精品解析：云南楚雄州2025-2026学年下学期期末教育学业质量监测高二数学试卷

2025–2026学年下学期期末教育学业质量监测 高二数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，解得，即. 因， 故 . 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若，则，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】，对应选项A. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 【答案】A 【解析】 【分析】分别求得和的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径， 圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径， 由，且，可得， 所以圆和外切. 故选：A. 4. 楚雄州拥有“世界恐龙之乡”“东方人类故乡”“世界野生菌王国”“中国绿孔雀之乡”四张世界级名片.已知有6位外地游客准备在四张名片对应的景点中各选1个进行参观，每张名片所选人数不限，则他们不都选同一张名片的参观方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】采用间接法求解，先计算所有游客任选景点的总方案数，再减去6人都选同一张名片的不符合要求的方案数，即可得到所求结果. 【详解】每位游客有4种名片景点可选，6位游客的总参观方案数为种. “6人都选同一张名片”的情况共有4种， “不都选同一张名片”的方案数为总方案数减去不符合要求的方案数，即种. 5. 已知 ， ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角和的余弦公式、正弦二倍角公式分别计算分子和分母，最终化简得到结果. 【详解】，则有，， ， ， ， ， 所以. 6. 已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，，解得，， 所以， 所以， 因为是正整数，所以当或时，同时取得最大值为. 7. 已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 8. 已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知体积求出三棱锥各棱长，利用三棱锥三条棱两两垂直的特点将其补为长方体，通过长方体体对角线求出外接球半径，进而计算外接球表面积. 【详解】已知，，设，则， 由题意，又平面， 所以，已知， 解得，即，得​， 因此， 将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径， 则，外接球表面积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. B. C. 有两个零点 D. 是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数，极值和零点定义，即可判断ABC，用奇函数的判断方法可判断D. 【详解】函数的导数为， 已知是函数的极大值点， 所以，解得或， A：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极大值点，A正确； B：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极小值点，B错误； C：令，解得或，显然有2个零点，C正确； D.：， 设，定义域为且 ，所以是奇函数，D正确. 10. 设抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，B两点，且，，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的准线方程为 C. D. 的面积为2 【答案】BC 【解析】 【详解】由，可得焦准距，则的焦点坐标为，准线方程为，故A错误，B正确； 设，因，则， 把代入，可得， 由抛物线的对称性，不妨设，则，故C正确； 因为，则的面积，故D错误． 11. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是等比数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】计算出结合等比数列的定义可判断A；分别令可判断B；根据等比数列的定义可判断C；根据C选项写出的通项，然后利用分组求和即可，或者直接根据递推公式结合等比数列求和公式可判断D. 【详解】 当时， ． 当时，， 数列一定不是等比数列，故A错误； 当时，； 当时，；当时，． ，故B正确； ． 数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确； 方法一：由可知，， ， ，故D错误． 方法二：， ，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 的展开式中， 的系数是 ______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先根据目标项中的次数确定选取含项的因式个数，再对剩余因式利用二项式定理求项的系数，两者相乘即为所求系数. 【详解】将视为5个因式的乘积，要得到项，分步计算如下： 确定含的项：从5个因式中任选3个取， 该部分的组合数与系数为，对应项为； 剩余2个因式均需从中选取项，要求最终得到： 设从这2个因式中选个取，剩余个取， 则的指数满足，解得，即2个因式均取， 该部分系数为； 根据分步乘法计数原理，的系数为. 14. 楚雄南华县有“世界野生菌王国”之称.某村民上山捡菌，每次独立随机选一座山（甲山、乙山、丙山，概率各为 ）.若选甲山，捡到美味牛肝菌的概率为；选乙山，捡到美味牛肝菌的概率为；选丙山，捡到美味牛肝菌的概率为.但只有捡到美味牛肝菌才会停止回家.该村民第一次就捡到美味牛肝菌的概率为 ______；已知第一次没捡到，则第二次捡到菌时来自乙山的概率为 ______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问利用全概率公式计算首次捡到菌的总概率，第二问结合事件独立性与条件概率公式计算指定条件下的概率. 【详解】设事件分别为第一次选甲山、乙山、丙山，事件为第一次捡到美味牛肝菌， 由题设得，，，， 根据全概率公式：， 所以第一次就捡到美味牛肝菌的概率为； 设事件为第一次没捡到，事件为第二次捡到美味牛肝菌，事件为第二次选乙山且捡到美味牛肝菌， 由于每次选山和捡菌过程相互独立，因此与第二次的事件独立， ，， ，  ， 所以第一次没捡到，第二次捡到菌时来自乙山的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角所对的边分别为，. （1）求； （2）设，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理对已知条件边角转换，再由互补角的正弦值相等得到,进而使用正弦函数两角和公式化简得. （2）先用正弦定理得到.结合已知，，再用余弦定理求出进而使用面积公式求得面积 【小问1详解】 由正弦定理，化为 ，而， 整理得 因为，故，即，又，故. 【小问2详解】 由 及正弦定理得. 由余弦定理，代入，得 所以，. 因此的面积. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. （1）求的标准方程； （2）过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知及离心率求椭圆参数，即可得； （2）由（1）及已知，设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，结合中点坐标求参数m，再由面积公式求面积. 【小问1详解】 由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意， 设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. 17. 如图， ，平面，平面，平面平面. （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）因平面，平面，平面平面,则； （2）因平面，平面,则, 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又因平面，故； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质易证； （2）利用线面垂直的判定定理与性质定理，以及面面垂直的性质定理即可得证； （3）根据条件建系，求出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得两两垂直，故可以点为坐标原点， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因，，则， 故得， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 则， 由图知是钝二面角，故二面角的余弦值为. 18. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，次移动后到达的位置记为. （1）写出时，的分布； （2）当时，求质点位于的概率； （3）有个质点从原点出发，次移动后，有个质点到达位置，当为多少时到达位置的概率最大. 【答案】（1）的分布列为： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设向右次数 ，由位置关系 ，代入 计算 对应概率，得分布列； （2）令 ，解得 ，代入二项分布概率公式 ； （3）47个质点独立，，利用比值法 ，令其大于1得 ，故最大概率在 . 【小问1详解】 设移动次中，向右移动的次数为， 由题意，每次移动向右向左概率均为且独立，因此， 最终位置满足关系：， 时的分布，可取，对应计算概率得分布： 【小问2详解】 时质点位于的概率令，代入，解得， 因此： 【小问3详解】 个质点独立移动，到达位置的个数， 比较相邻概率的比值： 令，解得， 因此：时，；时，， 故时概率最大. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求在区间的最大值与最小值； （3）当时，判断是否有极大值与极小值，并说明理由. 【答案】（1） （2）故在区间上的最小值为，最大值为； （3）当时，既有极大值，也有极小值， 理由如下：函数的定义域为， 求导得，令，， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由可得，， ， 所以存在，使得，即， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 当时，；当时，； 由零点存在定理，在和上各存在1个零点，记为，，其中， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极大值，当时，函数取极小值， 即既有极大值，也有极小值. 【解析】 【分析】（1）先代入得到具体函数，先计算得到切点，再对函数求导并代入得到切线斜率，最后用点斜式写切线方程； （2）代入得到具体函数，先求导，令导数为得到区间内的导函数的零点，再计算零点和区间端点的函数值，比较大小得到最值； （3）先对原函数求导并化简，先求解导数等于的根，再结合的条件判断根是否在定义域内，再分析每个根左右导数的符号，进而判断是否存在极大值和极小值. 【小问1详解】 当时，，定义域， 所以，故切点为， 求导得，代入得， 由点斜式得切线方程为. 【小问2详解】 当时，， 求导得， 当时，，，，故， 函数在上单调递减， 当时，，，，故， 函数在上单调递增， 又，，， 故在区间上的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025–2026学年下学期期末教育学业质量监测 高二数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 4. 楚雄州拥有“世界恐龙之乡”“东方人类故乡”“世界野生菌王国”“中国绿孔雀之乡”四张世界级名片.已知有6位外地游客准备在四张名片对应的景点中各选1个进行参观，每张名片所选人数不限，则他们不都选同一张名片的参观方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知 ， ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 7. 已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. B. C. 有两个零点 D. 是奇函数 10. 设抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，B两点，且，，则（ ） A. 的焦点坐标为 B. 的准线方程为 C. D. 的面积为2 11. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是等比数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则的值为________． 13. 的展开式中， 的系数是 ______.（用数字作答） 14. 楚雄南华县有“世界野生菌王国”之称.某村民上山捡菌，每次独立随机选一座山（甲山、乙山、丙山，概率各为 ）.若选甲山，捡到美味牛肝菌的概率为；选乙山，捡到美味牛肝菌的概率为；选丙山，捡到美味牛肝菌的概率为.但只有捡到美味牛肝菌才会停止回家.该村民第一次就捡到美味牛肝菌的概率为 ______；已知第一次没捡到，则第二次捡到菌时来自乙山的概率为 ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角所对的边分别为，. （1）求； （2）设，，求的面积. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. （1）求的标准方程； （2）过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 17. 如图， ，平面，平面，平面平面. （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求二面角的余弦值. 18. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，次移动后到达的位置记为. （1）写出时，的分布； （2）当时，求质点位于的概率； （3）有个质点从原点出发，次移动后，有个质点到达位置，当为多少时到达位置的概率最大. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求在区间的最大值与最小值； （3）当时，判断是否有极大值与极小值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $