2、平抛运动 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 以分解法为核心，构建平抛运动"概念-规律-应用"三级体系，融合科学推理与模型建构，实现从基础到临界问题的递进突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识巩固|2知识点+6判断|定义-性质-条件-规律四步认知法|从平抛到斜抛，体现运动的合成与分解思想| |运动规律及应用|3例题+4检测|飞行时间三要素公式、速度反向延长线推论|水平匀速与竖直自由落体的独立方程推导| |斜面关联问题|2例题+2检测|速度分解（已知方向）、位移分解（已知落点）|斜面倾角与速度/位移夹角的几何关系构建| |临界问题|2例题+3检测|临界点极值分析、轨迹范围确定法|水平位移与竖直位移的约束条件推导|

—————快乐学物理，逻辑为王 6 / 6 2、　平抛运动 知识必备 一．基础知识巩固 知识点一．平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。 4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 5．基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程：y＝x2 知识点二．斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。 3．研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动。 [思考判断] (1)平抛运动是匀变速曲线运动。(　　) (2)平抛运动的加速度方向时刻在变化。(　　) (3)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动。(　　) (4)平抛运动的物体任意时刻速度方向与水平方向的夹角保持不变。(　　) (5)平抛运动的物体在任意相等的两段时间内的速度的变化相同。(　　) (6)对于在相同高度以相同速度平抛的物体，在月球上水平位移与在地球上水平位移相等。(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× 二．考点解答 考点一．运动的规律及其应用 1．飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 3．落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 4．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，实验常考求周期T，方向恒为竖直向下，如图所示。 5．两个重要推论：（选择填空热门） (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示即xB＝。 推导： ―→xB＝ (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如上图所示。 推导： ―→tan θ＝2tan α 【例1】 (多选)对于平抛运动，下列说法正确的是(　　) A．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关 B．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 C．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的 D．平抛运动是加速度大小．方向不变的曲线运动 答案　BD 解析　平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，且落地时间t＝，落地速度为v＝＝，所以B项正确，A项错误；做平抛运动的物体，在任何相等的时间内，其竖直方向位移增量Δy＝gt2，水平方向位移不变，故C项错误；平抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度，故D项正确。 【例2】(多选)某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如图所示。不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，可能做出的调整为(　　) A．减小初速度，抛出点高度不变 B．增大初速度，抛出点高度不变 C．初速度大小不变，降低抛出点高度 D．初速度大小不变，增大抛出点高度 答案　AC 解析　为能把小球抛进桶中，须减小水平位移，由x＝v0t＝v0知，选项A．C正确。 【例3】如图所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体分别落到a．b．c三点，不计空气阻力，则三个物体运动的初速度va．vb．vc的关系和三个物体运动的时间ta．tb．tc的关系分别是(　　) A．va＞vb＞vc；ta＞tb＞tc B．va＜vb＜vc；ta＝tb＝tc C．va＜vb＜vc；ta＞tb＞tc D．va＞vb＞vc；ta＜tb＜tc 答案　C 解析　三个物体做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，由h＝gt2可知，竖直位移越大，运动时间越长，所以ta＞tb＞tc，B．D项错误；水平方向三物体做匀速直线运动，x＝v0t，由时间关系和位移关系可知，vc＞vb＞va，A项错误，C项正确。 【过关检测1】 1．关于平抛运动的性质，以下说法中正确的是(　　) A．变加速运动 B．匀变速运动 C．匀速率曲线运动 D．不可能是两个匀速直线运动的合运动 答案：BD 解析：平抛运动是水平抛出且只在重力作用下的运动，所以是加速度恒为g的匀变速运动，故A．C错误，B正确。平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，所以D项正确。 2．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力，则(　　) A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定 B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定 C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定 D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定 答案：D 解析：垒球击出后做平抛运动，在空中运动时间为t，由h＝gt2得t＝，故t仅由高度h决定，选项D正确；水平位移x＝v0t＝v0，故水平位移x由初速度v0和高度h共同决定，选项C错误；落地速度v＝＝，故落地速度v由初速度v0和高度h共同决定，选项A错误；v与水平方向的夹角θ，则tan θ＝，故选项B错误。 3．在一次飞越黄河的表演中，汽车在空中飞经最高点后在对岸着地，已知汽车从最高点至着地点经历的时间约为1 s，忽略空气阻力，则最高点与着地点的高度差约为(取g＝10 m/s2)(　　) A．8．0 m　　　　　　　　　　B．5．0 m C．3．2 m D．1．0 m 答案：B解析：汽车从最高点开始做平抛运动，竖直方向y＝gt2＝×10×12 m＝5．0 m，即最高点与着地点的高度差约为5．0 m，B正确。 4．如图所示，飞机距地面高度H＝500 m，水平飞行速度v1＝100 m/s，追一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距汽车水平距离多远处投弹？(g取10 m/s2) 答案：800 m 解析：炸弹离开飞机后做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上以飞机的速度v1做匀速直线运动。由H＝gt2得炸弹在空中的飞行时间为t＝ ＝ s＝10 s。10 s内在水平方向上炸弹和汽车的位移分别为v1t和v2t，要使炸弹击中汽车，则飞机投弹的位置距汽车的水平距离为x＝v1t－v2t＝(v1－v2)t＝(100－20)×10 m＝800 m。 考点二．与斜面相关联的平抛运动 方法 运动情景 定量关系 总结 分解 速度 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 已知速度方向与θ有关，分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 分解 位移 x＝v0t y＝gt2 tan θ＝＝ 已知位移方向与θ有关，分解位移，构建位移三角形 【例1】如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)。则运动员落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角φ满足(　　) A．tan φ＝1.33 B．tan φ＝1.44 C．tan φ＝1.50 D．tan φ＝2.00 答案　C 解析　运动员落到斜坡上的瞬间，对其速度进行分解，如图所示。竖直分速度vy＝gt，与水平分速度v0的比值tan φ＝＝；竖直分位移y＝gt2，与水平分位移x＝v0t的比值tan θ＝＝，可见tan θ＝2tan φ＝1．50，选项C正确。 【例2】在【例１】中，若运动员从O点飞出的初速度为20 m/s，则运动员离开O点后离斜坡的最远距离为(　　) A．30 m B．15 m C．18 m D．9m 答案　D 解析　将运动员的初速度v0和加速度g分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行分解，如图所示，初速度v0沿垂直斜面方向上的分量为v1＝v0sin θ，加速度g在垂直于斜面方向上的分量为a1＝gcos θ，根据分运动各自独立的原理可知，离斜面的最大距离仅由v1和a1决定，当垂直于斜面的分速度的大小减为零时，运动员离斜面的距离最大，最大距离d＝＝＝9 m。选项D正确。 【过关检测2】 1．将一挡板倾斜地固定在水平面上，倾角为θ＝30°，如图所示。现有质量为m的小球由挡板上方的A点以v0的初速度水平向右抛出，小球落在挡板上的B点时，小球速度方向刚好与挡板垂直，小球与挡板碰前后的速度方向相反．速度大小之比为4∶3。下列有关小球的运动描述正确的是(　　) A．小球与挡板碰后的速度为v0 B．小球与挡板碰撞过程中速度的变化量大小为v0 C．A．B两点的竖直高度差与水平间距之比为∶1 D．A．B两点的竖直高度差与水平间距之比为∶2 答案　D 解析　小球在碰撞挡板前做平抛运动。设刚要碰撞斜面时小球速度为v。由题意，速度v的方向与竖直方向的夹角为30°且水平分量仍为v0，如图。由此得v＝2v0，碰撞过程中，小球速度由v变为反向的v，则碰后的速度大小为v0，A错误；碰撞过程小球的速度变化量大小为Δv＝v－(－v)＝v＝v0，故选项B错误；小球下落高度与水平射程之比为＝＝＝＝，C错误，D正确。 2． (多选)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ B．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ C．小球A．B在空中运动的时间比为2tan2θ∶1 D．小球A．B在空中运动的时间比为tan2θ∶1 答案　BC 解析　由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动结论可知：tan φ＝2tan θ，选项A错误，B正确；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为t2，则由平抛运动的规律可得：tan θ＝，tan θ＝，则＝，选项C正确，D错误。 方法与技巧 (1)如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度。 (2)如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移。 (3)两种分解方法： ①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； ②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动。 考点三．平抛运动中的临界问题 常见的“三种”临界特征 (1)有些题目中有“刚好”．“恰好”．“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”．“多长时间”．“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。 【例1】在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同．初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。 (1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围； (3)若打在探测屏A．B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。 答案　(1)　(2)L≤v≤L　　　　(3)L＝2h 解析　(1)打在中点的微粒h＝gt2① t＝② (2)打在B点的微粒v1＝；2h＝gt③ v1＝L④ 同理，打在A点的微粒初速度v2＝L·⑤ 微粒初速度范围L≤v≤L⑥ (3)由能量关系mv＋mgh＝mv＋2mgh⑦ 代入④．⑤式L＝2h⑧ 【例2】如图为湖边一倾角为30°的大坝横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点以速度v0沿水平方向扔一小石子，已知AO＝40 m，不计空气阻力，g取10 m/s2。下列说法中正确的是(　　) A．若v0＞18 m/s，则石子可以落入水中 B．若v0＜20 m/s，则石子不能落入水中 C．若石子能落入水中，则v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大 D．若石子不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大 答案　A 解析　石子从A到O过程中，由平抛运动规律有：AO sin 30°＝gt2，AO cos 30°＝v0t，联立得v0＝17．3 m/s，所以只要v0＞17．3 m/s的石子均能落入水中，A项正确，B项错误；若石子能落入水中，由平抛运动规律有AO sin 30°＝gt2，得t＝2 s，则vy＝gt＝20 m/s，设其落水时速度方向与水平面夹角为θ，则tan θ＝，vy一定，v0增大，θ减小，C项错；不落入水中时，根据“tan φ＝2 tan θ”得石子落到斜面上时的速度方向与斜面夹角都相等，与v0大小无关，D项错误。 【过关检测3】 1．如图，窗子上．下沿间的高度H＝1．6 m，墙的厚度d＝0．4 m，某人在离墙壁距离L＝1．4 m．距窗子上沿h＝0．2 m 处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2。则v的取值范围是(　　) A．v＞7 m/s B．v＜2．3 m/s C．3 m/s＜v＜7 m/s D．2．3 m/s＜v＜3 m/s 答案　C 解析　小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题。若小物件恰好经窗子上沿，则有h＝gt，L＝v1t1，得v1＝7 m/s，若小物块恰好经窗子下沿，则有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，得v2＝3 m/s，所以3 m/s ＜v＜7 m/s，故只有C项正确。 2． 如图所示，球网高出桌面H，网到桌边的距离为L，某人在乒乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是(　　) A．击球点的高度与网高度之比为2∶1 B．乒乓球在网左右两侧运动时间之比为2∶1 C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1∶2 D．乒乓球在左．右两侧运动速度变化量之比为1∶2 答案　D 解析　因为水平方向做匀速运动，网右侧的水平位移是左边水平位移的两倍，所以网右侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知，击球点的高度与网高之比为9∶8，故A．B错误；球恰好通过网的上沿的时间为落到右侧桌边缘的时间的，竖直方向做自由落体运动，根据v＝gt可知，球恰好通过网的上沿的竖直分速度与落到右侧桌边缘的竖直分速度之比为1∶3，根据v＝可知，乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比不是1∶2，故C错误；网右侧运动时间是左侧的两倍，Δv＝gt，所以乒乓球在左．右两侧运动速度变化量之比为1∶2，故D正确。 3．如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则(　　) A．足球位移的大小x＝ B．足球初速度的大小v0＝ C．足球末速度的大小v＝ D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝ 答案　B 解析　足球位移大小为x＝＝，A错误；根据平抛运动规律有：h＝gt2，＝v0t，解得v0＝，B正确；足球的末速度v＝＝＝， C错误；足球初速度方向与球门线夹角正切值tan θ＝＝，D错误。 方法技巧 1．处理平抛运动中的临界问题要抓住两点 (1)找出临界状态对应的临界条件； (2)要用分解速度或者分解位移的思想分析平抛运动的临界问题。 2．平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质； (2)根据题意确定临界状态； (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图； (4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。 补救练习 ：成为更好的自己 1．如图所示，在光滑的水平面上有一小球a以初速度v0运动，同时刻在它的正上方有一小球b也以v0的初速度水平抛出，并落于c点，则(　　) A．小球a先到达c点 B．小球b先到达c点 C．两球同时到达c点 D．不能确定 答案：C解析：小球b在水平方向的分运动是以速度v0做匀速直线运动，a球在光滑水平面上也是以速度v0做匀速运动，所以两球将同时到达c点，C正确。 2．斜抛运动与平抛运动相比较，正确的是(　　) A．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动 B．都是加速度逐渐增大的曲线运动 C．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动 D．都是任意两段相等时间内的速度变化大小相等的运动 答案：D解析：斜抛运动和平抛运动都是只受重力作用，加速度恒为g的匀变速曲线运动，A．B错；斜抛运动的速度是增大还是减小，要看速度与重力的夹角，成锐角，速度增大；成钝角，速度减小。斜下抛运动也是速度增大的运动，C错；由Δv＝gΔt知D对。 3．以速度水平抛出一球，某时刻其竖直分位移与水平分位移相等，则下列判断中错误的是(　　) A．竖直分速度等于水平分速度 B．此时球的速度大小为 C．运动的时间为 D．运动的位移是 答案：A解析：设水平速度为v0，下落的时间为t，由题意得v0t＝gt2，解得t＝，竖直分速度为vy＝2v0，所以A错，C正确；速度v＝＝v0；位移s＝＝，所以B．D正确。 4．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　) A．tan θ B．2tan θ C． D． 答案：D解析：小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比即为平抛运动合位移与水平方向夹角的正切值。小球落在斜面上速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平方向夹角为－θ，由平抛运动结论：平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，可知：小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为tan(－θ)＝，D项正确。 5．一个物体以速度v0水平抛出，落地时速度的大小为2v0，不计空气的阻力，重力加速度为g，则物体在空中飞行的时间为(　　) A． B． C． D． 答案：C解析：如图所示，gt为物体落地时竖直方向的速度，由(2v0)2＝v＋(gt)2得t＝， 6．在抗震救灾中，一架飞机水平匀速飞行。从飞机上每隔1 s释放1包物品，先后共释放4包，若不计空气阻力，从地面上观察4包物品(　　) A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的 C．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的 答案：C 解析：因为不计空气阻力，物品在水平方向将保持和飞机一致的匀速运动，因而4包物品在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线；因为飞机高度一致，物品做平抛运动的时间一致，水平速度一致，间隔时间一致，所以它们的落地点是等间距的。 7．如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a．b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则(　　) A．a的飞行时间比b的长 B．b和c的飞行时间相同 C．a的水平速度比b的小 D．b的初速度比c的大 答案：BD 解析：抛体运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，由h＝gt2可知，飞行时间由高度决定，hb＝hc>ha，故b与c的飞行时间相同，均大于a的飞行时间，A错，B对；由题图可知a．b的水平位移满足xa>xb，由于飞行时间tb>ta，根据x＝v0t得v0a>v0b，C错；同理可得v0b>v0c，D对。 8．如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则．关系应满足(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案：D 解析：只要满足h1＋h2＝H，即gt2＋(v2t－gt2)＝H，拦截就会成功，而t＝，解以上两式可得v1＝v2。 巩固练习 　　　　　　　 1．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1．v2抛出铁圈，都能套中地面上同一目标。设铁圈在空中运动时间分别为t1．t2，则(　　) A．v1＝v2 B．v1＞v2 C．t1＝t2 D．t1＞t2 答案　D解析　根据平抛运动的规律h＝gt2知，运动的时间由下落的高度决定，故t1＞t2，所以C错误，D正确；由题图知，两圈水平位移相同，再根据x＝vt，可得：v1＜v2，故A．B错误。 2．在竖直墙壁上悬挂一镖靶，某人站在离墙壁一定距离的某处，先后将两只飞镖A．B由同一位置水平掷出，两只飞镖落在靶上的状态如图所示(侧视图)，若不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　) A．A．B两镖在空中运动时间相同 B．B镖掷出时的初速度比A镖掷出时的初速度小 C．A．B镖的速度变化方向可能不同 D．A镖的质量一定比B镖的质量小 答案　B 解析　观察两只飞镖在标靶的位置可以看出，B飞镖在A飞镖下方，即B飞镖在竖直方向下降的位移大于A飞镖，根据A．B飞镖竖直方向做自由落体运动规律h＝gt2有，hA＜hB，则tA＜tB；AB水平运动的位移相同，由x＝vt有，vA＞vB；A．B飞镖均做平抛运动，加速度均为g，而速度变化方向是与加速度方向一致的，故A．B飞镖速度变化方向均竖直向下，平抛运动规律与物体质量无关。B对。 3．如图所示，水平路面出现了一个地坑，其竖直截面为半圆。AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以v1．v2速度从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C．D两点，C．D两点距水平路面的高度分别为圆半径的0．6倍和1倍。则v1∶v2的值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　设圆半径为R，依平抛运动规律得：x1＝v1t1，x2＝v2t2。联立相比得：＝＝＝。又y1＝gt，y2＝gt。由两式相比得：＝。其中y2＝R，y1＝0．6R。则有：＝＝，代入速度比例式子得：＝。由此可知本题应选C。 4．如图所示，A．B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1∶2，则下列说法正确的是(　　) A．A．B两球的初速度之比为1∶4 B．A．B两球的初速度之比为1∶2 C．若两球同时抛出，则落地的时间差为 D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1) 答案　D 解析　v1＝＝·，v2＝＝x·，因此两球的初速度之比为1∶2，A．B项错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为－＝(－1)，若两球同时落地，则两球抛出的时间差也为(－1)，C项错误，D项正确。 5．（多选）斜面AB和CB倾角相同，A点和C点的高度相同，从A点处以速度v水平抛出一个小球，小球落在斜面CB的中点D处，则下列说法正确的是(　　) A．当抛出小球的速度为v时，小球落在斜面CB上B．D之间 B．当抛出小球的速度为v时，小球落在斜面CB上B．D之间 C．当抛出小球的速度为v时，小球落在斜面AB上大于D点高度的位置处 D．当抛出小球的速度小于v时，小球初速度越小，小球落在斜面上时的速度方向与斜面夹角越小 答案　AB 解析　当抛出小球的初速度为v时，小球落在D点，如图所示，由几何关系可知GE＝EF＝FD，若小球落在E点，则小球运动时间不变，水平位移为原来的，则抛出速度为v，C选项错误；小球抛出的速度小于v时，小球落在斜面AB上A．E之间，落在斜面上时的速度方向与斜面夹角不变，D选项错误；当抛出小球的速度为v时，若小球落在GD水平线上，时间与原来相同，则轨迹过F点，小球会落在斜面CB上B．D之间，A选项正确；小球落在B点时，下落高度为原来的2倍，则运动时间为原来的倍，水平位移为原来的，则抛出时的速度为v，当小球抛出的速度为v时，小球落在斜面CB上B．D之间，B选项正确。 6．（多选）假设某滑雪者从山上M点以水平速度v0飞出，经t0时间落在山坡上N点时速度方向刚好沿斜坡向下，接着从N点沿斜坡下滑，又经t0时间到达坡底P处。已知斜坡NP与水平面夹角为60°，不计摩擦阻力和空气阻力，则(　　) A．滑雪者到达N点的速度大小为2v0 B．M．N两点之间的距离为2v0t0 C．滑雪者沿斜坡NP下滑的加速度大小为 D．M．P之间的高度差为v0t0 答案　AD 解析　滑雪者到达N点时的竖直分速度为vy＝gt0＝v0tan 60°，得g＝，到达N点时的速度大小为v＝＝2v0，A正确；M．N两点之间的水平位移为x＝v0t0，竖直高度差为y＝gt＝v0t0，M．N两点之间的距离为s＝＝v0t0，B错误；由mgsin 60°＝ma，解得滑雪者沿斜坡NP下滑的加速度大小为a＝gsin 60°＝，C错误；N．P之间的距离为s′＝vt0＋at＝v0t0，N．P两点之间的高度差为s′sin 60°＝v0t0，M．P之间的高度差为h＝y＋s′sin 60°＝v0t0，D正确。 拔高练习 1．在地面上方某一点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中(　　) A．速度和加速度的方向都在不断变化 B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小 C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等 D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等 答案　B 解析　由于物体做平抛运动，故物体只受重力作用，加速度不变，速度的大小和方向时刻在变化，故选项A错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝＝，随着时间t的变大，故tan θ变小，则θ变小，故选项B正确；根据加速度定义式a＝＝g，则Δv＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，故选项C错误；根据动能定理，在相等的时间间隔内，动能的改变量等于重力的功，即WG＝mgh，而平抛运动在相等时间内竖直方向上的位移不相等，故选项D错误。 2． (多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a．b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则(　　) A．a的飞行时间比b的长 B．b和c的飞行时间相同 C．a的水平速度比b的小 D．b的初速度比c的大 答案　BD 解析　根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝ ，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项A错误，B正确；又因为xa>xb，而ta<tb，所以a的水平初速度比b的大，选项C错误；做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，b的水平位移大于c，而tb＝tc，所以vb>vc，即b的水平初速度比c的大，选项D正确。 3．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　) A．＜v＜L1 B．＜v＜ C．＜v＜ D．＜v＜ 答案　D 解析　发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h－h＝① ＝v1t1② 联立①②得v1＝ 当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 ＝v2t2③ 3h＝gt④ 联立③④得v2＝ 所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v＜，选项D正确。 4．如图所示，将a．b两小球以大小为20 m/s的初速度分别从A．B两点相差1 s先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a．b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则抛出点A．B间的水平距离是(　　) A．80 m B．100 m C．200 m D．180 m 答案　D解析　经过t时间两球在空中相遇且速度方向相互垂直，此时b球运动的时间为(t－1 s)，设相遇时a球的速度与水平方向的夹角为θ，根据几何关系可得tan θ＝＝，解得t＝5 s，则A．B两点的水平距离x＝v0t＋v0(t－1 s)＝180 m，D正确。 5． (多选)如图所示，足够长的斜面上有a．b．c．d．e五个点，ab＝bc＝cd＝de，从a点水平抛出一个小球，初速度为v时，小球落在斜面上的b点，此时速度方向与斜面夹角为θ；不计空气阻力，初速度为2v时(　　) A．小球可能落在斜面上的c点与d点之间 B．小球一定落在斜面上的e点 C．小球落在斜面时的速度方向与斜面夹角大于θ D．小球落在斜面时的速度方向与斜面夹角也为θ 答案　BD 解析　设ab＝bc＝cd＝de＝L0，斜面倾角为α。初速度为v时，小球落在斜面上的b点，则有L0cosα＝vt1，L0sinα＝gt，初速度为2v时，有Lcosα＝2vt2，Lsinα＝gt，联立解得L＝4L0，即小球一定落在斜面上的e点，B正确，A错误；由平抛运动规律可知，小球落在斜面时的速度方向与斜面夹角也为θ，C错误，D正确。 6．如图所示，小朋友在玩一种运动中投掷的游戏，目的是在运动中将手中的球投进离地面高3 m的吊环，他在车上和车一起以2 m/s的速度向吊环运动，小朋友抛球时手离地面1.2 m，当他在离吊环的水平距离为2 m时将球相对于自己竖直上抛，球刚好进入吊环，他将球竖直向上抛出的速度是(g取10 m/s2)(　　) A．1.8 m/s B．3.2 m/s C．6.8 m/s D．3.6 m/s 答案　C 解析　小球的运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动，则运动时间为t＝，由上升高度h＝v竖t－gt2得，v竖＝6．8 m/s，选项C正确。 7．静止的城市绿化洒水车，由横截面积为S的水龙头喷嘴水平喷出水流，水流从射出喷嘴到落地经历的时间为t，水流落地点与喷嘴连线与水平地面间的夹角为θ，忽略空气阻力(重力加速度g取10 m/s2)，以下说法正确的是(　　) A．水流射出喷嘴的速度大小为gttanθ B．空中水柱的水量为 C．水流落地时位移大小为 D．水流落地时的速度大小为2gtcosθ 答案　B 解析　根据题意可得tanθ＝，由平抛运动规律得y＝gt2，x＝vt，联立解得水流射出喷嘴的速度大小为v＝，选项A错误；由V＝Svt得空中水柱的水量V＝，选项B正确；水流落地时位移大小为s＝＝，选项C错误；水流落地时的速度大小为＝gt ，选项D错误。 8． (多选)如图所示，空间存在匀强电场，方向竖直向下，从绝缘斜面上的M点沿水平方向抛出一带电小球，最后小球落在斜面上的N点。已知小球的质量为m．初速度大小为v0．斜面倾角为θ，电场强度大小未知。则下列说法正确的是(　　) A．可以判断小球一定带正电荷 B．可以求出小球落到N点时速度的方向 C．可以分别求出小球到达N点过程中重力和静电力对小球所做的功 D．可以断定，当小球的速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大 答案　BCD 解析　小球做类平抛运动，电场力既可向上也可向下，故小球带正电．负电都可以，故A错误；利用平抛知识有：＝＝＝tanθ，速度偏向角设为α，则tanα＝＝2tanθ，可求出小球落到N点时的速度大小和方向，故B正确；求出小球到达N点的速度，由动能定理可以求出小球到达N点过程中重力和电场力对小球所做的功；然后结合速度偏转角与位移偏转角的关系，求出竖直方向的位移，即可分别求出小球到达N点过程中重力和静电力对小球所做的功，故C正确。小球在垂直于斜面方向上做匀减速直线运动，当小球在垂直于斜面方向的速度为零，即小球速度平行于斜面时，小球与斜面间的距离最大，故D正确。 9．下图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。 (1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值； (2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。 答案　(1) m/s　(2)0．6 s 解析　(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则hsin60°≤v0t hcos60°＝gt2 解得：v0≥ m/s。 (2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1<v0，人降落在弧形坡上。 下降高度y＝gt2 水平前进距离x＝v1t且 x2＋y2＝h2 解得t＝0．6 s。 学科网（北京）股份有限公司 $