专题3.2 空间向量基本定理 （3大知识点+10大题型+21题强化）【精英班课程】2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版2020选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.2 空间向量基本定理 知识点一、共面向量定理 1．向量共面定理：如果两个非零向量，不共线 ，那么向量与向量，共面的充要条件是存在一对实数，使得，这就是说，向量可以用两个不共线的向量，线性表示. 2. 推论：空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点二、空间向量基本定理 1.定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . 2.基底：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个基底，都叫作基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 知识点三、共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较 共线向量基本定理 共面向量定理 空间向量基本定理 ⇒存在唯一的实数λ，使得b＝λa 如果a，b不共线，则a，b，c共面⇔存在唯一实数对(x，y)，使c＝xa＋yb 如果空间中三个向量a，b，c不共面对于空间中的任意一个向量p⇒存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 考点一、向量共面的充要条件 题型一、空间向量共面的判断 【例1】已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能 【跟踪训练】 1.对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面 3.对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 4．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型二、 空间向量共面求参数 【例2】已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【跟踪训练】 1．在空间直角坐标系中，若，四点共面，则 ． 2．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 3．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 题型三、证明四点共面 【例3】在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【跟踪训练】 1.如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 2.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 考点二、空间向量基本定理 题型四、 空间向量基底的概念及辨析 【方法点拨】　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 【例4】已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪训练】 1.已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型五、 用空间基底表示向量 【例5】如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（   ） A． B． C． D． 2.如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 3.如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 题型六、 空间向量基本定理求参问题 【例6】如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间四边形中，向量，且，则 ． 考点三、空间向量基本定理的应用 题型七、证明平行、共线、共面问题 【例7】（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【跟踪训练】 1. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 2. 如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 题型八、证明垂直问题 【例8】已知在空间四边形中，，，求证：． 【跟踪训练】 1.如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 题型九、利用基底法求夹角 【例9】如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求：(1)的长；(2)直线与AC所成角的余弦值. 题型十、空间基底法求长度问题 【例10】如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 2.如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 3.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点.设.    (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 4.如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 5.如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 一、选择题 1．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 _____ 2．已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为_________ 3.如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    4.已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则_______ 5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则_______   6. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则________ 7. 如图，在空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则_______ 8.在平行六面体中，，，设，，． 若点，满足，，则与夹角的余弦值为________． 9.在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 二、选择题 10．在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 11.关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 12.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 13. 在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 14.若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 15．已知向量，，不共线，如果，，，求证：，，，四点共面． 16. 如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：；(3)求的长. 17. 如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 18．如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 19.如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 20.如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 21.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，；(3)若，且，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题3.2 空间向量基本定理 知识点一、共面向量定理 1．向量共面定理：如果两个非零向量，不共线 ，那么向量与向量，共面的充要条件是存在一对实数，使得，这就是说，向量可以用两个不共线的向量，线性表示. 2. 推论：空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点二、空间向量基本定理 1.定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . 2.基底：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个基底，都叫作基向量. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 知识点三、共线向量基本定理、共面向量定理、空间向量基本定理的比较 共线向量基本定理 共面向量定理 空间向量基本定理 ⇒存在唯一的实数λ，使得b＝λa 如果a，b不共线，则a，b，c共面⇔存在唯一实数对(x，y)，使c＝xa＋yb 如果空间中三个向量a，b，c不共面对于空间中的任意一个向量p⇒存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 考点一、向量共面的充要条件 题型一、空间向量共面的判断 【例1】已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能 【答案】C 【分析】先假设与共线即，从而得，进而推出矛盾，与同理，从而可判断选项ABD，再由向量共面的充要条件结合已知条件、和即可判断C. 【详解】假设与共线，则， 所以即，又、， 所以与共线，这和与不共线相矛盾，故假设不成立， 则A不正确，同理B不正确，则D不正确； 因为、，，所以与，共面，故C正确. 故选：C. 【跟踪训练】 1.对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 2.已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面 【答案】A 【分析】根据共面的推论即可求解. 【详解】，，，A，B，C，M四点共面. 故选:A. 3.对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 4．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 题型二、 空间向量共面求参数 【例2】已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 【跟踪训练】 1．在空间直角坐标系中，若，四点共面，则 ． 【答案】 【分析】借助空间向量共面的线性表示关系，通过建立方程组求解参数，核心是将四点共面转化为向量的线性组合问题. 【详解】，，. 因四点共面，故可由、线性表示，即存在实数、，使， 代入坐标得， 解得，，. 故答案为：. 2．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 3．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 4．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，表示出相关向量，再利用四点共面时空间向量的基本定理列方程组求解即可. 【详解】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 题型三、证明四点共面 【例3】在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【答案】证明见解析 【详解】取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面.    【跟踪训练】 1.如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 2.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面. 【答案】证明见解析 【解析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，即可求解. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 =++=. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面. 考点二、空间向量基本定理 题型四、 空间向量基底的概念及辨析 【方法点拨】　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 【例4】已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断. 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】空间向量共面的充要条件：若三个向量共面，则存在实数，使得（或其中一个向量可由另外两个线性表示），已知不共面，逐一分析选项. 【详解】选项A：，存在线性组合，共面； 选项B：，存在线性组合，共面； 选项C：假设，则， 由不共面得：，无解，故不存在线性组合，不共面； 选项D：，存在线性组合，共面. 故选：C 题型五、 用空间基底表示向量 【例5】如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得： ， 所以. 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：A 2.如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 3.如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 题型六、 空间向量基本定理求参问题 【例6】如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 【跟踪训练】 1.在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得：，利用空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】由题意得：， 所以 ， 所以， 故选：C. 2．已知空间四边形中，向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的加法和减法即可求得. 【详解】因为，所以， 则， 所以． 故答案为：. 考点三、空间向量基本定理的应用 题型七、证明平行、共线、共面问题 【例7】（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 【跟踪训练】 1. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 2. 如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明. （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1） 因为 . 又，，有公共点，所以，，，四点共面. （2）因为 . 所以，，.所以. 题型八、证明垂直问题 【例8】已知在空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】选取基底，将已知直线垂直关系转换为数量积为0，得到相应的等量关系，进而证明即可. 【详解】如图所示：    不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 【跟踪训练】 1.如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时， 【解题思路】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 题型九、利用基底法求夹角 【例9】如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1） （2）根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【跟踪训练】 1.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【解答过程】（1）， 所以 ； （2）， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 题型十、空间基底法求长度问题 【例10】如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以向量为基底向量，表示出，由模长公式求出向量模长即可. 【解答过程】， ∴， ∴. 故选：A. 【跟踪训练】 1. 如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【解答过程】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 2.如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 3.如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点.设.    (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值； （2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值. 【解答过程】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以， ，所以. （2）因为， 所以 . 4.如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 5.如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【解答过程】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 一、选择题 1．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 _____ 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 2．已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为_________ 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 3.如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    【答案】 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【详解】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 4.已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则_______ 【解题思路】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【解答过程】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则_______   【解题思路】利用空间向量的基本定理将用、、表示出来，可得出、、的值，即可得解. 【解答过程】连接，如下图所示：    因为为的中点，所以， 因为点在上，且，则， 所以， 易知、、不共面，故，，所以. 6. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则________ 【解题思路】设，连接，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【解答过程】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 7. 如图，在空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则_______ 【解析】因为，，所以． 又，，， 所以，，， 所以 ， 所以． 8.在平行六面体中，，，设，，． 若点，满足，，则与夹角的余弦值为________． 【解析】，， ，， 又，， ． ， ， ， ， ． 9.在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【解析】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 二、选择题 10．在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 11.关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】C 【详解】A选项，设两个共线的向量为和，第三个向量为， 因为和共线，所以存在实数使得：，那么：， 根据向量共面定理，向量、、共面，所以A选项正确； B选项，若是共面的向量，则存在实数，使得：， 即，与不共面矛盾，所以B选项正确； C选项，若，则，当时，也满足条件，即不一定为锐角，所以C选项错误； D选项，由空间向量四点共面定理，对于空间中任意一点，若满足：，且， 则四点共面， 因为D选项中 ，所以四点共面，所以D选项正确. 12.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 13. 在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 14.若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用、空间向量基底概念及辨析 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 三、解答题 15．已知向量，，不共线，如果，，，求证：，，，四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】易得，不共线．令， 则． 和不共线，，解得 ，，，，四点共面． 16. 如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【解析】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 17. 如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 【解析】（1）在中，， ， ． （2）设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． （3）设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ， 化简得， 解得或， 或． 18．如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． (1)以为一组基底表示向量； (2)求MN的长度； (3)求，两向量夹角的余弦值． 【解析】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为， 所以 ， ， 所以． 19.如图，在四面体中：，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设． ①用向量表示； ②求的值． 【解析】（1）由题意可知：，因为,,, 所以 （2）由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 20.如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【解析】（1）因为 ，又， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以，. 21.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【解答过程】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $