期末复习：平抛运动中的速度与位移的相关计算、斜抛运动的相关计算专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦平抛与斜抛运动计算的专项训练，精选12道例题与变式题，涵盖自行车特技、无人机配送等真实情境，适配高一下学期单元复习，强化运动观念与科学推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |计算题|12|平抛运动速度/位移/时间计算（如自行车飞越平台）、斜抛运动轨迹/射程/最大高度（如篮球投篮）|情境具时代性（无人机配送），问题分基础到综合（轨迹方程推导），契合高考运动模型建构要求|

期末复习：平抛运动中的速度与位移的相关计算、斜抛运动的相关计算专项训练 期末复习：平抛运动中的速度与位移的相关计算、斜抛运动的相关计算专项训练 考点目录 平抛运动中的速度与位移的相关计算 斜抛运动的相关计算 考点一 平抛运动中的速度与位移的相关计算 例1．（25-26高一下·广东江门·期中）如图所示，自行车特技表演，从平台A水平飞越到平台B上，已知AB的高度差为，两平台的水平距离为 。（不计空气阻力，g取） (1)自行车的速度至少为多少时，才能够安全落到平台B上，以及该情况下，自行车在空中运动时间。 (2)自行车落地时速度大小。 例2．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，一质量为的小物块以初速度从粗糙水平桌面上某处开始运动，经时间后以速度飞离桌面，最终落在水平地面上。物块与桌面间的动摩擦因数，桌面高，不计空气阻力，取重力加速度。求： (1)小物块落地点距飞出点的水平距离x (2)小物块落地时的速度大小 (3)小物块的初速度的大小。 例3．（25-26高一下·河南漯河·阶段检测）如图所示，某轰炸机正在进行投弹训练，飞机在水平地面上方处以水平速度匀速飞行，目标位于斜坡上距坡底点处，斜坡倾角，到达投弹位置，飞机将炸弹自由释放，后精确命中目标。，，不计空气阻力。求： (1)炸弹离开飞机后在空中飞行的时间； (2)炸弹释放位置到坡底点的水平距离。 变式1．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）在某次网球单打网前截击中，若网球以3 m/s的速度水平击出，击出点距离地面的高度为0.8 m。忽略空气阻力，重力加速度的大小。求： (1)网球在空中飞行的时间t； (2)网球落地点与击出点的水平距离x； (3)网球落地速度v的大小。 变式2．（25-26高一下·山东济南·期中）2024年10月23日，国内首条口岸区域无人机配送航线在深圳开航，利用无人机进行快递配送的目的主要在于解决偏远地区的配送问题，提高配送效率。如图所示，无人机悬停在距水平地面3.2m高度处，某时刻以的加速度水平向右飞行，经过释放一包裹。已知重力加速度，不计空气阻力。求： (1)包裹落地时的速度大小； (2)包裹落地点与悬停点之间的水平距离。 变式3．（24-25高一下·新疆哈密·期末）某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高，A点与落地点B的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求： (1)网球从A点运动到B点所用的时间t； (2)网球被拍出时瞬间速度的大小； (3)网球运动到B点时的速度。 考点二 斜抛运动的相关计算 例1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为，不考虑空气阻力（g取）。求： (1)篮球进筐的速度大小和从篮球出手到投入篮筐的时间? (2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少? (3)以投球点为坐标原点，投球点与篮筐连线为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向（如图所示），推导篮球从出手到投入篮筐的运动轨迹方程（用y、x的关系式表示）。 例2．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图所示，体育课上同学们玩“颗粒归仓”游戏，固定在地面上的光滑球面“仓”的球心为 ，将小球（视为质点）从处正对“仓”以的速度斜向上投出，小球恰好从“仓”的左侧上沿切线方向滑入“仓”中，已知“仓”的左侧上沿与 点的连线与竖直方向的夹角，小球的质量，小球被投出的位置与“仓”的上沿在同一水平面上，取重力加速度大小，，，不计空气阻力。求： (1)小球进入“仓”前在空中运动的时间； (2)处到左侧“仓”沿的距离。 例3．（25-26高一下·甘肃张掖·阶段检测）如图所示，某同学在距地面h＝1m处以初速度v0＝5m/s，仰角θ＝53°斜向上抛出一个物体。已知重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： (1)物体上升过程所用的时间及竖直方向的位移h0的大小； (2)物体落地时的水平位移x的大小。 变式1．（25-26高三上·山东日照·阶段检测）斜抛运动可以有不同分解方法，合理运用会使计算得到简化。炮兵在山坡上发射炮弹，按不同轰炸目标，炮弹的运动可简化为如下模型：（以下研究仅考虑沿纸面的运动，不计空气阻力，重力加速度为）如图1所示，从倾角为的斜面上某点抛出一个小球，抛出速度大小始终为、方向与水平面成角。已知抛出点距斜面底端的距离为，在点无论怎样调整角，小球都不能落到水平面上。 (1)若为已知角，求：小球从抛出经多久打到斜面上。 (2)若为未知角，求：多大时，小球的落点与点的距离最大？求这个距离的大小（注意讨论落点在点上方和下方两种情况）。 (3)如图2所示，为使小球能落到水平面上，现将小球从点竖直向上垫高一定高度到点，求：多大时，点与点的高度最小？求这个高度的大小。 变式2．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，一儿童在房间内向地面上的点投掷弹力球（可视为质点），弹力球从点反弹到右侧竖直墙壁上的点后，又直接反弹到左侧竖直墙壁上的点。已知两竖直墙壁间的距离，弹力球在点弹起时的速度大小，点与点等高，弹力球在空中离水平地面的最大高度。弹力球与墙壁碰撞前后瞬间沿墙壁的速度不变，垂直于墙壁的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，忽略弹力球与墙壁的碰撞时间，取。 (1)求点距右侧墙壁； (2)弹力球与点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值。 变式3．（25-26高一下·安徽·期中）父子两人在空旷的草地上投掷飞镖。第一次，父亲站在点将飞镖甲以的初速度沿与水平方向成角的方向掷出，飞镖最终落在水平地面上的点。第二次儿子站在点将飞镖乙以某一初速度水平掷出，飞镖最终也落在点。已知飞镖甲的投出点距地面高度，飞镖乙的投出点距地面高度，、两点间的距离，不计空气阻力，取，。求： (1)飞镖甲离地面的最大高度和在空中飞行的时间； (2)飞镖乙抛出时的速度大小； 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：平抛运动中的速度与位移的相关计算、斜抛运动的相关计算专项训练 期末复习：平抛运动中的速度与位移的相关计算、斜抛运动的相关计算专项训练 考点目录 平抛运动中的速度与位移的相关计算 斜抛运动的相关计算 考点一 平抛运动中的速度与位移的相关计算 例1．（25-26高一下·广东江门·期中）如图所示，自行车特技表演，从平台A水平飞越到平台B上，已知AB的高度差为，两平台的水平距离为 。（不计空气阻力，g取） (1)自行车的速度至少为多少时，才能够安全落到平台B上，以及该情况下，自行车在空中运动时间。 (2)自行车落地时速度大小。 【答案】(1)4m/s；0.5s (2) 【详解】（1）根据平抛运动规律 ， 得t=0.5s ， 速度至少为4m/s时，才能安全落到平台B上 （2）落地时竖直方向的速度 =5m/s 落地速度 解得 例2．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，一质量为的小物块以初速度从粗糙水平桌面上某处开始运动，经时间后以速度飞离桌面，最终落在水平地面上。物块与桌面间的动摩擦因数，桌面高，不计空气阻力，取重力加速度。求： (1)小物块落地点距飞出点的水平距离x (2)小物块落地时的速度大小 (3)小物块的初速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，小物块离开桌面后做平抛运动，设运动的时间为。 则在竖直方向 水平方向 联立方程解得 （2）小物块落地时竖直方向的分速度为 则小物块落地时的速度大小为 解得 （3）小物块在水平桌面上运动时，根据牛顿第二定律有 由匀变速直线运动规律可得 代入数据解得 例3．（25-26高一下·河南漯河·阶段检测）如图所示，某轰炸机正在进行投弹训练，飞机在水平地面上方处以水平速度匀速飞行，目标位于斜坡上距坡底点处，斜坡倾角，到达投弹位置，飞机将炸弹自由释放，后精确命中目标。，，不计空气阻力。求： (1)炸弹离开飞机后在空中飞行的时间； (2)炸弹释放位置到坡底点的水平距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，目标距离水平地面的竖直高度为 因此炸弹竖直方向实际下落位移 竖直方向炸弹做自由落体运动，满足 代入数据，解得飞行时间 （2）水平方向炸弹做匀速直线运动，从释放点到目标的总水平位移 目标距离点的水平分量为 因此释放点到点的水平距离 变式1．（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）在某次网球单打网前截击中，若网球以3 m/s的速度水平击出，击出点距离地面的高度为0.8 m。忽略空气阻力，重力加速度的大小。求： (1)网球在空中飞行的时间t； (2)网球落地点与击出点的水平距离x； (3)网球落地速度v的大小。 【答案】(1)0.4s (2)1.2m (3)5m/s 【详解】（1）对平抛运动，竖直方向 解得 （2）水平方向 （3）落地前瞬间竖直方向的速度大小为 故合速度大小为 变式2．（25-26高一下·山东济南·期中）2024年10月23日，国内首条口岸区域无人机配送航线在深圳开航，利用无人机进行快递配送的目的主要在于解决偏远地区的配送问题，提高配送效率。如图所示，无人机悬停在距水平地面3.2m高度处，某时刻以的加速度水平向右飞行，经过释放一包裹。已知重力加速度，不计空气阻力。求： (1)包裹落地时的速度大小； (2)包裹落地点与悬停点之间的水平距离。 【答案】(1)10m/s (2)13.8m 【详解】（1）包裹释放时的速度为 落地时，竖直方向的速度满足 落地的速度为 解得 （2）水平加速度位移为 根据平抛运动规律有， 解得 变式3．（24-25高一下·新疆哈密·期末）某同学在水平空地上练习网球发球技巧，将网球竖直向上抛出，网球运动到最高点A时恰好被球拍水平拍出。如图所示，A点离地面高，A点与落地点B的水平距离，忽略空气阻力，重力加速度大小。求： (1)网球从A点运动到B点所用的时间t； (2)网球被拍出时瞬间速度的大小； (3)网球运动到B点时的速度。 【答案】(1)0.6s (2)8m/s (3)10m/s，速度与水平方向的夹角为 【详解】（1）网球做平抛运动，在竖直方向上有 解得 （2）网球在水平方向上有 解得 （3）竖直方向上，根据速度公式， 根据速度的合成有 速度与水平方向的夹角为 ，则有 可得速度与水平方向的夹角为。 考点二 斜抛运动的相关计算 例1．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为，不考虑空气阻力（g取）。求： (1)篮球进筐的速度大小和从篮球出手到投入篮筐的时间? (2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少? (3)以投球点为坐标原点，投球点与篮筐连线为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向（如图所示），推导篮球从出手到投入篮筐的运动轨迹方程（用y、x的关系式表示）。 【答案】(1)； (2) (3)（） 【详解】（1）根据对称性，篮球落入篮筐的速度方向与投出时的速度方向与水平方向夹角相同 篮球在空中做斜抛运动，水平方向 竖直方向 代入数据解得 进筐时速度与投出时速度大小相等 则 （2）由得 则篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度 （3）x方向 y方向 以上两式消去参数t，代入 得（） 例2．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图所示，体育课上同学们玩“颗粒归仓”游戏，固定在地面上的光滑球面“仓”的球心为 ，将小球（视为质点）从处正对“仓”以的速度斜向上投出，小球恰好从“仓”的左侧上沿切线方向滑入“仓”中，已知“仓”的左侧上沿与 点的连线与竖直方向的夹角，小球的质量，小球被投出的位置与“仓”的上沿在同一水平面上，取重力加速度大小，，，不计空气阻力。求： (1)小球进入“仓”前在空中运动的时间； (2)处到左侧“仓”沿的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据运动的对称性可知，小球从处被投出时，速度方向与水平方向的夹角也为，竖直方向上的分速度 小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据运动规律有 解得 （2）小球进入“仓”前在水平方向上做匀速直线运动，水平方向上的分速度 处到左侧“仓”沿的距离 解得 例3．（25-26高一下·甘肃张掖·阶段检测）如图所示，某同学在距地面h＝1m处以初速度v0＝5m/s，仰角θ＝53°斜向上抛出一个物体。已知重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求： (1)物体上升过程所用的时间及竖直方向的位移h0的大小； (2)物体落地时的水平位移x的大小。 【答案】(1)0.4s， (2)3m 【详解】（1）物体做斜抛运动，将其初速度分解到水平方向和竖直方向，则有， 物体在竖直方向做竖直上抛运动，则上升过程所用时间 竖直方向的位移 （2）物体从最高点到落地的竖直位移H＝h0＋h＝1.8 m 物体下落过程可看作平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则有 解得物体从最高点到落地所用时间t2＝0.6 s 物体在水平方向做匀速直线运动，则落地时的水平位移x＝v0x（t1＋t2）＝3m 变式1．（25-26高三上·山东日照·阶段检测）斜抛运动可以有不同分解方法，合理运用会使计算得到简化。炮兵在山坡上发射炮弹，按不同轰炸目标，炮弹的运动可简化为如下模型：（以下研究仅考虑沿纸面的运动，不计空气阻力，重力加速度为）如图1所示，从倾角为的斜面上某点抛出一个小球，抛出速度大小始终为、方向与水平面成角。已知抛出点距斜面底端的距离为，在点无论怎样调整角，小球都不能落到水平面上。 (1)若为已知角，求：小球从抛出经多久打到斜面上。 (2)若为未知角，求：多大时，小球的落点与点的距离最大？求这个距离的大小（注意讨论落点在点上方和下方两种情况）。 (3)如图2所示，为使小球能落到水平面上，现将小球从点竖直向上垫高一定高度到点，求：多大时，点与点的高度最小？求这个高度的大小。 【答案】(1) (2)当时，小球斜向右下抛的最远；当时，小球斜向左上抛的最远 (3)， 【详解】（1）沿斜面和垂直于斜面方向分解初速度和加速度，垂直于斜面方向 （2）沿水平和竖直方向分解初速度和位移，沿水平方向 解得 整理得 当时，小球斜向右下抛的最远 当时，小球斜向左上抛的最远 （3）从抛出到落地 如图 初、末速度和速度变化量构成矢量三角形，该三角形面积可用两种方式表示 用和表示，则 综上所述三式可得 当：①取最小值 ，②和垂直时，即时， 此时 变式2．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，一儿童在房间内向地面上的点投掷弹力球（可视为质点），弹力球从点反弹到右侧竖直墙壁上的点后，又直接反弹到左侧竖直墙壁上的点。已知两竖直墙壁间的距离，弹力球在点弹起时的速度大小，点与点等高，弹力球在空中离水平地面的最大高度。弹力球与墙壁碰撞前后瞬间沿墙壁的速度不变，垂直于墙壁的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，忽略弹力球与墙壁的碰撞时间，取。 (1)求点距右侧墙壁； (2)弹力球与点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在竖直方向 得 竖直方向的速度为     由 得 由于M、N两点等高，所以弹力球从M点到最大高度和从最大高度到N点可视为是下落高度相同（即运动时间相等）的平抛运动，故最大高度在两墙壁的中点，因水平方向做匀速直线运动，故t1满足 得 （2）从点到点的过程中，水平方向做匀速直线运动，有 得 竖直方向的速度为 在点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值 解得 变式3．（25-26高一下·安徽·期中）父子两人在空旷的草地上投掷飞镖。第一次，父亲站在点将飞镖甲以的初速度沿与水平方向成角的方向掷出，飞镖最终落在水平地面上的点。第二次儿子站在点将飞镖乙以某一初速度水平掷出，飞镖最终也落在点。已知飞镖甲的投出点距地面高度，飞镖乙的投出点距地面高度，、两点间的距离，不计空气阻力，取，。求： (1)飞镖甲离地面的最大高度和在空中飞行的时间； (2)飞镖乙抛出时的速度大小； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）飞镖甲在竖直方向做竖直上抛运动，设上升的最大高度为，则有 离地面的最大高度 解得 设飞镖甲上升的时间为，下降的时间为，有， 联立解得飞镖甲在空中飞行的时间 （2）飞镖甲的水平分速度 则 设飞镖乙在空中运动的时间为，则有， 解得飞镖乙的初速度 2 学科网（北京）股份有限公司 $