精品解析：云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷3

云南师大附中2025～2026学年下学期市统测模拟试卷3 一、单选题 1. 这一组数据：的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】要找这组数据的中位数，首先需要把数据从小到大排序： ， 这组数据一共有7个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数， 也就是． 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ， 所以. 3. 复数为实数是的（ ）条件 A. 充要条件； B. 充分非必要条件； C. 必要非充分条件； D. 非充分非必要条件． 【答案】A 【解析】 【分析】设，其中．分别证明“为实数”能推出“”，以及“”能推出“为实数”． 【详解】设则. 若为实数，则，所以. 因此，“为实数”是“”的充分条件． 反之，若，则. 由复数相等的充要条件，得. 所以，从而为实数． 因此，“为实数”也是“”的必要条件． 综上，“为实数”是“”的充要条件． 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 5. 若，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦化切可得出关于的方程，结合可解得的值. 【详解】因为为锐角，则，，， ， 整理可得， 即，解得或， 因为，故. 6. 已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. 7. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 8. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累积概率与分布列关系推导出的递推公式，进而求出通项，再结合分布列概率总和为1确定首项，最后逐个分析选项即可. 【详解】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 二、多选题 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性判断A，利用幂函数的单调性判断B，利用作差法判断C，利用反例判断D. 【详解】由对数函数的单调性可知：， 则，再根据指数函数的单调性可知：，故A正确； 由幂函数的单调性可知：，故B正确； 由作差法得：， 因为，所以，故C错误； 由，不妨取，则，故D错误； 故选：AB 10. 已知三条边的长度为连续的正整数为正整数)，且最小角的余弦值为，则（    ） A. 是锐角三角形 B. 的面积为 C. 外接圆半径为 D. 若是最大角，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据余弦定理列出方程求出边长，再根据余弦定理以及正弦定理求解即可. 【详解】三边为连续正整数：（），最小角对最小边，记最小角为， 则，由余弦定理， 化简得，解得，因此三边长为2，3，4. 对于选项A，最大角对最大边，记最大角为，由余弦定理，为钝角， 故是钝角三角形，所以A错误； 对于选项B，，则，三角形面积，所以B正确； 对于选项C，由正弦定理，外接圆半径，，则，，，所以C错误； 对于选项D，由二倍角公式，所以D正确． 11. 如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量法可判断选项A，结合面面垂直性质定理，动点轨迹方程，以及二面角的求解方法分析可判断选项B；找出外接球的球心，利用已知条件求出半径，利用球体体积公式计算可判断选项C；根据动点的轨迹方程以及向量的坐标关系式和圆的参数方程、三角函数性质求解可判断选项D. 【详解】以为原点，分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 设，， 对于A，由，所以， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，过作垂足为点，因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又平面，故，又，， 平面，所以平面， 平面，故，， 根据二面角定义可知是二面角的平面角， 则，故B正确； 对于C，设的中点为，连接，因为都是直角三角形， 所以，即四面体外接球的球心为点， 所以，可得外接球半径为，所以体积，故C错误； 对于D，因为， ，， 所以，故， ， 因为，所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分， 所以在平面上的轨迹方程为， 设， 得，由 得，故， 所以，故D正确. 三、填空题 12. 已知随机变量，若，，则__________． 【答案】64 【解析】 【详解】∵ 随机变量，根据二项分布的期望与方差公式可得，. ∴ ，解得，∴ . 13. 已知O为坐标原点，若椭圆E：上存在三点A，B，C，使四边形OABC为正方形，则椭圆E的离心率为__. 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的向量性质得到各顶点坐标关系，代入椭圆方程化简得到与的关系式，再结合椭圆基本参数关系推导离心率. 【详解】如图，为原点，四边形为正方形，因此满足，且， 设，将逆时针旋转90°得，则，因此点坐标为， 都在椭圆上，分别代入椭圆方程，得①，②， ①②得，因为，则，因此， 若，则，代入椭圆方程得，即， ①②得，代入化简得，与矛盾； 若，则，代入椭圆方程得，即； ①②得，代入化简得 又，所以，整理得，即， 因此离心率. 14. 设是一列向量，已知，当时，，若对任意的正整数恒成立，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合图形将代数递推式转化为向量模型，利用角平分线的性质和等比数列求和，确定位置， 再利用三角函数和勾股定理计算. 【详解】已知当时，整理关系式得， 若设，则 共线，且是 的平分线， 设，则当 时，， 当时，. 如图，设，则线段 在两侧左右摇摆，且越来越接近，要使逐项递减，则需. 设，则，，则， 解得（负值舍去）， . 四、解答题 15. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设，若，求满足条件的最大正整数. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过对递推式取倒数并构造形如的等比数列模型，证明数列为等比数列。 （2）先利用第 (1) 问的结论求出的通项，再对其求和得到，最后通过放缩法解不等式，求出最大正整数. 【小问1详解】 由题得：，则，整理得 ， 又，得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，所以 ， 又 ， 所以 ，则， 又时， ， 时， 则满足条件的最大正整数. 16. 已知函数且 . （1）当时，求函数在的值域； （2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数在区间上的单调性，进而求解其值域； （2）求导，按照、和三种情况分类讨论，研究其单调性，根据极小值点的定义求解即可. 【小问1详解】 当时， 则， 当，，在上单调递增； 当，，在上单调递减， 所以时，最大值， 又 ，所以最小值为 ， 所以函数在的值域为 . 【小问2详解】 ， ①当时， 在上单调递增，不满足题意； ②当时，令，有，其中 ； 当时，， 有， ；，，此时为极大值点，不满足题意； 当时，需要 ，解得， 有， ；，此时为极小值点， 综上，实数的取值范围. 17. 人工智能（AI）离不开光，光电子因AI重生——AI是需求发动机，光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）． （2）现采取分层（按次品与合格品分层）随机抽样的方式，从100件样品中共抽取10件，再随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望． （3）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若，证明：． 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3）若，则，， 又， 所以， 由切比雪夫不等式可知，， 所以． 【解析】 【小问1详解】 记事件从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品， 则． 【小问2详解】 由题中表格可知合格品（指标大于或等于76）有件，次品有件． 从100件样品中按分层随机抽样的方式抽取10件，则这10件样品中合格品件数为，次品的件数为，随机选出3件，这3件中次品的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 则． 【小问3详解】 略 18. 给定如图所示的空间直角坐标系.在平面内，点在轴上，，，为中点，. （1）求； （2）在平面内，过点作函数图象的切线，切点为. (i)若点在轴负半轴上，求三棱锥体积的最大值； (ii)若，当二面角的平面角最大时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设出的坐标，根据已知条件列方程，求得，进而求得. （2）(i)先求得切线方程，然后求得三棱锥体积的表达式，利用导数求得体积的最大值. (ii)利用向量法求得二面角的平面角的余弦值，利用换元法、导数求得平面角最大时的值. 【小问1详解】 由，故为等腰三角形，， 设，，，，， ∴，，， ∴，解得， ∴，，∴. 【小问2详解】 (i)依题意，切点，则切线斜率， ∴切线方程为：，交轴为（*）， 令，由（1）知，， ∴三棱锥底面积，高 ∴体积， 令，则，由于 ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，取得最大值为， (ii)由题意，由（*）式，， ∴，，， ∴，， 设二面角的平面角为，又由图形知，此时二面角关于平面对称，则二面角的平面角为， 设平面法向量，则， 令，则， 由，令， 平面法向量， 则， 当最大时，最小，最大， 此时， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，二面角的平面角取得最大值. 19. 已知抛物线，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，当垂直于轴时，. （1）求的值； （2）过点作直线交抛物线于两点（两点在第一象限），记直线与直线的交点为，其中直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求证：点在定直线上； （ii）当时，设直线交直线于点，且的面积为，求的值. 【答案】（1）2 （2）（i）设直线方程为，则直线方程为. 设，，，. 联立，化简得，∴，∴，联立， 化简得，∴∴，所以， 即，整理得，由两点在第一象限，得，① 同理，②所以直线：，代入， 则，化简得， 同理直线BD：，联立直线，方程，并代入①，②化简整理：. 即点在定直线上. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到点的坐标，再代入抛物线方程求解即可. （2）（i）根据题意设直线的方程，再与抛物线方程联立得到，再联立直线方程化简得到.（ii）首先求出直线方程，根据三角形面积求出点的纵坐标，联立直线以及化简得到的取值. 【小问1详解】 由垂直于轴时，，不妨设，代入， 解得. 【小问2详解】 (i)略 (ii)在AC中代入，解得. 即，∴直线方程为：， 由的面积，代入，，则， 代入EO，CD的方程组， 消去，解得，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2025～2026学年下学期市统测模拟试卷3 一、单选题 1. 这一组数据：的中位数为（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数为实数是的（ ）条件 A. 充要条件； B. 充分非必要条件； C. 必要非充分条件； D. 非充分非必要条件． 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 二、多选题 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知三条边的长度为连续的正整数为正整数)，且最小角的余弦值为，则（    ） A. 是锐角三角形 B. 的面积为 C. 外接圆半径为 D. 若是最大角，则 11. 如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当时，二面角的正切值为 C. 四面体的外接球体积为 D. 若，则的取值范围是 三、填空题 12. 已知随机变量，若，，则__________． 13. 已知O为坐标原点，若椭圆E：上存在三点A，B，C，使四边形OABC为正方形，则椭圆E的离心率为__. 14. 设是一列向量，已知，当时，，若对任意的正整数恒成立，则__________. 四、解答题 15. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设，若，求满足条件的最大正整数. 16. 已知函数且 . （1）当时，求函数在的值域； （2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围. 17. 人工智能（AI）离不开光，光电子因AI重生——AI是需求发动机，光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）． （2）现采取分层（按次品与合格品分层）随机抽样的方式，从100件样品中共抽取10件，再随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望． （3）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若，证明：． 18. 给定如图所示的空间直角坐标系.在平面内，点在轴上，，，为中点，. （1）求； （2）在平面内，过点作函数图象的切线，切点为. (i)若点在轴负半轴上，求三棱锥体积的最大值； (ii)若，当二面角的平面角最大时，求的值. 19. 已知抛物线，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，当垂直于轴时，. （1）求的值； （2）过点作直线交抛物线于两点（两点在第一象限），记直线与直线的交点为，其中直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求证：点在定直线上； （ii）当时，设直线交直线于点，且的面积为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $