3.1 列代数式表示数量关系（课时3）教学设计 2026-2027学年数学人教版七年级上册

该初中数学教学设计聚焦“列代数式表示数量关系（课时3）”中的反比例关系，通过复习机器人识别范围的正比例问题，提出总量固定时工作效率与时间的反向变化问题，搭建正反比例对比的学习支架，梳理反比例概念的形成脉络。 资料特色在于依托冬奥造雪等真实情境，通过小组讨论、定量计算验证乘积恒定，结合正反比例对比辨析，强化符号意识与推理能力。体现“数学眼光”观察变量关系，“数学思维”推导概念本质，“数学语言”规范表达式，帮助学生准确理解反比例，为教师提供清晰教学流程与对比框架，提升课堂效率。

3.1列代数式表示数量关系(课时3) 一、核心素养目标 1.经历从实际问题中探究两个变量变化规律的过程，理解反比例关系的核心概念，掌握反比例关系的文字定义与代数式表达形式，能规范写出反比例关系的表达式． 2.能分析行程、工程、面积等常见生活实际情境，通过定量计算、验证乘积是否为定值的方法，准确判断情境中两个相关联的量是否成反比例关系． 3.在辨析变量关系、建立代数表达式的过程中强化符号意识，体会用代数式刻画变量变化规律的作用，提升数据分析与代数推理能力． 二、教学重点及难点 重点：反比例关系的概念理解与表达式书写，结合常见实际情境依据定义判断两个量是否成反比例关系． 难点：准确梳理复杂情境中两个量的变化规律，通过严谨推导验证乘积是否恒定，区分反比例关系与其他数量变化关系，灵活解决反比例相关的变式问题． 三、教学过程 【新课导入】 教师提问：本章引言中的问题（1）. 机器人平均每秒可以完成 5m2 范围内苹果的识别，那么机器人 t s 能识别的范围是 5t m2， 大家说说识别范围和时间是什么比例关系？判断依据是什么？ 【学生活动】学生小组讨论得出：每秒可以完成 5m2是工作效率，能识别的范围是工作总量，所用时间是工作时间， 工作效率 5 不变，总面积 ÷ 时间 ，比值恒定；一个量变大，另一个量同步变大，因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系． 【概念归纳】 教师讲解正比例关系：像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系． 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系． 教师追问：刚才是效率固定，总量随时间变化；反过来，如果修路这类工程总工作量完全固定，每天完成的量越多，需要的天数会怎么变？两者的乘积还是比值固定？今天我们就研究这种全新的数量关系——反比例关系． 设计意图：复用课本原有素材巩固正比例旧知，设置反向问题制造认知冲突，自然引出本节课探究内容，搭建正反比例对比学习框架，降低新概念理解难度 【探究新知】 探究：反比例关系. 教师：下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系．先看一个实际问题． 问题：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260000 m3．解答下列问题： （1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 分层师生提问互动 提问 1：题目中固定不变的量是什么？存在哪两个会变化的关联量？三者基础数量关系式是什么？ 学生：造雪总量 不变；变量为每天造雪量、造雪天数； 造雪天数 总造雪量 ÷ 每日造雪量． 提问 2：分别计算每日造雪 立方米对应的造雪天数，三名学生上台板书计算． 学生 1：（天）， 学生 2：（天）， 学生 3：（天）． 师生共同填写表格： 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 52 40 40 （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 【学生活动】小组讨论 2 分钟后代表发言：造雪天数随着每天造雪量的变大而变小； ，，， 造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是 260000． 教师规范板书反比例完整定义： 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系． 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（ k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用 xy=k 来表示． 设计意图：依托课本冬奥真实情境，通过计算观察、小组讨论层层推导，让学生自主发现＂一增一减、乘积恒定＂两大核心特征，从具象数字抽象出反比例概念与表达式，体现学生主体探究地位． 【探究新知】 探究：正反比例对比辨析. 教师提问：正比例关系怎么用字母表示呢？ 【学生活动】学生根据反比例函数的表示，独立思考，与小组讨论后写出答案． 教师：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比例（k是一个确定的值，且k≠0)，正比例关系可以表示为 ． 教师同步板书正反比例两类核心内容，开展对比提问： 提问 1：正比例关系式 ，反比例 ，两者恒定的量分别是什么？ 学生：正比例恒定是比值（商），反比例恒定是乘积． 提问 2：两种关系中变量变化趋势有什么区别？ 学生：正比例同增同减；反比例一个变大，另一个必然变小． 提问3：举例区分：路程固定，速度和时间；速度固定，路程和时间，分别是什么比例？ 学生：路程固定，速度 × 时间 定值，反比例；速度固定，路程 时间 定值，正比例． 教师总结： 正比例：两个量变化趋势相同，如 x 变大，y 也变大；x 变小，y 也变小． 反比例：xy=k；两个量变化趋势相反，如 x 变大，y 变小；x 变小，y 变大． 设计意图：横向对比正反比例本质区别，突破学生最易混淆的难点，建立清晰概念边界，避免后续判定题型出错． 【典型例题】 例5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 ．分别往这四个容器中注入 的水． （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ （2）分别用 （单位：）和 （单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 与 的关系， 与 成什么比例关系？ 教师点拨：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 圆柱的体积 底面积 × 高，． 解：（1）四个容器中水的高度分别为 （2）． 与 成反比例关系． 设计意图：结合几何模型拓展反比例应用场景，训练＂找定值——列式子——判比例＂完整解题流程，同步穿插正比例对比，持续巩固两类概念差异． 【课堂互动】 探究：探究乘方符号规律. 教师出示思考问题：生活中，成反比例关系的例子是很常见的．例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系．你还能举出一些例子吗？ 【师生活动】师生互动自由发言，教师规范点评、板书典型案例： 学生 1：长方形面积固定，长 × 宽 面积，长和宽成反比例； 学生 2：糖果总颗数固定，分给的人数越多，每人分得越少，人数、每人数量成反比例； 学生 3：货车运输总吨数固定，单次运货量和运输次数乘积不变，成反比例． 教师小结：只要题目存在固定不变的总量，两个分变量相乘等于该总量，就是反比例关系． 设计意图：将数学概念落地生活，拓宽学生认知场景，检验学生对反比例本质的理解，实现知识迁移． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知． 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.正比例与反比例概念对比： 正比例是两量比值恒定，同增同减，表达式 ； 反比例是两量乘积恒定，一增一减，表达式 ． 判定反比例核心是找到固定不变的总量，验证两组变量乘积恒等． 2.实际问题中的反比例应用：工程造雪、圆柱体积、购物总价、长方形面积、运输任务等总量固定场景，均可列出 代数式判定反比例，能结合关系式完成对应计算． 学科网（北京）股份有限公司 $