广东深圳实验学校高中园2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 立足高二数学核心知识，以大语言模型性能分析（18题）、函数多问证明（19题）等情境，分层考查数学眼光（数据观察）、思维（逻辑推理）与语言（模型表达）能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、充分条件、正态分布|基础概念辨析，如第2题条件判断| |多选题|3/18|等比数列、函数性质|多项思维辨析，如第11题极值点讨论| |填空题|3/15|不等式、等差数列、排列组合|简洁计算，如第14题数字排列| |解答题|5/77|线性回归（18题）、导数应用（16题）、数列求和（15题）|科技情境（AI模型分析）与分层设问（19题三问梯度），融合统计与证明|

深圳实验学校高中园2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：余坤 审题人：袁士杰 第一卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（  ） A． B． C． D． 4．已知变量之间的线性回归方程为且变量之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是（    ） 6 8 10 12 6 3 2 A．变量x，y之间呈负相关关系 B．可以预测，当时， C．该回归直线必过点 D． 5．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（   ） A．120 B．72 C．64 D．48 7．的展开式中的常数项为（    ） A．60 B．120 C．160 D．240 8．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9．已知等比数列的前项和为，公比，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为4的等比数列 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 第二卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12．若，若，则的最小值为____________． 13．设等差数列的前项和为，若，，则__________． 14．用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16．三次函数在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间和极值. 17．从标有的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），用随机变量表示抽到的卡片是偶数的个数． (1)求在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 18．某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 (1)求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； (2)该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 19．已知函数． (1)证明：； (2)当时，，证明：； (3)证明：对任意正整数n，有． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《深圳实验学校高中园2025-2026学年度第二学期期末考试高二数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B B A B AD ACD 题号 11 答案 ACD 12．25 13．11 14．312 15．【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则得，解得， ； （2）， 的前n项和 ． 16．【详解】（1）由题意，函数，则， 可得，， 所以在处的切线方程为，即， 解得，. （2）由（1）可得函数，则， 令，即，解得或， 令，即，解得， 所以在区间上单调递增，在区间递减， 则函数的极大值是，函数的极小值是. 17．【详解】（1）已知奇数卡片2张，偶数卡片3张，第一次抽到奇数后，剩余4张卡片： 1张奇数，3张偶数，则第二次抽到偶数的概率为：． （2）已知随机变量表示抽到的卡片是偶数的个数，则的取值可能为， ； ； ； 随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望为： ． 18．(1)线性回归方程为，预测性能得分约为分 (2)依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关 【分析】（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测. （2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设. 【详解】（1）由题意可得，n=6，，， 又因为，，所以根据公式计算回归系数可得： ， ， 所以，关于的线性回归方程为： ， 当参数量亿时，代入可得： ， 即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或分）. （2）零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得： ，，，，， 所以卡方统计量为， 因为对应的临界值为，，所以拒绝， 依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关. 19．(1)令，解得， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在处取得最小值， 因此． (2)当时，． 由(1)知（当且仅当取等号）， 所以 令，则 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以在处取得最小值 又因为，所以，当且仅当且时取等号． 但此时，因此等号无法取到，故． (3)对恒成立， 令，则， 令，累加得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $