专题4.1.2 等差数列的前n项和 （3大知识点+10大题型+21题强化）-2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.1.2 等差数列的前n项和 知识点一、等差数列的前n项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 证明：倒序相加法 ① ② ①+②： 因为 所以 由此得： 公式二： 证明：将代入可得： 【要点】 1.两个公式的适用场景：①已知、、，用公式二；②已知、、，用公式一；③已知、、，可先由求，再用公式一或二. 2.倒序相加法的核心思想：利用等差数列“”的对称性，将分散的项合并求和，这是等差数列求和的专属核心方法. 3.公式的统一关系：两个公式本质等价，可通过通项公式相互转化，解题时需根据已知条件灵活选择. 知识点二、等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 1.连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 2.若项数为，则，， 3.若项数为，则，，，， 4.与的基础关联：，（），这是连接前n项和与通项的关键递推关系. 【要点】 1.应用片段和性质时，注意连续n项和”的前提. 2.奇偶项和性质中，混淆为奇数与偶数的结论，如将为奇数时的误用于为偶数的情况. 3.利用与的关系时，忽略的限制，直接用求，导致首项错误. 知识点三、等差数列前n项和的函数性质 1.函数形式转化：将公式:整理为关于的函数，得（）. 2.函数性质分析： 当时，是关于的二次函数，且二次项系数为，一次项系数为，常数项为0；其图像是抛物线上的孤立点（为正整数）. 当时，，若，则是关于的一次函数；若，则（常函数），对应常数列的前n项和. 3.核心关联：数列是等差数列的充要条件是其前n项和为关于的二次函数（）或一次函数（，）或常函数（，），且常数项为0. 【要点】 1.的函数本质：等差数列前n项和是“不含常数项的二次函数（或一次函数、常函数）对应的正整数离散点”，这是判断数列是否为等差数列的重要依据. 2.二次函数视角下的最值规律：当时，的最值对应抛物线的顶点横坐标，需结合顶点横坐标是否为正整数，判断最值所在的项数. 知识点四、等差数列前n项和的最值求解方法 1.方法一（函数法）：利用的二次函数性质（时），通过求二次函数的顶点横坐标，结合确定最值项数，再代入公式求最值. 2.方法二（通项法）：根据等差数列的单调性，通过判断通项的符号变化确定最值： 求最大值：若（数列递减），令且，解得的取值范围，对应的即为使最大的项数；(1)若所有，则的最大值为（为最后一项）. 求最小值：若（数列递增），令且，解得的取值范围，对应的即为使最小的项数；(2)若所有，则的最小值为（为最后一项）. 常考结论： 若等差数列满足且（），则为前n项和的最大值；若且（），则为前n项和的最小值. 若等差数列的前n项和的最大值为，则且；最小值为，则且. 当时，若的顶点横坐标（为非整数），则的最值为（时取最小值，时取最大值），其中表示不大于的最大整数. 题型01 求等差数列的前n项和 【例1】记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【例2】已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 【跟踪训练】 1．记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 2．在等差数列中，已知，，求； 3.在等差数列中，已知，求 4.求等差数列1，5，9，…，401各项的和； 题型02 等差数列前n项和的基本量计算 【方法点拨】等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 【例3】等差数列的前项和为，满足，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 【例4】记等差数列的前项和为.若则（    ） A．9 B．10 C．17 D．19 【跟踪训练】 1.已知等差数列的前项和为，，则 . 2.设等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C．9 D．13 4.已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5.在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，求； (3)已知，，求； (4)已知，，，求． 题型03 含绝对值的等差数列前n项和 【例5】已知数列满足为的前项和，则 . 【跟踪训练】 1.已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 2．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 题型04 等差数列片段和性质 【例6】已知等差数列前项和，则 . 【跟踪训练】 1.已知等差数列的前项和为，，，则 . 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 3．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型05 等差数列的奇数项和和偶数项和 【例7】若等差数列的项数为，则 ． 【跟踪训练】 1．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 2．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 3．设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 题型06 两个等差数列前n项和之比的问题 【方法点拨】设，的前项和为，，则． 【例8】已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例9】已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【例10】已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 2.已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且则 . 4.设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 题型07 等差数列an与Sn的关系 【例11】已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 【跟踪训练】 1．已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 2．已知数列的前项和，则通项公式 . 题型08 等差数列的前n项和与二次函数的关系 【方法点拨】（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 【例12】已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列． 【跟踪训练】 1.已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 题型09 等差数列前n项和最值问题 【例13】已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例14】已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例15】已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【跟踪训练】 1．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3. 在等差数列中，，且，则使数列的前项和取得最小值的等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4. 设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 5. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为12 D．前100项中，被7除余3的有14项 6. 记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 题型10 等差数列前n项和的实际应用 【方法点拨】（1）与等差数列前项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． （2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观． 【例16】《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【跟踪训练】 1.《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 2. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 3. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 一、填空题 1.若数列是等差数列，其前项和为，，则______. 2.已知等差数列的前项和为，若，则______ 3.已知等差数列的前项和为，若，则______ 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则公差 . 5.已知是等差数列的前项和，若，则________ 6.在等差数列中，若，则_______. 7.在等差数列中，若，，则________ 8.已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为_______ 9.已知等差数列的前项和分别为，若，则_______ 10．已知等差数列的前项和为，且，则 ． 11．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 12.已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 二、选择题 13.数列为等差数列，为其前项和，已知，，则不正确的是（     ） A. B. C. D. 14.若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 15．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（    ） A． B． C． D． 16.在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A. B. C. D. 3、 解答题 17.已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最大值. 18.已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．已知在前项和为的等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的正整数的值. 20.已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 21.设等差数列的前项和为 ，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题4.1.2 等差数列的前n项和 知识点一、等差数列的前n项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 证明：倒序相加法 ① ② ①+②： 因为 所以 由此得： 公式二： 证明：将代入可得： 【要点】 1.两个公式的适用场景：①已知、、，用公式二；②已知、、，用公式一；③已知、、，可先由求，再用公式一或二. 2.倒序相加法的核心思想：利用等差数列“”的对称性，将分散的项合并求和，这是等差数列求和的专属核心方法. 3.公式的统一关系：两个公式本质等价，可通过通项公式相互转化，解题时需根据已知条件灵活选择. 知识点二、等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 1.连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 2.若项数为，则，， 3.若项数为，则，，，， 4.与的基础关联：，（），这是连接前n项和与通项的关键递推关系. 【要点】 1.应用片段和性质时，注意连续n项和”的前提. 2.奇偶项和性质中，混淆为奇数与偶数的结论，如将为奇数时的误用于为偶数的情况. 3.利用与的关系时，忽略的限制，直接用求，导致首项错误. 知识点三、等差数列前n项和的函数性质 1.函数形式转化：将公式:整理为关于的函数，得（）. 2.函数性质分析： 当时，是关于的二次函数，且二次项系数为，一次项系数为，常数项为0；其图像是抛物线上的孤立点（为正整数）. 当时，，若，则是关于的一次函数；若，则（常函数），对应常数列的前n项和. 3.核心关联：数列是等差数列的充要条件是其前n项和为关于的二次函数（）或一次函数（，）或常函数（，），且常数项为0. 【要点】 1.的函数本质：等差数列前n项和是“不含常数项的二次函数（或一次函数、常函数）对应的正整数离散点”，这是判断数列是否为等差数列的重要依据. 2.二次函数视角下的最值规律：当时，的最值对应抛物线的顶点横坐标，需结合顶点横坐标是否为正整数，判断最值所在的项数. 知识点四、等差数列前n项和的最值求解方法 1.方法一（函数法）：利用的二次函数性质（时），通过求二次函数的顶点横坐标，结合确定最值项数，再代入公式求最值. 2.方法二（通项法）：根据等差数列的单调性，通过判断通项的符号变化确定最值： 求最大值：若（数列递减），令且，解得的取值范围，对应的即为使最大的项数；(1)若所有，则的最大值为（为最后一项）. 求最小值：若（数列递增），令且，解得的取值范围，对应的即为使最小的项数；(2)若所有，则的最小值为（为最后一项）. 常考结论： 若等差数列满足且（），则为前n项和的最大值；若且（），则为前n项和的最小值. 若等差数列的前n项和的最大值为，则且；最小值为，则且. 当时，若的顶点横坐标（为非整数），则的最值为（时取最小值，时取最大值），其中表示不大于的最大整数. 题型01 求等差数列的前n项和 【例1】记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【答案】B 【解析】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 【例2】已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 【答案】C 【解析】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 【跟踪训练】 1．记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（   ） A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】C 【详解】因为，， 所以， ，， 将上述式子代入已知条件得： ，解得， 所以. 故选：C. 2．在等差数列中，已知，，求； 解：设等差数列的公差为， ，， ，解得， 则． 3.在等差数列中，已知，求 解：因为，所以． 4.求等差数列1，5，9，…，401各项的和； 解：由题意可得等差数列1，5，9，，401的通项公式，共有101项， . 题型02 等差数列前n项和的基本量计算 【方法点拨】等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 【例3】等差数列的前项和为，满足，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，满足， 所以，解得， 所以由，即，解得， 故选：C 【例4】记等差数列的前项和为.若则（    ） A．9 B．10 C．17 D．19 【答案】C 【解析】因为数列等差数列，所以， 所以， 解得，所以， 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知等差数列的前项和为，，则 . 【答案】/0.5 【分析】运用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由. 故答案为：. 2.设等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 则，即，解得， 所以. 故选：C 3．已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C．9 D．13 【答案】D 【详解】易知，可得； 又，所以. 故选：D 4.已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式求出，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，得， 则. 故选：C 5.在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，求； (3)已知，，求； (4)已知，，，求． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）应用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而求； （2）应用等差数列下标和的性质有，进而求. （3）由等差数列前n项和公式及已知可得，再由通项公式求公差d，进而写出. （4）由，应用等差数列通项公式求基本量即可. 【详解】（1）设公差为d，则，解得， 所以. （2）由，而，所以. （3）由题设，，而，则，若公差为d， 则，可得， 所以. （4）由，又，， 所以，可得. 题型03 含绝对值的等差数列前n项和 【例5】已知数列满足为的前项和，则 . 【答案】104 【解析】，令，得， 又，所以当时，，当时，. 当时，； 当时， 综上所述， 所以. 【跟踪训练】 1.已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2)（i）且  （ii） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，列式求解即可； （2）写出，解不等式即可；按照和两种情况结合等差数列的前项和公式求出即可. 【详解】（1）因为，， 则，解得或， 则数列的通项公式或. （2）（i）因为公差不为0，则，， 令，即，且， 所以的取值为且. （ii）由时，令，则， 当时，，此时， 则此时； 当时，，此时， 则 综上，. 2．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 题型04 等差数列片段和性质 【例6】已知等差数列前项和，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列中，成等差数列，代数计算，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以成等差数列， 所以，即， 解得. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 2．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 【答案】B 【解析】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 3．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案. 方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解. 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 题型05 等差数列的奇数项和和偶数项和 【例7】若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 【答案】B 【详解】因为， 所以 故选：B. 2．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 3．设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】A 【解析】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 题型06 两个等差数列前n项和之比的问题 【方法点拨】设，的前项和为，，则． 【例8】已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 【例9】已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 【例10】已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 2.已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得 【详解】由等差数列的前项和分别为且， 所以 故选： D 3.已知数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且则 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质求解即可； 【详解】因为数列，均为等差数列，其前n项和分别为， ，且 所以. 故答案为： 4.设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【解析】由题意得 所以. 题型07 等差数列an与Sn的关系 【例11】已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（   ） A．3 B．7 C．13 D．2 【答案】C 【解析】由. 故选：C 【跟踪训练】 1．已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据前项和表达式，通过分类讨论，当时，当时，利用，即可求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：. 2．已知数列的前项和，则通项公式 . 【答案】 【分析】当时，由求得，当时，由求得，验证当时是否成立，即可得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，成立， ∴. 故答案为：. 题型08 等差数列的前n项和与二次函数的关系 【方法点拨】（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 【例12】已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列． 【解析】因为，① 有，② ②－①得． 即 整理得，③ 当时，④ ③－④得， 则（），故数列为等差数列． 【跟踪训练】 1.已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【解析】（1）当时，，令，， 所以时， ， 所以， 此时， 所以， 所以， 可得数列是公差为的等差数列. （2）， 令，得， 所以时， ， 所以， 所以， 可得时，数列是公差为的等差数列， 若数列是等差数列，则， 所以． 题型09 等差数列前n项和最值问题 【例13】已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可. 【详解】由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 【例14】已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列通项可证明数列为等差数列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 【例15】已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【解析】（1）设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. （2），， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 【跟踪训练】 1．已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】设等差数列公差为，因为，， 所以，，所以，． 所以该数列单调递减，且, 所以当时，取得最大值． 故选：A． 2. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先求出数列的通项公式，由，，知当取得最大值时有，然后求解即可. 【详解】， 解得，，所以， 所以当取得最大值时，，即，解得， 又，所以. 故选：C 3. 在等差数列中，，且，则使数列的前项和取得最小值的等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，即， 又因为即解得，则. 又因， 由，又，则； 由，则， 又，即数列是递增数列， 所以时，等差数列的前项和取得最小值. 故选：A. 4. 设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知得出，公差，然后分和两种情况讨论. 【详解】由题意知是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差， 若，此时，，是等差数列的前项和中的最小值， 此时，即，则； 若，，此时是等差数列的前项和中的最小值， 此时，，即， 则， 综上可得：的取值范围是， 故答案为：． 5. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为12 D．前100项中，被7除余3的有14项 【答案】D 【解析】由题意及等差数列的前项和公式， ，， 即：即， 解得所以，故A，B正确． ，解不等式，，得， 所以的最大值为12，故C正确． 因为在自然数中，被7除余3的数可表示为，， ，解不等式，得，又，所以有15项，故D错误． 故选：D． 6. 记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意得：，， 则，解得， 所以. （2）由， 函数开口向下，对称轴为， 而，则或6， 此时， 所以在或6时，取得最大值，无最小值. 题型10 等差数列前n项和的实际应用 【方法点拨】（1）与等差数列前项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． （2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观． 【例16】《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 【跟踪训练】 1.《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【答案】C 【解析】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 2. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，为5人出钱数依次为， 依题意，，解得， 所以公士出钱数为34钱. 故选：D 3. 《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【分析】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 一、填空题 1.若数列是等差数列，其前项和为，，则______. 【答案】 【解析】 因为数列为等差数列，所以，解得，则. 故答案为： 2.已知等差数列的前项和为，若，则______ 【解析】 设数列的公差为，，可得，即，. 3.已知等差数列的前项和为，若，则______ 【分析】利用等差数列通项公式将已知条件转化为的表达式，结合等差数列性质求出前15项和. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，，，代入， 得， 化简得，即，故. 等差数列前项和，由等差数列性质， 得. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则公差 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质和通项公式计算求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以，解得， 所以，解得， 故答案为： 5.已知是等差数列的前项和，若，则________ 【解析】 因为数列是等差数列， 所以. 6.在等差数列中，若，则_______. 【答案】 【解析】 因为， ， 所以，所以， 故答案为：. 7.在等差数列中，若，，则________ 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以 ， . 8.已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为_______ 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【详解】由，得当时，， 当时，满足上式，则，当时，；当时，， 所以 ． 9.已知等差数列的前项和分别为，若，则_______ 【分析】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得 【详解】由等差数列的前项和分别为且， 所以 10．已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】4 【详解】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列． 令，则，，，成等差数列． 由，设，得， 则，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 11．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， ， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 12.已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求等差数列公差，得到前项和的二次函数表达式，利用二次函数的对称性与单调性，计算关键项的和，确定的取值范围. 【详解】由等差数列性质，，代入，，得，解得. 前项和. 是开口向下的二次函数，对称轴为. ，， ，. 因只有两个正整数满足，结合的单调性，需满足. 故答案为： 二、选择题 13.数列为等差数列，为其前项和，已知，，则不正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据题意，由，得，解得， 故A正确，B错误； 则，C正确； ，D正确． 故选：B． 14.若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数. 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 15．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D. 16.在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为数列为等差数列，设公差为， 因为有最大值，故，即， 又，即、一正一负，而， 所以，，又由得，故， 所以，，则，， 则当时，的最大值为. 故选：A. 3、 解答题 17.已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最大值. 【答案】（1）；（2），的最大值为. 【解析】 （1）设等差数列的公差为， 因为，，所以，解得， 所以， 所以； （2）由（1），， 所以当或时，取最大值，最大值为. 所以，的最大值为. 18.已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）化简的表达式，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 19．已知在前项和为的等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的正整数的值. 【答案】(1) (2)且为正整数. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，则，解得， 所以， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以， 由，即， ①当时，不等式可化为， 即，因为， 所以满足题意， ②当时，不等式，可化为， 即，解得，又，所以， 综上所述，使得不等式成立的正整数的值为且为正整数. 20.已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 【答案】(1) (2) (3)中间项为，项数为7项 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解； （3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项. 【详解】（1）依题意知， ， 所以， 所以．因为，所以． （2）因为，，成等差数列， 所以 即． （3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为， 则 ，， 所以．所以，中间项为，项数为7项． 21.设等差数列的前项和为 ，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2)36； (3) ； 【分析】（1）根据通项公式及求和公式求解即可； （2）求得，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意可得数列的前6项为正，从第7项起为负，分和，分别求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以当时，取最大值，为36； （3）令， 解得， 又因为， 所以， 即数列的前6项为正，从第7项起为负， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以 ， 综上， ； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $