精品解析：河南省洛阳市新安县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025～2026学年第二学期期末质量检测试卷八年级数学 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内。 1. 细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为，黑棋（乙）的坐标为，则白棋（甲）的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 4. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 5. 在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图4所示，关于两人的作法判断正确的是（ ） 甲：作的垂直平分线交于点O；连接，在射线上截取（A，C不重合），连接，，四边形即为所求． 乙：以B为圆心，长为半径画圆弧；以D为圆心，长为半径画圆弧；两弧在上方交于点C，连接，，四边形即为所求． A. 只有甲的可以 B. 只有乙的可以 C. 甲、乙的都可以 D. 甲、乙的都不可以 6. 如图，已知直线与的交点的横坐标为，根据图像，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 是方程的解 D. 是不等式的解集 7. 如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 8. 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，以下信息一定正确的有（ ） ①甲队挖掘时，用了； ②开挖时，甲队比乙队多挖掘； ③乙队从开挖后到之间，每小时挖掘5米； ④开挖后，甲、乙两队所挖河渠长度相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若，则长方形的周长为（　　） A. 20 B. 18 C. 16 D. 24 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是______分． 12. 如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 14. 如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是__________．（填序号）  15. 如图，正方形的边和都在坐标轴上，将正方形绕点旋转到，这时点的坐标为，则点的坐标为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 先化简，再从不等式．中选择一个适当的整数，代入求值． 17. 为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为奶粉的分装情况，质检员进行了抽样调查，过程如下． 【收集数据】 从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取袋，测得实际质量（单位：）如下： 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【整理数据】 甲 ______________ ______________ 乙 ______________ 【分析数据】 平均数 中位数 众数 方差 下四分位数 上四分位数 最小值 最大值 甲 ________ 乙 （1）将表格补充完整． （2）根据表格数据，将下列箱线图补充完整． 【得出结论】 （3）你认为分装情况比较好的是哪一台包装机？请说明你的理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱AOBC的顶点A、C的坐标分别为A（﹣2，0）、C（0，3），反比例函数的图象经过点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）这个反比例函数的图象与一个一次函数的图象交于点B、D（m，1），根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 19. 如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接， (O是坐标原点) （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求的面积． （3）在轴上是否存在一点 P，使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 21. 如图，在矩形中，，，是边上的任意一点，连接、，、、分别是、、的中点． （1）与的数量关系为__________，位置关系为__________； （2）试猜想：当点位于什么位置时，四边形是菱形？并证明猜想的正确性； （3）若（2）中菱形为正方形，直接写出与之间的数量关系． 22. 暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国！某经销商计划购进、两种水果．已知购进种水果的进价比种水果的进价每件多元，且用元购进种水果的件数是用元购进种水果的件数的倍． （1）求、两种水果每件的进价分别是多少元？ （2）该经销商计划用元购进、两种水果，设种水果购进件，种水果购进件．（、为整数） 用含的式子表示； 如果该经销商将购进的水果按照种每件元，种每件元的价格全部售出，若购买种水果的费用不低于种水果的费用，且种水果的件数不超过种水果件数的，请求出该经销商销售完所购两种水果时的最大利润． 23. 在四边形中，点是边的中点，点是边上一点（不与点重合），将沿折叠，得到，延长交射线于点． （1）如图①，当四边形为正方形时，线段、、之间的数量关系是_______； （2）如图②，当四边形是矩形时，请补全图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）当四边形（为锐角）为菱形，且，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期末质量检测试卷八年级数学 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内。 1. 细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染，支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个数，一般形式为是只有一位整数的数，当原数的绝对值时，为正整数，等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值时，为负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．掌握这个方法是解答本题的关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为，黑棋（乙）的坐标为，则白棋（甲）的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查坐标位置的表示，根据已知点找出坐标原点建立直角坐标系是关键，难度一般． 根据已知点黑棋(甲)的坐标为，黑棋(乙)的坐标为，确定坐标原点即坐标系，再找出未知点坐标即可． 【详解】解：已知黑棋（甲）的坐标为，黑棋（乙）的坐标为， 建立坐标系如图： 则白棋（甲）的坐标是， 故选：C． 3. 若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点N的坐标代入求出函数的解析式，根据函数的性质判断即可. 【详解】将点N（-1,2）的坐标代入，得到k=-2， ∴， ∵k=-2<0， ∴函数图象的两个分支在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大， ∵，，， ∴点M、N在第二象限，点P在第四象限， ∴, 故选：A. 【点睛】此题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，熟记反比例函数的增减性是解题的关键. 4. 小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可． 本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化． 【详解】解：原数据去掉最高分10和最低分（其中一个）后，剩余数据为． 原平均数总和为 ，平均数为． 去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意． 方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B选项不符合题意． 原众数为（出现2次）．去掉一个后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意． 原数据中位数为第4个数即．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为），故中位数不变． 故选： D． 5. 在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图4所示，关于两人的作法判断正确的是（ ） 甲：作的垂直平分线交于点O；连接，在射线上截取（A，C不重合），连接，，四边形即为所求． 乙：以B为圆心，长为半径画圆弧；以D为圆心，长为半径画圆弧；两弧在上方交于点C，连接，，四边形即为所求． A. 只有甲的可以 B. 只有乙的可以 C. 甲、乙的都可以 D. 甲、乙的都不可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． 【详解】解：由甲的做法可知：， 根据对角线互相垂直平分的四边形是矩形，可知四边形是矩形； 由乙的做法可知：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是矩形； 故选：C. 6. 如图，已知直线与的交点的横坐标为，根据图像，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 是方程的解 D. 是不等式的解集 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】A：∵的图像经过一、三象限， ∴， 故A符合题意； B：∵的图像与y轴交于正半轴， ∴， 故B符合题意； C：由题意得，直线与的交点的横坐标为， ∴是方程的解， 故C符合题意； D：由图可知，当是不等式， 故D不符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练地掌握一次函数图像交点的意义是解题的关键． 7. 如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 8. 已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 9. 甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，以下信息一定正确的有（ ） ①甲队挖掘时，用了； ②开挖时，甲队比乙队多挖掘； ③乙队从开挖后到之间，每小时挖掘5米； ④开挖后，甲、乙两队所挖河渠长度相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可得甲队的速度为，乙队从开挖后到之间，每小时挖掘5米，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，开挖，甲队一共挖了， ∴甲队的速度为， ∴甲队挖掘时，用了，故①正确； 由函数图象可知，开挖时，甲队挖了，乙队挖了，则甲队比乙队多挖掘，故②正确； 由函数图象可知乙队从开挖后到之间，在内挖了，则每小时挖掘5米，故③正确； 开挖后，甲队挖了，乙队挖了，则开挖后，甲、乙两队所挖河渠长度相等，故④正确； 故选；D． 10. 如图，在长方形中，动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若，则长方形的周长为（　　） A. 20 B. 18 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象、结合图形可知，，所以，根据，，得，求出的值即可得出答案． 【详解】解：根据图2的点，可知， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴长方形的周长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是______分． 【答案】88.5 【解析】 【分析】利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩． 【详解】解：小明的总评成绩是：（分）， 故答案为：88.5． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错． 12. 如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【解析】 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标是，可得：，根据，可得：，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标是， 则，， ， ， ， , ， ． 14. 如图，在菱形中，过对角线上任意一点，作，，下列结论：①图中共有个菱形；② ；③四边形的面积等于的面积的一半；④四边形的周长等于四边形的周长．其中正确的是__________．（填序号）  【答案】②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．根据，，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线平分，可得，由此可推出，再结合菱形的判定可知平行四边形即为菱形，进而判断①说法错误； 根据菱形的性质，可得、上一些对应条件，则可得出两三角形是否全等，判断②说法正确； 根据只有当为中点，为中点时，比较四边形的面积与的面积的关系，进而得到③说法错误； 根据菱形性质可得，，据此判断④说法正确，从而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形， 即有3个菱形，菱形、菱形、菱形， ①说法错误； 四边形是菱形， ， 在和中，， ， ②说法正确； 只有当为中点，为中点时，四边形的面积等于的面积的一半， ③说法错误； 易证四边形、四边形是菱形，四边形、四边形是平行四边形， ， ， 同理， 四边形的周长=四边形的周长， ④说法正确； 故答案为：②④． 15. 如图，正方形的边和都在坐标轴上，将正方形绕点旋转到，这时点的坐标为，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，延长，过点作于点D，证明，得出，，得出点的横坐标为，纵坐标为，从而得出答案． 【详解】解：过点作轴，延长，过点作于点D，如图所示： 则， ∵点的坐标为， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴根据旋转可得：四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 先化简，再从不等式．中选择一个适当的整数，代入求值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【详解】 ， ，且 ， 故只可取0， 当符合题意．当时，原式． 17. 为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为奶粉的分装情况，质检员进行了抽样调查，过程如下． 【收集数据】 从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取袋，测得实际质量（单位：）如下： 甲：，，，，，，，，，． 乙：，，，，，，，，，． 【整理数据】 甲 ______________ ______________ 乙 ______________ 【分析数据】 平均数 中位数 众数 方差 下四分位数 上四分位数 最小值 最大值 甲 ________ 乙 （1）将表格补充完整． （2）根据表格数据，将下列箱线图补充完整． 【得出结论】 （3）你认为分装情况比较好的是哪一台包装机？请说明你的理由． 【答案】（1）【整理数据】 甲 乙 3 【分析数据】 平均数 中位数 众数 方差 下四分位数 上四分位数 最小值 最大值 甲 乙 （2） （3）分装情况比较好的是乙包装机，理由：虽然甲、乙两台包装机分装的奶粉质量平均数相同（均为），但从方差来看，乙包装机的方差（）明显小于甲包装机的方差（） 方差越小，说明数据波动越小，分装质量越稳定， 因此，乙包装机的分装情况更好 【解析】 【分析】（1）补充频数分布表：先分别统计甲、乙两组数据落在对应质量区间内的个数，因为每个区间的频数是该区间内数据的数量，所以逐个核对数据所属区间计数即可． 补充分析数据表格：先将甲、乙两组数据分别从小到大排序，因为中位数是排序后中间位置的数，10个数据的中位数为第5、6个数的平均数，所以取对应位置的数计算．众数是数据中出现次数最多的数，所以统计每组数据中出现频率最高的数值即可．下四分位数为排序后第位置的数，上四分位数为排序后第位置的数，方法一：根据分位数的计算规则确定对应位置的数值，方法二：排序后分成两组，分别取中位数求上、下四分位数． （2）补充箱线图：箱线图的五个关键点分别是最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，所以根据甲的这五个统计量在坐标轴对应位置依次绘制即可． （3）判断分装情况：因为方差越小说明数据波动越小，分装越稳定，所以比较甲、乙的方差，结合与标准质量的偏差情况分析即可． 【小问1详解】 [整理数据]解：甲在的数据为，，，共3个 甲在的数据为，共1个 乙在的数据为，，，共3个 乙在的数据为，共1个 [分析数据]将甲的数据从小到大排列：，，，，，，，，， 中位数为： （解法一）下四分位数：，取第个数据，为 上四分位数：，取第个数据，为 （解法二）下四分位数为：，，，，的中位数即 上四分位数为：，，，，的中位数即 乙包装机数据分析：将乙的数据从小到大排列：，，，，，，，，， 众数：出现次数最多的数据是，共出现次，所以众数是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱AOBC的顶点A、C的坐标分别为A（﹣2，0）、C（0，3），反比例函数的图象经过点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）这个反比例函数的图象与一个一次函数的图象交于点B、D（m，1），根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【答案】（1）y=；（2）当0＜x＜2或x＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质求得点B的坐标为（2，3），代入反比例函数的解析式即可求得k值，从而求得反比例函数的表达式；（2）先求得m的值，根据图象即可求解. 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=BC，OA∥BC， 而A（﹣2，0）、C（0，3）， ∴B（2，3）； 设所求反比例函数的表达式为y=（k≠0）， 把B（2，3）代入得k=2×3=6， ∴反比例函数解析式为y=； （2）把D（m，1）代入y=得m=6，则D（6，1）， ∴当0＜x＜2或x＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【点睛】本题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系及平行四边形的性质，关键是熟练掌握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式．解决第（2）问时，利用了数形结合的数学思想. 19. 如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③， 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③为条件，证明得出，即可得证． 【详解】略 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接， (O是坐标原点) （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求的面积． （3）在轴上是否存在一点 P，使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，，，， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）把代入，得，把代入，求出即可； （2）用待定系数法求出一次函数的解析式，把代入求出，得出，根据的面积代入求出即可； （3）分，，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 反比例函数的解析式为， 把代入，得； 【小问2详解】 解：把代入得， ，解得， 一次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 设点坐标为， ∵， ∴，，， 当时，， ∴，解得或， ∴，， 当时，， ∴，解得（舍去）或， ∴， 当时，， ，解得， ∴． 综上所述，存在点P，使得是等腰三角形，，，，． 21. 如图，在矩形中，，，是边上的任意一点，连接、，、、分别是、、的中点． （1）与的数量关系为__________，位置关系为__________； （2）试猜想：当点位于什么位置时，四边形是菱形？并证明猜想的正确性； （3）若（2）中菱形为正方形，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）， （2） 当点位于的中点时，四边形是菱形， 证明：由（1）知 ，， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 、分别是、的中点， ， ， 四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】(1)证明是的中位线，得，，由是的中点，得，进而判断与的数量关系与位置关系； (2)当点位于的中点时，四边形是菱形，先根据证明，得，进而证明，从而可证明四边形是菱形； (3)先证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据等腰三角形三线合一得，进而得，则可得与之间的数量关系． 【小问1详解】 ，， 理由如下： 、分别是、的中点， 是的中位线， ，， 是的中点， ， ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 理由如下： 如图所示，连接， 菱形为正方形， ，即， 由（2）知 ， 是等腰直角三角形， 是的中点， ，， 四边形是矩形，在上， ， ， ． 22. 暖暖花城攀枝花，不仅阳光充沛，特色水果更是闻名全国！某经销商计划购进、两种水果．已知购进种水果的进价比种水果的进价每件多元，且用元购进种水果的件数是用元购进种水果的件数的倍． （1）求、两种水果每件的进价分别是多少元？ （2）该经销商计划用元购进、两种水果，设种水果购进件，种水果购进件．（、为整数） 用含的式子表示； 如果该经销商将购进的水果按照种每件元，种每件元的价格全部售出，若购买种水果的费用不低于种水果的费用，且种水果的件数不超过种水果件数的，请求出该经销商销售完所购两种水果时的最大利润． 【答案】（1）种水果每件的进价是元，种水果每件的进价是元； （2）；该经销商销售完所购两种水果时的最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）设种水果每件的进价是元，则种水果每件的进价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得种水果每件的进价是元，种水果每件的进价是元，则有，整理可得， 设总利润为元，则，由题意得，解得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设种水果每件的进价是元，则种水果每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， ∴种水果每件的进价是（元）， 答：种水果每件的进价是元，种水果每件的进价是元； 【小问2详解】 解：由（）得种水果每件的进价是元，种水果每件的进价是元， ∴， ∴； 设总利润为元，则， 由题意得，， 解得：， 由可知，， ∴随的增大而减小， ∵、为整数，， ∴必须为的倍数， ∴当时，有最大利润，为（元）， 答：该经销商销售完所购两种水果时的最大利润为元． 23. 在四边形中，点是边的中点，点是边上一点（不与点重合），将沿折叠，得到，延长交射线于点． （1）如图①，当四边形为正方形时，线段、、之间的数量关系是_______； （2）如图②，当四边形是矩形时，请补全图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）当四边形（为锐角）为菱形，且，时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）补全图形如下， 如图1，点G在线段上，由（1）中的结论仍然成立，理由如下， 连接， ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图2，点G在射线上，同理，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）2或4 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形、折叠的性质得到，证明得到，由线段和差计算即可求解； （2）根据题意，分类讨论：点G在线段上，点G在射线上，证明即可求解； （3）当点G在线段上时，可证四边形是平行四边形，得到；当点G在射线上时，如图所示，连接，可证；由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 如图所示，连接， ∵四边形是正方形，点O是中点， ∴，， ∵将沿折叠，得到，延长交射线于点， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：当点G在线段上时，如图所示， ∵四边形是， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 当点G在射线上时，如图所示，连接， ∵四边形是，为锐角的菱形，点O是中点， ∴，，， ∵折叠， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，则， ∴，即， ∴，且， ∴； 综上所述，的长为2或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $