这样多个含x的项，能不能进行化简？ 学生思考发言：可以把含相同未知数的项合并在一起，简化式子． 设计意图：依托旧知等式性质解方程设置认知铺垫，引出本节课合并同类项化简方程的必要性，自然衔接新课内容，激活学生已有整式加减知识储备． 【探究新知】 探究：利用合并同类项解方程. 教师出示问题 1：某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍．前年这所学校购买了多少台计算机？ 教师提问 1：题目中有哪些未知量？它们之间有怎样的倍数关系？ 【学生活动】独立审题后举手回答，设前年购买计算机x台，可推出去年2x台、今年4x台． 教师提问 2：题目给出的总量条件是什么？能提炼出怎样的等量关系？ 学生小组讨论后汇报：等量关系为前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量 = 140， 教师板书提示：“各分量的和 = 总量” 是基础等量关系． 教师追问：根据这个等量关系可以列出怎样的方程？ 学生：列出方程 x+2x+4x=140． 答案预设： 解：设前年购买计算机 台，则去年购买计算机 台，今年购买计算机 台．根据＂三年共购买计算机 140 台＂，可以得到如下相等关系： 前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量 ． 列得方程 ． 把含有 的项合并同类项，得 ． 系数化为 1，得 ． 因此，前年这所学校购买了 20 台计算机． 教师布置任务：请你自己检验 是方程 x+2x+4x=140 的解． 【学生活动】学生代入原方程验算，确认结果成立，写出检验具体过程． 检验：将 ，代入 的左边，则 左边 ，右边 ， 左边 右边，所以 是原方程的解． 教师总结：解方程中＂合并同类项＂的作用 解方程中合并同类项起了化简作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为 ax=b，使其更接近 x=m 的形式（其中 a，b 是常数）． 依据：等式的性质 2． 设计意图：以生活实例建立方程模型，让学生完整经历 “审题—设元—找等量—列方程—解方程—检验作答”应用题解题流程；直观感受合并同类项化简方程的优势，理解“分量和=总量”典型等量关系，落实建模思想． 教师拓展用合并同类项解一元一次方程的步骤： 第一步：合并同类项，将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，方程转化为ax=b(a≠0)的形式． 第二步：系数化为 1，即在方程两边同时除以未知数的系数（或乘未知数系数的倒数），将未知数的系数化为1，得到 ． 注：计算时必须带上每项的正负号． 【典型例题】 例 1 解下列方程： （2）． 解：（1）合并同类项，得 系数化为 1，得 （2）合并同类项，得 系数化为 1，得 设计意图：设置分数系数、小数系数两类易错题型，巩固合并同类项运算能力；明确合并同类项化简方程的核心功能，规范解方程书写格式，厘清两步解题逻辑，突破系数合并计算易错点． 例 2 有一列数 1，−3，9，−27，81，−243，⋯，其中第 n 个数是 (−3)n−1（n>1），如果这列数中某三个相邻数的和是 −1701，那么这三个数各是多少？ 教师点拨：从符号和绝对值两方面观察， 数字规律：后一个数 = −3 × 前一个数． 某个前面数 + 某个中间数 + 某个后面数 = −1701． 解：设所求三个数中的第 1 个数是 ，则后两个数分别是 ． 由三个数的和是 ，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 所以 答：这三个数分别是 ． 设计意图：在基础解方程之上拓展规律型应用，锻炼观察归纳、设元列式能力；进一步巩固合并同类项解方程方法，拓宽方程应用场景，提升学生综合分析问题能力． 【探究新知】 探究：利用移项解方程. 教师出示问题2：把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本．这个班有多少名学生？ 教师点拨：这批书的总数有几种表示方法？它们之间有什么关系？ 【学生活动】小组讨论后，板书两种表达式：、，点明核心等量：表示同一个量的两个式子相等． 答案预设： 设这个班有 名学生． 每人分 3 本，共分出 本，加上剩余的 20 本，这批书共 本． 每人分 4 本，需要 本，减去缺的 25 本，这批书共 本． 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程 教师：＂表示同一个量的两个不同的式子相等＂，是一个基本的相等关系． 教师出示思考问题：方程 的两边都有含 的项（ 与 ）和不含字母的常数项（20与 ），怎样才能把它转化为 （常数）的形式呢？ 引导回顾：等式性质 1 的内容是什么？想要消去右侧4x、左侧常数 20，该在等式两边同时做什么运算？ 带领学生分步推导：依据等式性质 1，方程两边同时减4x消去右侧含x项，两边同时减20消去左侧常数项，板书得到变形后的方程 3x−4x =−25−20． 标注两处变形的效果：方程右边没有含x的项、方程左边没有常数项． 【学生活动】回忆等式性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，构思消去两侧不同类型项的操作方法． 跟随老师完成等式两边同步减法运算，理解每一步操作的目的：把未知数项集中到左边、常数项集中到右边． 在草稿纸上复刻变形过程，明确两次减法分别达成的化简效果． 设计意图：从已有等式性质旧知出发推导变形，不让学生生硬记忆移项规则；清晰展示“分两次消项”的操作逻辑，为后续提炼移项规律做好铺垫，实现新旧知识自然衔接． 教师抛出对比探究问题：把变形后的 3x−4x =−25−20 和原方程 对照观察，项发生了怎样的位置与符号变化？ 设问引导：某项从等式一边移到另一边时，符号有什么变化？ 用红、蓝框标注移动的项：左边 +20 移到右边变为 −20，右边4x移到左边变为 −4x，邀请多名学生复述符号变化规律． 【学生活动】小组讨论观察两个方程的项的位置、符号差异，举手汇报发现：从一边挪到另一边的项，正负号会翻转． 规范总结：跨等式左右移动的项，符号必须改变，同侧挪动的项不需要变号，纠正学生“一动就变号”的片面误区． 教师讲解移项的概念： 像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． 移项的依据：移项的依据是等式的性质 1 ，移项的作用是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 x=m 的形式． 设计意图：完成从操作现象到数学概念的升华，明确移项的理论根基和化简目的，让学生做到知其形、更知其理，形成严谨的代数变形思维． 【课堂互动】 教师：下面，我们继续解这个方程 3x−4x =−25−20． 带领分步推进：第一步合并同类项得到 −x=−45； 第二步依据等式性质 2 系数化为 1，得到 x=45，回归应用题给出班级人数结论． 再次抛出思考：这一整个解方程过程里，移项起到了什么作用？ 【学生活动】独立完成后续合并同类项、系数化为 1 的运算，核对最终结果． 口述移项在整体流程里的前置化简作用，完整复述移项解方程的三步规范步骤． 教师板书总结：移项使方程更接近于 x=m 的形式． 梳理完整解题链条：移项→合并同类项→系数化为 1，强调三步的先后顺序与各自功能． 设计意图：闭环完成整道例题求解，让学生看清移项在完整解法里的前置价值；固化标准化解题步骤，把移项知识落地到实操运算中，同时呼应课前转化为 x=m 的总目标． 【典型例题】 例 3 解下列方程： 解：（1）移项，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 （2）移项，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 例 4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t．新、旧工艺的废水排量之比为 2:5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 教师点拨：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为 2x t 和 5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程． 解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为 和 ． 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为 1，得 所以 答：采用新、旧工艺的废水排量分别为 200 t 和 500 t． 教师提问：等式两边代表哪个数量？ 学生回答：等式两边代表的是环保限制的最大废水排放量． 设计意图：例 3 通过整数、分数系数两类方程，巩固移项→合并同类项→系数化为 1的标准化解题流程，强化移项变号的操作规范；例 4 结合比例关系设元、依托同一环保限量建立等量方程，拓展移项法在比例型实际问题中的应用． 教师拓展 溯源：约 820 年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，＂还原＂指的是＂移项＂，＂对消＂隐含着移项后合并同类项．我国古代数学著作《九章算术》的＂方程＂章，更早使用了＂对消＂和＂还原＂的方法． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知． 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.合并同类项解方程：利用整式同类项合并法则，把方程一侧多个含未知数的项整合为单项，将复杂方程简化成 ax=b (a≠0) 形式，实现方程化简，方便后续求解． 2.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． 3.移项的依据：移项的依据是等式的性质 1，移项的作用是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 x=m 的形式． 学科网（北京）股份有限公司 $