广东深圳市某校2025-2026学年高二下学期期末学业质量检测数学试题

**基本信息** 以人工智能选修课、劳动实践圆柱模型等真实情境为载体，通过函数单调性分析、椭圆综合应用等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高二期末学业质量检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、向量、数列、统计量|第6题结合科技选修课考概率，第9题多统计量综合辨析| |填空题|3/15|复数、等差数列、表面积最小化|第14题以劳动实践为背景考数学建模| |解答题|5/77|概率分布、解三角形、立体几何、导数证明、椭圆|第18题导数证明考察逻辑推理，第19题椭圆综合题体现数学语言表达|

2025-2026学年高二期末质检 数学试题答案及评分参考 2026.6 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 题号 1 2 3 5 6 个 P 答案 D D C A B B D C 二、 选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 AC ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.4 13.5 14.6m 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：（①）设4=“第一次摸到白球”，A,=“第二次摸到白 球”，分 则P4)=≤ 3, 2分 P(4,)=P(4)P(4,|4)+P(A)P4|A)=三×5+2×g 35353 5分 (2)由题意知，X可能的取值为1,2,3， .6分 P(X=)=42=' 5, 8分 P(X=2)=2= 5 9分 P(X=3)=42= 5 .10分 则X的分布列为（表格1分)11分 .E(X)=1XP(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=2.13分 16.解：()由已知得，asinC+V3 acosC=V3b 1分 由正弦定理，得sin AsinC+V3 sinAcosC=V3sinB,3分 答案第1页（共3页) 由于sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC, 化简得sin AsinC=V3 cos AsinC, .4分 由于C∈(0，)，则sinC≠0， 于是sinA=√3c0SA,… 5分 由于A∈(0，)，则sinA≠0，于是cosA≠0， 则m:5.教4-后 .7分 (2)由(1)及条件知， SAAc =besin A=V be=10 2 8分 得bc=40, 9分 由余弦定理，得a2=b2+c2-2 becos A=(b+c)2-3bc, 12分 得b+c=13, .14分 故△ABC的周长为a+b+c=20 .15分 E 17.(15分) I)证明：：BE∥AD,BE=2AD,ACFD为矩形， H G .CF∥AD∥BE, 。。。。。。。 B 分 取AC中点M,连接GM,HM, G、H分别是DF,BE的中点， .GM∥EH且GM=EH, …2分 四边形GMHE为平行四边形，… …3分 .GE∥HM, …4分 又.HMc面ACH,GEt面ACH EG∥平面ACH..6分 答案第2页（共3页) (2)解：矩形ACFD中，FC⊥AC, 又，面ACFDL平面ABC,平面面ACFD∩平面ABC=AC,FCc面ACFD .FC⊥面ABC …7分 ,DF⊥EF,DF⊥CF又.：EF∩CF=F.EF、CFc面BCFE .DF⊥面BCFE 8分 .DF∥AC.AC⊥面BCFE 又，BCC面BCFE:.AC⊥BC …9分 (法1：坐标法)以C为原点建立空间直角坐标系C-z如图所示，…10分 AB=BE=2BC=4,AC=AB2-BC2 =23 .40,25,0),B2,00).D0,2V5,2).E20,4F00,2) :DE=2,25,2hDF=0,-25,0) …11分 设平面DF的法向量为n=(:,,乙) y DF.n=-23y=0 DE.n=2x-23y+2z=0 取，得”=0-) 又m=(00,1 是平面DEF的一个法向量，…13分 ∴.设平面DEF与平面ABC夹角为， 则cosa=mnl=V2 mn 2 14分 答案第3页（共3页） 2 平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为2·…l5分 (法2：几何法)，AC∥DF且AC=DF,ACC面ACH,DF丈面ACH, .DF∥面ACH, …10分 又由(I)得EG∥面ACH,EG∩DF=G,EG、DFc面DEF,:.面ACH∥面DEF, 平面ACH与平面ABC的夹角即为平面DEF与平面ABC的夹角，l1分 .·AC⊥面BCFE,CHC面BCFE,.AC⊥CH, 又：平面ACH∩平面ABC=AC,BC⊥AC, .平面ACH与平面ABC夹角为∠BCH, 即平面DEF与平面ABC夹角为∠BCH,…13分 六RIABCH中，cos∠BCH=BC= 2 2√2 CHV22+222W22,…14分 V2 .平面DEF与平面ABC夹角余弦值为2.…l5分 18.解：a)设函数m()=f()-x=(x+1)-x,定义域为-l+切)， ……l分 m)=1-1=-x X十1X十1，………2分 当1<x<0时，m()>0.m在-1,0上单调道暗， 在 当>0时，m()<0.m(在0+四） 在 上单调递减，…3分 则m(Sm(0)=0..f0)≤x 得证.…小分 (2)①g)=af)-xe=alhx+D-xe,r∈(-l,+o）,其中a>1, 答案第4页（共3页) 则i0+0e=-e X十1，…5分 令p)=a-(x+I02e.x∈(-l,+oo) 则o(=+1+2(x+e=-(+1x+3e,p(<0在x∈(-l,+o）恒成立， 则p(在，+o)上单调递减， …6分 由a>1,得0)=a-l>0,p血a)=a-ma+ya=al-la+1]<0 根据零点存在定理，p()=0在（0，+○)存在唯一解，记为， 即x)=0,g'(x)=0且∈(0，ha) …8分 当x∈(0，)时，o)>0,g(田>0，g单调递增，当x∈(：，+切时，()<0， g'(x)> 0,则8)单调递减，是)唯一极值点，且为极大值 点， …9分 In(x+1)<x 由(1)得 ,即 g(In a)=aln(Ina+1)-(In a)ea aln(In a+1)-aln a=a[ln(In a+1)-Ina]<0 且有8)》g0=0.则8右，血)上行在-个变点，记为5， 8(x) (0,+0) 根据单调性可知， 在区间 不存在其他零点，…10分 8(x) (0,+0) 综上， 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点.…11分 (i) 3x1>x2 ，…12分 证明如下：法一：由①知8(0在，血@）上存在一个零点5，即名>， 且)在x∈(，+切)时单调递减，欲证3>为， 答案第5页（共3页） 可先证8)>g3x),即证83x)=aln3x+)-3xe4<0 …13分 类s心0 ,即a=(化+1）e,…14分 即证83x)=(G+1'e*h3x+1)-3xe<0 即证3xe24>(G+I21n(3x+l …15分 由()得>0时，+)<x, 即r+l<e 可得3>1(3x+)>0且e4>(G+2>0 …16分 由不等式性质，得3xe5>(化+11(3x+l》成立，3>。.…17分 g(x2)=x3e-aln(x2+1)=0 法二：由题意可得 )=g0)=0'且g)-6+c-e-0, x+1 x2 e a= In(x2+1) 则 /e3分 G+e气nx+,x+hG+功x 即e-t少'ns+D ,…14分 图0时，k+》<x:且6之之0e<y空=+酚 两边取对数，得-，<2n(:+)<2x .16分 3>,得证.… 移项 …17分 答案第6页（共3页) a21 4621 19.【解】(1)由题意，可得 e= a2, …2分 a2=b2+c2 解得a2=4,b-3,c2=1, …3分 故椭圆￡的标准方程为4+3 =l.…4分 ②()由题可知直线P听，P5的斜率存在，故P≠(1,4)2），设点P,3-）, :R0F0:品名若 …5分 4-品-0 k,+2-为定值0.… .0 …7分 由思可知直线PF的方程为"=(+1)，直线PB的方程为'=（红-）， 设），B().CG).D(xy) y=k(x+1) 联立直线 与圆和任+号1得线3++线-12=0 P 六名+乃2=- +3,6张-12 8K子 4k2+3, …9分 PA=V1+k好t-x,PB到=V1+好t-xl, P4,P8=+k-x-x=+)汇e-x-】=+汇-(s+加+]，…10分 代人达定，得4网-：92P-)0卫 42+3 …11分 将名-代入上式有4pm=+6-r-22到 4(3-t)2+3(t+1)月 …12分 答案第7页（共3页) 同理，联立直线P5与椭圆方程，得（4+3小x2-83x+4-12=0 .X3+x4=7 8K3 43-12 +3无3x4=4g+3,…13 PCPD=(（1+ 「02）2+r 4K3+3 将无=3代入，得1PCPD-C-+6-)]r-2+24 ,…14分 t-1 4(3-t)2+3(t-1)月 由P4-P8=PCPD,且7-241+24>0，可得 (t+1)2+(3-t)2(t-1)2+(3-t)2 4(3-t)2+3(t+1)24(3-t)2+3(t-1)2,…15分 化简，得3-少=0，解得1=0或1=3， …16分 ∴满足条件的点P坐标为0,3)和3,0) …17分 答案第8页（共3页) 2025—2026学年第二学期高二年级学业质量检测 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 3．的展开式中的系数为 A． B． C． D． 4．函数的图象大致为 A． B． C． D． 5．记等比数列的前项和为，若，，则 A． B． C． D． 6．某学校开设人工智能、机器人、大数据三门选修课，四名学生每人随机选修一门．若每门课程至少有1人选修，则选修机器人的人数多于选修大数据的人数的概率为 A． B． C． D． 7． 已知函数在区间上单调递增，，，则 A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．掷一枚质地均匀的骰子4次，掷出的点数分别记为，，，．若这四个数中最大的数为6，则下列结论可能成立的是 A．，，，的平均数为3，极差为4 B．，，，的平均数为3，方差为2 C．，，，的中位数为2，极差为4 D．，，，的中位数为2，方差为2 10．已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则 A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 11．设函数，则 A．当时， B．直线是曲线的切线 C．点是曲线的对称中心 D．存在，使得当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数，则_________． 13．记等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，_________． 14．劳动实践课上制作圆柱体模型，已知该圆柱的体积为，若用锡纸完整包裹其表面，则所需锡纸面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 袋子中有个大小质地完全相同的小球，其中个黑球，个白球，从中不放回地依次随机摸出个球． (1) 分别求第一次、第二次取到白球的概率； (2) 用表示摸出的个球中白球的个数，求的分布列和期望． 16．（15分） 已知，，分别为的内角，，的对边，且． (1) 求； (2) 若，的面积为，求的周长． 17．（15分） 如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，，，分别为，的中点，且． (1) 证明：平面； (2) 若，且，求平面与平面夹角的余弦值． （第17题图） 18．（17分） 设函数． (1) 证明：； (2) 设函数，其中． (i) 证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (ii) 设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论． 19．（17分） 已知椭圆过点，且离心率为． (1) 求的标准方程； (2) 设的左、右焦点分别为，，为直线上的动点，斜率为的直线与交于，两点，斜率为的直线与交于，两点. (i) 证明：为定值； (ii) 若，求的坐标． 2025—2026学年第二学期高二年级学业质量检测 数学试题 第 8 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $